2024年甘肃省定西市渭源县中考数学模拟试题

这是一份2024年甘肃省定西市渭源县中考数学模拟试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
4．是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线，平分，若，则度数是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． 且B． 且C． D． 且
7．如图，是的直径，若，D是弧的中点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为( )
A．B．C．D．
9．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则弧的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ）
A．3B．C．D．12
二、填空题
11．分解因式：
12．函数中，自变量的取值范围是 ．
13．已知点P(3，﹣2)在反比例函数y(k≠0)的图象上，则k= ．
14．已知在中，，若，则的值为 ．
15．如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为 ．
16．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值： ，其中．
19．解不等式，并在数轴上表示解集；
20．如图，已知和点P．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①连接，作线段的垂直平分线，交于点A；
②以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B，C，连接和．
(2)直接写出（1）中和与的位置关系．
21．甘肃科技馆（如图）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶．
某校学习小组把测量甘肃科技馆的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表
请你根据上表的测量数据，帮助该小组求出甘肃科技馆的高度（结果保留一位小数）．
（参考数据：，，，，，）
22． 甘肃是农耕文化的发源地之一，这里深厚的黄土孕育出了很多美食：可口的牛肉面，临夏的手抓羊肉，天水的麻辣烫等，李华在兰州旅游期间来到了一家甘肃特色小吃店，他决定在“A．兰州拉面，B．临夏羊肉，C．天水麻辣烫，D．定西浆水面”这四种小吃中选择两种小吃进行品尝．若选择每种小吃的可能性相同．
(1)请用画树状图或列表的方法表示出李华选两种小吃的所有可能的结果；
(2)求出李华选择品尝两种都是面食的概率．
23．某学校为监测在校学生的体育锻炼情况，从该校七、八年级中各随机抽取了10名学生，对他们进行了体能测试，记录下他们的体能训练成绩（单位：分），并整理、描述、分析（把体能训练成绩分为三个等级：合格，良好，优秀）．
下面给出了部分信息：
10名七年级学生的体能训练得分：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94．
七、八年级学生的体能训练成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)该校的七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计七年级和八年级成绩达到“优秀”的总人数；
(3)根据以上数据，你认为该学校七年级还是八年级的体能训练成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，设直线AB交x轴于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)直接写出的解集．
(3)若点P是反比例函数图象上的一点，且是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
25．如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
26．阅读理解
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是____；
(2)猜想证明
设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形的面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展探究
如图2，在矩形ABCD中，点E是AD边上的一点，且AB2=AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，点E1为点E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4(m＞0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m＞0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
课题
测量甘肃科技馆的高度
测量示意图
说明
甘肃科技馆楼顶一角的D处到地面的高度为，在A点用仪器测得点D的仰角为，在E点用该仪器测得点D的仰角为，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内
测量数据
，，，测角仪的高度为
年级
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
七年级
90
89
a
26.6
40%
八年级
90
b
90
30
30%
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据负数的相反数是正数解答即可．
【详解】解：的相反数是2024．
故选A．
2．C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了同底数幂相乘、单项式除以单项式、合并同类项，完全平方公式，据此相关运算法则进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，
故选：A．
5．B
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义．根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
故选：B．
6．A
【分析】根据根的判别式，即可求出答案．本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，属于基础题型．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
且，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，如图所示，连接，证明，得到是等边三角形，进而推出，再由垂径定理得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解；如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵D是弧的中点，
∴，
∴ ，
故选：B．
8．A
【分析】根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱，
依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，由圆内接四边形对角互补得到求出，再证明是等边三角形，得到，，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
∴是等边三角形，
∴，，
的长为，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息．
由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值．
【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，，
，，
如图③，过点作，则，此时，最短，
，
∴
，，
∴，
，
是等边三角形，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了因式分解．先提公因式再利用平方差公式继续分解即可，掌握因式分解的基本方法是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
12．x＞1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x−1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．﹣6．
【分析】将点P代入到反比例函数中即可求出k的值．
【详解】∵点P(3，﹣2)在反比例函数y(k≠0)的图象上
∴
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查待定系数法，掌握待定系数法是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设，利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，求解即可．
【详解】解：如图：
在中，，，
∴可设，
∴，
故．
故答案为：．
15．
【分析】过点作轴于，则，即可求得，得出的面积的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，全等三角形的判定和性质，关键是求得的面积．
【详解】解：过点作轴于，
，
∵点B是的中点，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
根据反比例函数的几何意义得，
，
，
．
故答案为：．
16．13
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．首先利用平行四边形的性质及角平分线的定义得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：13．
17．
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值等等，先代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，得，再运用除法，得，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：
，
∵，
∴．
19．，该不等式的解集在数轴上表示见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式及画数轴表示不等式解集，涉及解一元一次不等式及数轴表示不等式解集的方法等知识，先利用解一元一次不等式的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解集，再将不等式解集用数轴表示出来即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式及画数轴表示不等式解集的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
．
20．(1)见详解
(2)和是的切线．
【分析】（1）先，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，从而作线段的垂直平分线，交于点A；然后以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B，C，连接和．即可画出对应的几何图形即可；
（2）连接、，如图，根据圆周角定理得到，则，，然后根据切线的判定定理得到结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和切线的判定．
【详解】（1）解：点如图所示，
（2）证明：连接、，如图，
为的直径，
，
，，
而、为的半径，
和是的切线．
21．甘肃科技馆的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．连接，交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：连接，交于点，
由题意得：，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
甘肃科技馆的高度约为．
22．(1)图见详解，共有12种
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及根据概率公式计算概率等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）运用画树状图，再得出李华选两种小吃的所有等可能的结果共有12种，
（2）因为李华选择品尝两种都是面食的结果有种，所以李华选择品尝两种都是面食的概率，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把四种小吃分别记为A．兰州拉面，B．临夏羊肉，C．天水麻辣烫，D．定西浆水面，
画树状图如下：

