海南省海南中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份海南省海南中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知一次函数的图象与轴交于点，且随自变量的增大而减小，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）
①y＝﹣2x+1；②y＝6﹣x；③y＝-；④y＝（1﹣）x．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、（4分）对于函数y=﹣5x+1，下列结论：
①它的图象必经过点（﹣1，5）
②它的图象经过第一、二、三象限
③当x＞1时，y＜0
④y的值随x值的增大而增大，
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4、（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
5、（4分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3D．0＜x＜3
6、（4分）在直角坐标系中，若点P(2x－6，x－5)在第四象限，则x的取值范围是( )
A．3＜x＜5B．－5＜x＜3C．－3＜x＜5D．－5＜x＜－3
7、（4分）直角三角形两边分别为3和4，则这个直角三角形面积为（ ）
A．6B．12C．D．或6
8、（4分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．无法确定
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，_____是常量，_____是变量．
10、（4分）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数，当所挂物体的质量分别为和时，弹簧长度分别为和，当所挂物体的质量为时弹簧长________厘米？
11、（4分）一组数据 ，则这组数据的方差是 __________ .
12、（4分）当x___________时，是二次根式．
13、（4分）如图，是将绕点顺时针旋转得到的．若点，，在同一条直线上，则的度数是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）．设点E，F同时出发移动t秒．
（1）在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是 ，始终保持不变；
（2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；
（3）如图3，点G，H分别在边AB，CD上，且GH=cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值．
15、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝1．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于1且小于1，求k的取值范围．
16、（8分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1）．与y轴交于点B
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．
17、（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是线段AB上的一个动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
18、（10分）如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为1，5，1，1．则最大的正方形E的面积是___．
20、（4分）若反比例函数y＝的图象经过A（﹣2，1）、B（1，m）两点，则m=________．
21、（4分）二次三项式是一个完全平方式，则k=_______.
22、（4分）已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为 ．
23、（4分）将函数的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S矩形ABCD＝3S△PAB，则PA+PB的最小值为_____．
25、（10分）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修．技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度．
26、（12分）我们定义：如果两个三角形的两组对应边相等，且它们的夹角互补，我们就把其中一个三角形叫做另一个三角形的“夹补三角形”，同时把第三边的中线叫做“夹补中线．例如：图1中，△ABC与△ADE的对应边AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE边的中线，则△ADE就是△ABC的“夹补三角形”，AF叫做△ABC的“夹补中线”．
特例感知：
（1）如图2、图3中，△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，AF是△ABC的“夹补中线”；
①当△ABC是一个等边三角形时，AF与BC的数量关系是： ；
②如图3当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，BC＝a时，则AF的长是 ；
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AF与BC的关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等边三角形，求证：△PCD是△PBA的“夹补三角形”，并求出它们的“夹补中线”的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据一次函数随自变量的增大而减小，再根据一次函数与不等式的关系即可求解.
【详解】
随自变量的增大而减小，
当时，，
即关于的不等式的解集是．
故选：．
此题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟知一次函数的图像.
2、D
【解析】
①中，k=-2<0；②中，k=-1<0；③中，k=-<0；④中，k=-<0.
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质，k<0时，y随x的增大而减小．
故①②③④都符合.
故选D.
点睛：本题考查一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3、B
【解析】
试题分析：∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=-6≠5，
∴此点不在一次函数的图象上，
故①错误；
∵k=-5＜0，b=1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，
故②错误；
∵x=1时，y=-5×1+1=-4，
又k=-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y＜-4，
则y＜0，
故③正确，④错误．
综上所述，正确的只有：③
故选B．
考点：一次函数的性质．
4、D
【解析】
本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.
【详解】
A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；
C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；
D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.
故选D.
本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.
5、A
【解析】
根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
由图可知，﹣3＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故选：A．
本题考查了二次函数与不等式，数形结合准确识图是解题的关键．
6、A
【解析】
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【详解】
解：∵点P（2x-6，x-1）在第四象限，
∴，
解得：3＜x＜1．
故选：A．
主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．
7、D
【解析】
此题要考虑全面，一种是3,4为直角边；一种是4是斜边，分情况讨论即可求解.
【详解】
当3和4是直角边时，面积为；当4是斜边时，另一条直角边是，面积为，故D选项正确.
此题主要考查勾股定理和三角形面积的计算，注意要分情况讨论.
