河北省秦皇岛市卢龙县2025届数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】

这是一份河北省秦皇岛市卢龙县2025届数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若a使得关于x的分式方程 有正整数解。且函数y=ax−2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
2、（4分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华
3、（4分）如图，，点是垂直平分线的交点，则的度数是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）已知下面四个方程： +3x＝9；+1＝1；＝1；＝1．其中，无理方程的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
5、（4分）下列代数式是分式的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）已知一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7、（4分）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则AB的长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8、（4分）下列方程中，判断中错误的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程D．方程是一元二次方程
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是______．
10、（4分）如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC，BC于点D，E两点，当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A，C重合），给出以下个结论：①CD=BE；②四边形CDFE不可能是正方形；③△DFE是等腰直角三角形；④S四边形CDFE=S△ABC．上述结论中始终正确的有______．（填序号）
11、（4分）不等式的非负整数解为_____．
12、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为_____________．
13、（4分）我国很多城市水资源短缺，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准．某市居民月交水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水18吨，则应交水费_____元．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）阅读理解：
定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”.

(1)在“和谐四边形”中，若，则 ；
(2)如图，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，.
求证：四边形是“和谐四边形”.
15、（8分）解分式方程：
16、（8分）某商店分两次购进 A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣4，m）．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）若点P在x轴上，AP＝5，直接写出点P的坐标．
18、（10分）计算：×2－÷；
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，经过点B（－2，0）的直线与直线相交于点A（－1，－2），则不等式的解集为 ．
20、（4分）若分解因式可分解为，则=______。
21、（4分）若是整数，则最小的正整数n的值是_____________。
22、（4分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（0，1）和B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜1的解集是_____．
23、（4分）在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G.
（1）如图1，当∠AEC = ，AE=4时，求FG的长；
（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG
25、（10分）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元。
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共80只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的3倍，问如何购买最省钱，说明理由。
26、（12分）如图，大拇指与小指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：
（1）求出h与d之间的函数关系式；
（2）某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
先解分式方程，求得a的值，再由函数图象有交点求得a的取值范围，则可求得a的值，可求得答案．
【详解】
解分式方程可得x=4−，
∵a使得关于x的分式方程有正整数解，
∴a的值为0、2、4、6，
联立y=ax−2x−3与y=2x−1，消去y,整理可得ax−4x−2=0，
由函数图象有交点,可知方程ax−4x−2=0有实数根，
当a=0时，方程有实数解，满足条件，
当a≠0时，则有△⩾0，即16+8a⩾0，解得a⩾−2且a≠0，
∴满足条件的a的值为0、2、4、6，共4个，
故选D.
此题考查分式方程的解，二次函数的性质，一次函数的性质，解题关键在于求得a的值.
2、C
【解析】
将原式进行因式分解即可求出答案．
【详解】
解：原式=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）
由条件可知，（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）可表示为“爱我中华”
故选C．
本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．
3、B
【解析】
利用线段垂直平分线的性质即可得出答案.
【详解】
解：
连接OA，OB
∵∠BAC=80°
∴∠ABC+∠ACB=100°
又∵O是AB和AC垂直平分线的交点
∴OA=OB，OA=OC
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC
∴∠OBA+∠OCA=80°
∴∠OBA+∠OCB=100°-80°=20°
又∵OB=OC
∴∠BCO=∠CBO=10°
故答案选择B.
本题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质.
4、A
【解析】
无理方程的定义是:根号下含有未知数的方程即为无理方程,根据定义即可判断.
【详解】
无理方程的定义是:根号下含有未知数的方程即为无理方程,根据定义只有第一个方程为无理方程.即+3x＝9，1个，
故选：A．
本题直接考查了无理方程的概念--根号下含有未知数的方程即为无理方程.准确掌握此概念即可解题..
5、D
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式;
分母中含有字母，因此是分式.
故选：D.
考查分式的定义，掌握分式的定义是判断代数式是不是分式的前提.
6、D
【解析】
根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】
如图所示，一次函数y=kx+b的图象，y随x的增大而增大，所以k＞1，直线与y轴负半轴相交，所以b＜1．
故选D．
本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞1时，直线必经过一、三象限；k＜1时，直线必经过二、四象限；b＞1时，直线与y轴正半轴相交；b=1时，直线过原点；b＜1时，直线与y轴负半轴相交．
7、D
【解析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
故选D．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8、C
【解析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A. 方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；
B. 方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
C. 方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；
D. 方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、.
【解析】
根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=0.5AB=5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可.
