河北省石家庄市41中学2025届数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份河北省石家庄市41中学2025届数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，M是的边BC的中点，平分，于点N，延长BN交AC于点B，已知,，，则的周长是（ ）
A．43B．42C．41D．40
2、（4分）下列命题的逆命题，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等B．全等三角形的对应边相等
C．对顶角相等D．有一个角为度的三角形是直角三角形
3、（4分）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，结果提前4小时开通了列车．若原计划每小时修x米，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列所给图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列各式中，运算正确的是
A．B．C．D．
6、（4分）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x＜2C．x≥2D．x＞2
7、（4分）若关于x,y的二元一次方程组的解为，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（ ）
A．(1,2)B．(2,1)C．(2,3)D．(1,3)
8、（4分）有一组数据a=-10，b=0，c=11，d=17，e=17，f=31，若去掉c，下列叙述正确的是（ ）
A．只对平均数有影响B．只对众数有影响
C．只对中位数有影响D．对平均数、中位数都有影响
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）将函数y＝的图象向上平移_____个单位后，所得图象经过点（0，1）．
10、（4分）若关于x的一次函数y＝（m+1）x+2m﹣3的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围为_____．
11、（4分）已知中，，则的度数是_______度．
12、（4分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B2；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为________，平行四边形AOnCn+1B的面积为________．
13、（4分）如图，在菱形中，，点是边的中点，是对角线上的一个动点，若，则的最小值是_____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？
15、（8分）如图，矩形的对角线、交于点，，．
证明：四边形为菱形；
若，求四边形的周长．
16、（8分）小亮步行上山游玩，设小亮出发x min加后行走的路程为y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系，
（1）小亮行走的总路程是____________m，他途中休息了____________min.
（2）当5080时，求y与x的函数关系式.
17、（10分）如图，□ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 做 EF∥BC GH∥AB.
（1）写出图中所有的平行四边形（包括□ABCD）的 个数；
（2）写出图中所有面积相等的平行四边形．
18、（10分）已知一次函数y＝﹣x+1．
（1）在给定的坐标系中画出该函数的图象；
（2）点M（﹣1，y1），N（3，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在中，，点是边的中点，点在边上运动，若平分的周长时，则的长是_______．
20、（4分）如图，四边形是矩形 ,是延长线上的一点，是上一点，;若,则 = ________ .
21、（4分）设是满足不等式的正整数，且关于的二次方程的两根都是正整数，则正整数的个数为_______．
22、（4分）如图，两个完全相同的正五边形ABCDE，AFGHM的边DE，MH在同一直线上，且有一个公共顶点A，若正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合，则x的最小值为_____．
23、（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（几何背景）如图1，AD为锐角△ABC的高，垂足为D．求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2
（知识迁移）如图2，矩形ABCD内任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，请写出PA、PB、PC、PD之间的数量关系，并说明理由．
（拓展应用）如图3，矩形ABCD内一点P，PC⊥PD，若PA＝a，PB＝b，AB＝c，且a、b、c满足a2﹣b2＝c2，则的值为 （请直接写出结果）
25、（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
26、（12分）感知：如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别在边AB、AD上若，易知≌．
探究：如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别在BA、AD的延长线上若，与是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图，在▱ABCD中，，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上若，，，求的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
证明△ABN≌△ADN，得到AD=AB=10，BN=DN，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可．
【详解】
解：在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，BN=DN，
∵M是△ABC的边BC的中点，BN=DN，
∴CD=2MN=8，
∴△ABC的周长=AB+BC+CA=43，
故选A．
本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
2、C
【解析】
根据平行线的判定与性质，可判断A；
根据全等三角形的判断与性质，可判断B；
根据对顶角性质，可判断C；
根据直角三角形的判断与性质，可判断D.
【详解】
A“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“内错角相等，两直线平行”是真命题，故A不符合题意；
B“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“三边对应相等的两个三角形全等”是真命题，故B不符合题意；
C“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C符合题意；
D“有一个角为90度的三角形是直角三角形”的逆命题是“直角三角形中有一个角是90度”是真命题，故D不符合题意；
故选C
本题考查了命题与定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键.
3、A
【解析】
关键描述语为：提前4小时开通了列车；等量关系为：计划用的时间—实际用的时间.
【详解】
题中原计划修小时，实际修了小时，
可列得方程.
故选：.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，从关键描述语找到等量关系是解决问题的关键.
4、C
【解析】
利用中心对称图形与轴对称图形定义判断即可．
【详解】
解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C是中心对称图形，也是轴对称图形，故正确；
D是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意
故选：C
此题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
5、D
【解析】
根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、幂的乘方的运算法则逐项进行判断即可得.