8、A
【解析】
根据题意得出算式，再进行化简，即可得出选项．
【详解】
解：把分式中的x和y都扩大3倍为 =，即分式的值不变，
故选：A．
本题考查分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、电影票的售价 电影票的张数，票房收入．
【解析】
根据常量，变量的定义进行填空即可．
【详解】
解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，
故答案为：电影票的售价；电影票的张数，票房收入．
本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键．
10、
【解析】
设y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；把x=4时代入解析式求出y的值即可．
【详解】
设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得：
，
解得： ．
故y与x之间的关系式为：y= x+14.1；
当x=4时，
y=0.1×4+14.1=16.1．
故答案为：16.1
此题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题关键在于列出方程
11、1
【解析】
分析：先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
详解：平均数为=（1+1+3+4+5）÷5=3，
S1= [（1-3）1+（1-3）1+（3-3）1+（4-3）1+（5-3）1]=1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
12、≤；
【解析】
因为二次根式满足的条件是:含二次根号,被开方数大于或等于0,利用二次根式满足的条件进行求解.
【详解】
因为是二次根式,
所以,
所以,
故答案为.
本题主要考查二次根式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的定义.
13、
【解析】
根据旋转的性质，即可求出的度数．
【详解】
旋转，
，，
，
．
故答案为：．
本题考查了三角形的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（3）等腰直角三角形；（3）；（3）3．
【解析】
试题分析：（3）判断三角形CDE和三角形CBF全等是解题的关键；（3）此题过点E作EN∥AB，交BD于点N，证明△EMN≌△FMB，得出EM=FM，于是AM是直角三角形AEF斜边EF中线，只要求出EF长，AM长就求出来了；（3）设EF与GH交于P，连接CE，CF，若∠EPH=45°，前面已证∠EFC=45º，显然GH∥CF，又有AF∥DC，可判断四边形GFCH是平行四边形，CF=GH=，在Rt△CBF中，用勾股定理求出BF长，即t值求出．
试题解析：（3）∵点E，F的运动速度相同，且同时出发移动t秒，∴DE=BF=t，又∵CD=CB，∠CDE=∠CBF，∴△CDE≌△CBF，∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，∠ECF=∠ECB＋∠BCF=∠ECB＋∠DCE=90º，∴△CEF的形状是等腰直角三角形；（3）先证△EMN≌△FMB，过点E作EN∥AB，交BD于点N，∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°， ∴EN="ED=BF=3" ，可证△EMN≌△FMB（AAS），∴EM=FM，Rt△AEF中，AE=4，AF=6+3=8，EF=，∴AM=EF=．（3）连接CE，CF，设EF与GH交于P，由（3）得∠CFE=45°，又∠EPH=45°，∴GH∥CF，又AF∥DC， ∴四边形GFCH是平行四边形 ，∴CF=GH=，在Rt△CBF中，得BF=3，∴t=3．
考点：3．正方形性质；3．三角形全等及勾股定理的运用；3．平行四边形的判定与性质．
15、（3）证明见解析；（2）3＜k＜2．
【解析】
（3）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式恒成立，因此得证；
（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于3且小于3，列出关于的不等式组，解之即可.
【详解】
（3）证明：△=b2-4ac=[-（k+3）]2-4×（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2，
∵（k-3）2≥3，即△≥3，
∴此方程总有两个实数根，
（2）解：
解得 x3=k-3，x2=2，
∵此方程有一个根大于3且小于3，
而x2＞3，
∴3＜x3＜3，
即3＜k-3＜3．
∴3＜k＜2，
即k的取值范围为：3＜k＜2．
本题考查了根的判别式，解题的关键是：（3）牢记“当时，方程总有两个实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组.
16、（1）m=2，B（0，2）；（2）C（0，-1）或（0，-3）.
【解析】
（1）依据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到m的值和点B的坐标；
（2）依据点C在y轴上，且△ABC的面积是1，即可得到BC=1，进而得出点C的坐标．
【详解】
（1）∵直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1），
∴m＝1，
∴m=2，
∴A（2，1），
代入y=x+b，可得×2+b＝1，
∴b=-2，
∴B（0，-2）．
（2）点C（0，-1）或C（0，-3）．理由：
∵△ABC的面积是1，点C在y轴上，
∴|BC|×2=1，
∴|BC｜=1，
又∵B（0，-2），
∴C（0，-1）或C（0，-3）．
本题考查一次函数的交点问题以及三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17、（1）见解析（2）① ②5
【解析】
（1）四边形ABCD是菱形，则ND∥AM，故∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME.由于E是AD边的中点，则DE=AE.由全等三角形的判定定理，得出△NDE≌△MAE，故ND=MA.