李华选两种小吃的所有等可能的结果共有12种，
（2）解：由（1）得李华选两种小吃的所有等可能的结果共有12种，
其中李华选择品尝两种都是面食的结果有种，
∴李华选择品尝两种都是面食的概率．
23．(1)95，90，20%；
(2)500
(3)七年级的体能训练成绩更好，理由见解析
【分析】（1）将七年级成绩重新排列，利用众数的概念可直接得出a的值，利用中位数的概念求解可得b的值，由题意可知：八年级学生中“良好”等级的百分百为50%，然后利用百分百之和为1可求得m；
（2）分别用七、八年级的学生数乘以相应优秀率得到优秀人数，然后求和即可；
（3）从众数及优秀率的角度分析即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：10名七年级学生的体能训练得分：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
出现次数最多的为95，则众数为95，即
八年级优秀等级的学生有人，
所以八年级成绩的中位数，即
由10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85、90、90、90、94，八年级学生中“良好”等级的百分百为50%，
所以
故答案为：95，89，20%；
（2）解： 人
（3）解：七年级的体能训练成绩更好，理由如下：
两班平均数相同，而七年级的众数及优秀率均高于八年级（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了频数分布表、中位数、众数、平均数、方差、用样本估计总体等知识点，掌握中位数、众数、平均数的意义是解答本题的关键．
24．(1)；；
(2)或
(3)P（-2，-3）
【分析】（1）将点A代入反比例函数求出反比例函数表达式，再将B点代入求出B的坐标，将A，B两点分别代入一次函数中求得一次函数表达式；
（2）根据图象分析，即可得到的取值范围；
（3）由一次函数表达式可得点C的坐标，再根据等腰三角形的性质，即可的点P的坐标；
【详解】（1）（1）将A（2，3）代入中；
；解得：k2=6；
即反比例函数的表达式为：
将B（a，-1）代入中；
；解得：a=-6；
即B（-6，-1）；
将A，B两点分别代入中；
；解得：；
即反比例函数的表达式为：．
（2）的取值范围即取值范围；
根据图象分析可知；
取值范围为：或．
（3）将y＝0代入中；
；解得：x=-4；
即C（-4，0）；
根据等腰三角形的性质可知p点所对应的y值为2；
∴可设P（-2，m）；
将p（-2，m）代入中；
即得m=-3；
所以P（-2，-3）
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，正确求出一次函数和反比例函数表达式是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
（2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，且，
设，，
，
，
又，，
，
∵
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等边对等角、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．（1）；（2），理由见解析；（3）∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°．
【详解】解：（1）根据题意得：这个平行四边形的较小的内角为60°，
∴这个平行四边形的变形度是；
（2），
理由：如图1，
设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴S1=ab，S2=ah，
∴，
∵sinα=，
∴，
∴；
（3）∵AB2=AE•AD，
∴A1B12=A1E1•A1D1，即，
∵∠B1A1E1=∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1=∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1=∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，
由（2）知
可知=2，
∴sin∠A1B1C1=，
∴∠A1B1C1=30°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°．
27．（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【分析】（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.
【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∵抛物线经过B（0，2），，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，
∵，
∴，
当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，
∵，
∴B，Q关于x轴对称，
∴Q（0，-2），又A（4，0），
设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，
，解得：，
∴直线AQ的表达式为：，联立得：
，解得：x=3或-2，
∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），
综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；

（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠MNO+∠CND=90°，
∵∠OMN+∠MNO=90°，
∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，
∴△MNO∽△NCD，
∴，即，
整理得：；

②如图，∵∠MNC=90°，
以MC为直径画圆E，
∵，
∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），
∵点M在y轴正半轴，
当圆E与线段OD相切时，
有NE=MC，即NE2=MC2，
∵M（0，m），，
∴E（，），
∴=，
解得：m=，

当点M与点O重合时，如图，
此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，

∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，
故m的取值范围是：0＜m＜.
【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
A
B
A
B
A
B
C