【详解】
A、，故A选项错误；
B、、不是同类项，不能合并，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确，
故选D．
本题考查了合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
6、D
【解析】
根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.
【详解】
解：∵函数y=有意义,
∴x-20,
即x＞2
故选D
本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.
7、A
【解析】
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【详解】
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（1，2）．
故选A．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8、C
【解析】
分别计算出去掉c前后的平均数，中位数和众数，进行比较即可得出答案．
【详解】
去掉c之前：
平均数为： ，
中位数是 ，众数是17；
去掉c之后：
平均数为： ，
中位数是 ，众数是17；
通过对比发现，去掉c，只对中位数有影响，
故选：C．
本题主要考查平均数，中位数和众数，掌握平均数，中位数和众数的求法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
根据一次函数平移“上加下减”，即可求出.
【详解】
解：函数y＝的图象与y轴的交点坐标是(0，-2)，
图象需要向上平移1-(-2)=3个单位才能经过点(0，1).
故答案为：3.
本题考查了一次函数的平移，将直线的平移转化成点的平移是解题的关键.
10、﹣1＜m＜
【解析】
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】
解：由一次函数y＝（m+1）x+2m﹣3的图象经过第一、三、四象限，知
m+1＞0，且2m﹣3＜0，
解得，﹣1＜m＜．
故答案为：﹣1＜m＜．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与系数的关系.
11、100
【解析】
根据平行四边形对角相等的性质，即可得解.
【详解】
∵中，，
∴
故答案为100.
此题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握，即可解题.
12、，
【解析】
根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB，
∴S△ADC=S△ABC=S矩形ABCD=×20=10，
∴S△AOB=S△BCO=S△ABC=×10=5，
∴S△ABO1=S△AOB=×5=，
∴S△ABO2=S△ABO1=，
S△ABO3=S△ABO2=，
S△ABO4=S△ABO3=，
∴S平行四边形AO4C5B=2S△ABO4=2×=，
平行四边形AOnCn+1B的面积为，
故答案为：；.
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
13、
【解析】
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
【详解】
连接DE交AC于P，连接DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt△ADE中，DE==．
∴PB+PE的最小值为．
故答案为．
本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、当时，
【解析】
首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.
【详解】
当时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD=QC，
∴
∴
∴当时，.
此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.
15、（1）见解析；（2）8
【解析】
（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）求出OC=OD=2，由菱形的性质即可得出答案．
【详解】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形
又∵四边形 是矩形
∴
∴四边形为菱形；
解：∵四边形 是矩形
∴
又∵
∴
由知，四边形为菱形
∴四边形的周长为．
考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
16、（1）3600，20；（2）y=55x-800.
【解析】
（1）由函数图象可以直接得出小亮行走的路程是3600米，途中休息了20分钟；
（2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；
【详解】
解：（1）由函数图象，得
小亮行走的总路程是3600米，途中休息了50-30=20（分钟）．
故答案为：3600，20；（2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：
∴当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为：y=55x-800；
本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题．
17、（1）9个；（2）见解析
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得平行四边形的个数；（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．
【详解】
(1)∵在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形EBHP、PHCF、PFDG、AEPG、ABHG、GHCD、BCFE、AEFD、ABCD均为平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（包括□ABCD）的个数为9个
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD，
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP=S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD=S△FPD，
∴S△ABD-S△BEP-S△GPD=S△BCD-S△BHP-S△PFD，即S▱AEPG=S▱HCFP，
∴S▱ABHG=S▱BCFE，
同理S▱AEFD=S▱HCDG，
即：S▱ABHG=S▱BCFE，S▱AGPE=S▱HCFP，S▱AEFD=S▱HCDG，
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分是解题的关键.
18、（1）见解析；（2）y1＞y2．
【解析】
（1）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（2）根据y随x的增大而减小求解．
【详解】
（1）令y＝0，则x＝2
令x＝0，则y＝1
所以，点A的坐标为（2，0）
点B的坐标为（0，1）
画出函数图象如图：
；
（2）∵一次函数y＝﹣x+1中，k＝-＜0，∴y随x的增大而减小
∵﹣1＜3
∴y1＞y2．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
延长CA至M，使AM=AB，连接BM，作AN⊥BM于N，由DE平分△ABC的周长，又CD=DB，得到ME=EC，根据中位线的性质可得DE=BM，再求出BM的长即可得到结论．
【详解】
解：延长CA至M，使AM=AB，连接BM，作AN⊥BM于N，
∵DE平分△ABC的周长，CD=DB，
∴ME=EC，
∴DE=BM，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAM=120°，
∵AM=AB，AN⊥BM，
∴∠BAN=60°，BN=MN，
∴∠ABN=30°，
∴AN=AB=1，∴BN=，
∴BM=2，
∴DE=，
故答案为：．
本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，作出辅助线综合运用基本性质进行推理是解题的关键．
20、
【解析】
分析：由矩形的性质得出∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．
详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，
∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，
∴∠ACF=2∠FEA，
设∠ECD=x，则∠ACF=2x，
∴∠ACD=3x，
∴3x+21°=90°，
解得：x=23°.
