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专题35 几何综合压轴题（40题）练习（教师版+学生版）2025版 2024年中考数学真题分类汇编 全国通用
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一、解答题
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．
（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．
5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：；
(2)探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
8．（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
10．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
11．（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
(1)求证：；
(2)过点C作于点G，若，，求的长．
12．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
(1)求证：．
(2)当是直角三角形时，求t的值．
(3)连接，当时，求的面积．
13．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．
(1)求证：；
(2)连接交于点H，连接，．
（ⅰ）如图2，若，求证：；
（ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值．
14．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
15．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
(1)求证：；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．
16．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
17．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】
已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， ；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
18．（2024·河南·中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
21．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
22．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．
(1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．
①求证：是的中点；
②求；
(2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
24．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
(1)当点是边的中点时，求的长；
(2)当时，点到直线的距离为________；
(3)连结，当时，求正方形的边长；
(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
25．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．
(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1 和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
27．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
28．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ）
(2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．
(3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接交于点P．求证：．
②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．
29．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
30．（2024·重庆·中考真题）在中，，，过点作．
(1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
(2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
(3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
31．（2024·重庆·中考真题）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．
(1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
32．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
33．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且．
(1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
(2)已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
34．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
35．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；
(2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
(3)设点O到的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．
37．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
38．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
39．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
40．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
(1)求的度数；
(2)求证：直线与相切：
(3)看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
一、解答题
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．
（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．
5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：；
(2)探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
8．（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
10．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
11．（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
(1)求证：；
(2)过点C作于点G，若，，求的长．
12．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
(1)求证：．
(2)当是直角三角形时，求t的值．
(3)连接，当时，求的面积．
13．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．
(1)求证：；
(2)连接交于点H，连接，．
（ⅰ）如图2，若，求证：；
（ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值．
14．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
15．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
(1)求证：；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．
16．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
17．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】
已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， ；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
18．（2024·河南·中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
21．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
22．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．
(1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．
①求证：是的中点；
②求；
(2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
24．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
(1)当点是边的中点时，求的长；
(2)当时，点到直线的距离为________；
(3)连结，当时，求正方形的边长；
(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
25．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．
(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1 和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
27．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
28．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ）
(2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．
(3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接交于点P．求证：．
②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．
29．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
30．（2024·重庆·中考真题）在中，，，过点作．
(1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
(2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
(3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
31．（2024·重庆·中考真题）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．
(1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
32．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
33．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且．
(1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
(2)已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
34．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
35．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；
(2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
(3)设点O到的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．
37．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
38．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
39．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
40．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
(1)求的度数；
(2)求证：直线与相切：
(3)看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
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