【详解】
解：、分别是、的中点，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为.
本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键.
10、①③④
【解析】
首先连接CF，由等腰直角三角形的性质可得：，则证得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可证得：△DCF≌△EBF，由全等三角形的性质可得CD=BE，DF=EF，也可证得S四边形CDFE=S△ABC．问题得解．
【详解】
解：连接CF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，点F是AB中点，
∴∠DCF=∠B=45°，
∵∠DFE=90°，
∴∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，
∴∠DFC=∠EFB，
∴△DCF≌△EBF，
∴CD=BE，故①正确；
∴DF=EF，
∴△DFE是等腰直角三角形，故③正确；
∴S△DCF=S△BEF，
∴S四边形CDFE=S△CDF+S△CEF=S△EBF+S△CEF=S△CBF=S△ABC．，故④正确．
若EF⊥BC时，则可得：四边形CDFE是矩形，
∵DF=EF，
∴四边形CDFE是正方形，故②错误．
∴结论中始终正确的有①③④．
故答案为：①③④．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定等知识．题目综合性很强，但难度不大，注意数形结合思想的应用．
11、0，1，1
【解析】
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【详解】
解不等式得：，
∴不等式的非负整数解为0，1，1．
故答案为：0，1，1．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
12、 (2，1)
【解析】
【分析】直接运用线段中点坐标的求法，易求N的坐标.
【详解】点N的坐标是：（），即（2，1）.
故答案为：(2，1)
【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中求线段的中点. 解题关键点：理解线段中点的坐标求法.
13、38.8
【解析】
根据图形可以写出两段解析式，即可求得自来水公司的收费数．
【详解】
将(10,18)代入y=ax得：10a=18，
解得：a=1.8，
故y=1.8x(x⩽10)
将(10,18),(15,31)代入y=kx+b得：
，
解得：，
故解析式为：y=2.6x−8(x>10)
把x=18代入y=2.6x−8=38.8.
故答案为38.8.
本题考查用一次函数解决实际问题，关键是应用一次函数的性质.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据四边形的内角和是360°，即可得到结论；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB＝∠DCB＝∠ABC即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是“和谐四边形”，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∵∠B＝135°，
∴∠A＝∠D＝∠C＝（360°−135°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°．
∵DE＝DA，DF＝DC，
∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF，
∵∠DAE＋∠DAB＝180°，∠DCF＋∠DCB＝180°，∠E＋∠EBF＝180°，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，
∴四边形ABCD是“和谐四边形”．
本题主要考查了翻折变换−折叠问题，四边形的内角和是360°，平行四边形的性质等，解题的关键是理解和谐四边形的定义．
15、
【解析】
观察可得最简公分母是（x-3）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
解：去分母，得：2（x-2）=3（x-3）
去括号，得：2x-4-3x+9=0
解得：x=5
检验：当x=5时，（x-3）（x-2）=6≠0，
∴x=5是原方程的解．
本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根
16、（1）A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元；（2）当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
【解析】
试题分析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+1．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤2．
∵在w=10m+1中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，
∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
考点：一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式.
17、（1）y＝﹣；（2）P点的坐标是（﹣7，0）或（﹣1，0）．
【解析】
(1)先求出A的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
(2)根据勾股定理求出即可．
【详解】
(1)∵A(﹣4，m)在一次函数y＝﹣x上，
∴m＝4，
即A(﹣4，4)，
∵A在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，
∴k＝﹣16，
∴反比例函数y＝的解析式是y＝﹣；
(2)∵Rt△ABP中，∠ABP=90°，AB=4，AP=5，
∴BP==3，
-4-3=-7，-4+3=-1，
∴P点的坐标是(﹣7，0)或(﹣1，0)．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.
18、4
【解析】
试题分析：先算乘除，再合并同类二次根式。
×2－÷
考点：本题考查的是二次根式的混合运算
点评：解题的关键是熟知二次根式的乘法法则：，二次根式的除法法则：.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
分析：不等式的解集就是在x下方，直线在直线上方时x的取值范围．
由图象可知，此时．
20、-7
【解析】
将（x+3）(x+n)的形式转化为多项式，通过对比得出m、n的值，即可计算得出m+n的结果.