根据平行四边形的判定方法，即可得出四边形AMDN是平行四边形.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：① 若四边形AMDN是矩形，则∠DMA=90°，
在△AMD中，∠DMA=90°，∠DAB=60°，则∠ADM=30°.
在Rt△AMD中，∠AMD=30°，故AM=AD=.
②若四边形AMDN是菱形，则ADMN,
在Rt△MEA中，∠DAB=60°，则∠EMA=30°，
故AE=AM，即AM=2AE，
由于E是AD的中点，则AE=，
所以AM=2×=5.
本题是考查平行四边形的判定方法、菱形的性质、直角三角形的性质的综合性题目.熟练掌握平行四边形、菱形、直角三角形的性质及判定方法是解决本题的关键，本题也是中考题目常考题型.
18、见解析
【解析】
延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
【详解】
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF
∵E是AC中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
∴BD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥CB，DE＝BC．
本题考查了三角形的中位线定理的证明，用到的知识点有全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S1，S1+S1=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为1，5，1，1，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S1=1+5+1+1=2．
20、-2
【解析】
将点A代入反比例函数解出k值，再将B的坐标代入已知反比例函数解析式，即可求得m的值.
【详解】
解：∵反比例函数y=，它的图象经过A（-2，1），
∴1=，
∴k=-2
∴y=，
将B点坐标代入反比例函数得，
m=，
∴m=-2，
故答案为-2.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.
21、±6
【解析】
根据完全平方公式的展开式，即可得到答案.
【详解】
解：∵是一个完全平方式，
∴；
故答案为：.
本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的展开式.
22、y=－x+1
【解析】
由函数的图象与直线y=-x+1平行，可得斜率，将点（8，2）代入即可人求解．
解：设所求一次函数的解析式为 y=kx+b，
∵函数的图象与直线y=-x+1平行，
∴k=-1，
又过点（8，2），有2=-1×8+b，
解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，
故答案为y=-x+1．
23、y=2x﹣1
【解析】
根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论．
【详解】
根据“上加下减”的原理可得：
函数y=2x的图象向下平移1个单位后得出的图象的函数解析式为y=2x﹣1．
故答案为：y=2x﹣1．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移原理找出平移后的函数解析式．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、4
【解析】
首先由S矩形ABCD=3S△PAB，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】
设△ABP中AB边上的高是h．
∵S矩形ABCD=3S△PAB，
∴AB•h=AB•AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
25、摩托车的速度是40km/h，抢修车的速度是60km/h．
【解析】
设摩托车的是xkm/h，那么抢修车的速度是1.5xkm/h，根据供电局的抢修车所用时间+15分钟=技术工人骑摩托车所用时间，可列方程求解．
【详解】
解：设摩托车的是xkm/h，
x=40
经检验x=40是原方程的解．
40×1.5=60（km/h）．
答：摩托车的速度是40km/h，抢修车的速度是60km/h．
本题考查分式方程的应用，读懂题意找出等量关系是解题的关键．
26、（1）AF＝BC；a；（2）猜想：AF＝BC，（3）
【解析】
（1）①先判断出AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，进而判断出∠ADE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论；
②先判断出△ABC≌△ADE，利用直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先判断出△AEG≌△ACB，得出EG＝BC，再判断出DF＝EF，即可得出结论；
（3）先判断出四边形PHCD是矩形，进而判断出∠DPC＝30°，再判断出PB＝PC，进而求出∠APB＝150°，即可利用“夹补三角形”即可得出结论．
【详解】
解：（1）
∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°
∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝30°，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF⊥DE，
在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，
故答案为：AF＝BC；
②当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝90°＝∠BAC，
易证，△ABC≌△ADE，
∴DE＝BC，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF＝DE＝BC＝a，
故答案为a；
（2）解：猜想：AF＝BC，
理由：如图1，延长DA到G，使AG＝AD，连EG
∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，
∴△AEG≌△ACB，
∴EG＝BC，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF＝EG，
∴AF＝BC；
（3）证明：如图4，
∵△PAD是等边三角形，
∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠PDC＝90°，
作PH⊥BC于H，
∵∠BCD＝90°
∴四边形PHCD是矩形，
∴CH＝PD＝3，
∴BH＝6﹣3＝3＝CH，
∴PC＝PB，
在Rt△PCD中，tan∠DPC＝，
∴∠DPC＝30°
∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，
∴∠APB+∠CPD＝180°，
∵DP＝AP，PC＝PB，
∴△PCD是△PBA的“夹补三角形”，
由（2）知，CD＝，
∴△PAB的“夹补中线”＝．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，新定义的理解和掌握，理解新定义是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分