故答案为：23°．
点睛：本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
21、1个．
【解析】
首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2−4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，表达出两根，然后根据方程有两个正整数根以及m的取值范围得出m为完全平方数即可．
【详解】
解：将方程整理得：x2−（2m＋4）x＋m2＋4＝0，
∴，
，
∵两根都是正整数，且是满足不等式的正整数，
∴m为完全平方数即可，
∴m=1，4，9，16，25，36，49，共1个，
故答案为：1．
此题主要考查了含字母系数的一元二次方程，确定m为完全平方数是解决本题的关键．
22、144°.
【解析】
根据多边形的内角和定理分别求出∠BAE＝∠AED＝∠FAM＝∠AMH，即可求出∠EAM和∠BAF的度数，根据旋转的性质，分顺时针和逆时针讨论，取x的最小值.
【详解】
∵五边形ABCDE，AFGHM是正五边形
∴∠BAE＝∠AED＝∠FAM＝∠AMH108°，
∴∠AEM＝∠AME＝72°，
∴∠EAM＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∠BAF=360°-∠BAE -∠FAM-∠EAM=108°，
∵正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合，
顺时针旋转最小需：36°+108°=144°，逆时针旋转最小需：108°+108°=216°，
∴x的最小值为36°+108°＝144°
故答案为：144°.
本题考查多边形的内角和外角，旋转的性质.能分情况讨论找出旋转前后对应线段并由此计算旋转角是解决此题的关键.
23、1
【解析】
根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=6，所以△A1BA 是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【详解】
解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=6，
∴△A1BA 是等腰三角形，∠A1BA=30°，
∴S△A1BA= ×6×3=1，
又∵S 阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1=S△ABC，
∴S 阴影=S△A1BA=1． 故答案为1．
本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、【几何背景】：详见解析；【知识迁移】：详见解析；【拓展应用】：
【解析】
几何背景：由 Rt△ABD中，AD1＝AB1﹣BD1，Rt△ACD中，AD1＝AC1﹣CD1，则结论可证．
知识迁移：过P点作PE⊥AD，延长EP交BC于F，可证四边形ABFE，四边形DCFE是矩形．根据上面的结论求得PA、PB、PC、PD之间的数量关系．
拓展应用：根据勾股定理可列方程组，可求PD＝c，PC＝c即可得.
【详解】
解：几何背景：在Rt△ABD中，AD1＝AB1﹣BD1
Rt△ACD中，AD1＝AC1﹣CD1，
∴AB1﹣BD1＝AC1﹣CD1，
∴AB1﹣AC1＝BD1﹣CD1．
知识迁移：BP1﹣PC1 ＝BF1﹣CF1．
如 图：
过P点作PE⊥AD，延长EP交BC于F
∴四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°
又∵PE⊥AD
∴PF⊥BC
∵PE是△APD的高
∴PA1﹣PD1＝AE1﹣DE1．
∵PF是△PBC的高
∴BP1﹣PC1 ＝BF1﹣CF1．
∵∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，PE⊥AD，PF⊥BC
∴四边形ABFE，四边形DCFE是矩形
∴AE＝BF，CF＝DE
∴PA1﹣PD1＝BP1﹣PC1．
拓展应用：∵PA1﹣PD1＝BP1﹣PC1．
∴PA1﹣PB1＝c1．
∴PD1﹣PC1＝c1．
且PD1+PC1＝c1．
∴PD＝c，PC＝c
∴，
故答案为.
本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组．
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）450
【解析】
（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【详解】
（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；
（2）如图2的三角形的边长分别为2，、；
（3）如图3，连接AC，
因为AB2=22+42=20，AC2=32+12=10,BC2=32+12=10,
所以AB2= AC2+ BC2，AC=BC
∴三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．
26、探究：和全等，理由见解析；拓展：．
【解析】
探究：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；
拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA=OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．
【详解】
探究：和全等．
四边形ABCD是菱形，
．
，
．
为等边三角形
．

，
≌；
拓展：
点O在AD的垂直平分线上，

．
．
，，
≌

．
本题考核知识点：菱形性质，等边三角形性质，全等三角形判定和性质等.知识点多，但不难. 解题关键点：熟记相关知识点.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人