[数学]黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考试卷(解析版)

这是一份[数学]黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考试卷(解析版)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；
根据子集的定义，有，C正确；
集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．
故选：C.
2. 集合的真子集的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】A
【解析】由题知，所以集合的真子集的个数是．
故选：A.
3. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】取，，，则，故A错误；
取，，，则，故B错误；
取，，则，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确．
故选：D.
4. 已知集合，，若．则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知或，，
由，可得，所以．
故选：B.
5. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，
当且仅当，时取等号．
故选：B.
6. “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，恒成立；当时，由题意，得解得，
综上，实数的取值范围为，
则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是．
故选：C.
7. 某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（ ）
A. 24人B. 26人C. 36人D. 38人
【答案】A
【解析】设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，由题意画出Venn图，如图所示，
则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，
只参加骑车的有：人，
所以参加运动的有：
人，
由题意得，解得，
所以只参与两个运动项目的有24人．
故选：A.
8. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不等式可化为，
①时，不等式的解集为，不合题意；
②当时，不等式的解为，且，
若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；
③当时，不等式的解为，且，
若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．
综上可知，正数的取值范围为或．
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. ，
B. ，
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【答案】ABD
【解析】因为，所以，，故A正确；
取，则，所以，，故B正确；
当时，显然成立，故C错误；
因为是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．
故选：ABD.
10. 给定非空集合，如果对于任意，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（ ）
A. 集合是闭集合
B. 已知集合是闭集合，若，则
C. 存在只含有101个元素的闭集合
D. 若集合是闭集合，且，则
【答案】ABD
【解析】由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；
集合为闭集合，则必有，若，则有，，
故B正确；
设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，
显然集合必定有无数个元素，故C错误；
由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为1
D. 当时，设关于的方程的解分别为，则
【答案】BC
【解析】对于A，由题意知即
则，显然当时，，故A错误；
对于B，，
即，故B正确；
对于C，，
又（当且仅当时取等号），所以，故C正确；
对于D，方程可化为，
整理得，解得，，
则，
当时，，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】命题“，”的否定是“，”．
13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
【答案】或
【解析】由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，
集合为反比例函数上的点构成的集合，
若，则方程有非零解，整理得，
则，解得或．
14. 已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】因为，，所以，即，
得，所以，当且仅当时等号成立．
由，得，
整理得，即，
所以．因为存在实数，使得恒成立，
所以，即的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）由，得或，
由，得，
所以或．
（2）由，得．
①当，即时，，满足，符合题意．
②当，即时，若满足，则有，解得．
综上所述，实数取值范围为．
16. 已知，．
（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）由，得；
当时，由，得．
若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，
当真假时，解得；
当假真时，解得，
综上，实数的取值范围为或．
（2）由，得．
因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为．
17. 一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．
（1）求关于的关系式；
（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？
解：（1）由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，
则，整理得．
（2）由（1）知绘画墙墙面的面积，
则
，
由基本不等式，有，
当且仅当时取等号．
故，此时，
故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．
18. 已知二次函数.
（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
解：（1）令，则有，得两点的坐标分别为，
令，得点的坐标为，
故的面积为，解得或.
（2）不等式可化为，
若不等式恒成立，则必有
解得，
故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.
（3）不等式可化为，
①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为，
④当时，不等式的解集为．
19. 已知集合.
（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）若，，证明：；
（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式.则称这个数为完全平方数）.
解：（1）由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；
由，，知20，25是集合中的元素.
（2）由，，
设，，，，，，，，
则
，
①若，有，，可得；
②若，有
，
又由，有，有，
可得，，可得，
由上知，若，，则.
（3）设，且，
由.
又，，
，
假设，有，又由，有，可得，
又由，，得为有理数，
又由为无理数，与矛盾，
故有，
由上可知，
又因为为完全平方数，且有无数多个，
所以存在无穷多个完全平方数属于集合.