【详解】
（x+3）（x+n）=+（3+n）x+3n，
对比+mx-15，
得出：3n=﹣15，m=3+n，
则：n=﹣5，m=﹣2.
所以m+n=﹣2﹣5=﹣7.
本题考查了因式分解，解题关键在于通过对比两个多项式，得出m、n的值.
21、1
【解析】
是整数则1n一定是一个完全平方数，把1分解因数即可确定．
【详解】
解：∵1=1×1，
∴n的最小值是1．
故答案为：1．
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．也考查了=|a|．
22、x＞1
【解析】
观察函数图象，写出在y轴右侧的自变量的取值范围即可．
【详解】
当x＞1时，ax+b＜1，
即不等式ax+b＜1的解集为x＞1．
故答案为：x＞1
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
23、+、1
【解析】
设y=kx+b，把x=-2，y=-5；x=0，y=1代入得：
解之得即y=3x+1．
所以第三个键和第四个键应是+、1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）FG＝2；（2）见解析.
【解析】
（1）根据正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质可得出∠DAF=∠F=30°，进一步可求得∠GDF=∠F=30°，从而得出FG=DG，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2.
（2）根据已知条件可证得AE=DH且AE⊥DH，从而证得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,从而证得AH=MH，DM=DG，而AE=DH=DM+MH即AE=AH+DG.
【详解】
（1）当∠AEC＝120°，即∠DAE＝60°，
即∠BAE＝∠EAG＝∠DAG＝30°，
在三角形ABE中，
AE＝4，
所以，BE＝2，AB＝2，
所以，AD＝AB＝2，
又DF∥AE，所以，∠F＝∠EAG＝30°，
所以，∠F＝∠DAG＝30°，
又所以，∠AGD＝60°，所以，∠CDG＝30°，
所以 FG＝DG
在△ADG中，AD＝2，所以，DG＝2，FG＝2
（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB,
在Rt△ADH和Rt△BAE中
∴Rt△ADH≌Rt△BAE，
∴∠ADH=∠BAE,
∵∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠ADH+∠DAE=90°，
∴∠AND=90°.
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAG,
∵∠ADH=∠BAE,
∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE.
即∠MAH=∠AMH.
∴AH=MH.
∵AE∥DF,
∴∠MDF=∠AND=90°,∠DAF=∠F
∴∠GDF=∠ADM,
∴∠ADM+∠DAF=∠GDF+∠F,
即∠DMG=∠DGM.
∴DM=DG.
∵DH=DM+HM,
∴AE=AH+DG.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质等腰三角形的判定，线段的各差关系。正确理解和运用相关知识是解题关键.
25、（1）1只A型节能灯的售价为5元，1只B型节能灯的售价为7元；（2）购买60只A型节能灯，20只B型节能灯最省钱,理由见解析
【解析】
（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设A型节能灯买了a只，则B型节能灯买了（80-a）只，共花费w元，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集即可.
【详解】
解（1）设1只A型节能灯的售价为x元，1只B型节能灯的售价为y元
由题意得：
解得：
答：1只A型节能灯的售价为5元，1只B型节能灯的售价为7元
（2）设购买A型节能灯a个，则购买B型节能灯（80-a）个，总费用为w元
由题意得：a≤3（80-a）
解得a≤60
又∵w=5a+7（80-a）=-2a+560
∴w随a的增大而减小
∴当a取最大值60时，w有最小值
w=-2×60+560=440
即购买60只A型节能灯，20只B型节能灯最省钱
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组或不等式组是解此题的关键.
26、 (1) h=9d−20；(2) 24cm.
【解析】
（1）根据题意设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b，利用待定系数法从表格中取两组数据，利用待定系数法，求得函数关系式；
（2）把h=196代入函数解析式即可求得．
【详解】
(1)设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b.
把d=20,h=160;d=21,h=169,
分别代入得,.
解得k=9，b=−20，
即h=9d−20；
(2)当h=196时，196=9d−20，
解得d=24cm.
本题考查了一次函数的应用，根据题意找到对应数据是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
-2
1
4
7
10