贵州省黔西南州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份贵州省黔西南州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了本卷命题范围，设，，向量，，，且，，则，已知点到直线，已知直线等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章2.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A.150°B.120°C.60°D.30°
3.在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A.B.
C.D.
4.设，，向量，，，且，，则（ ）
A.B.-1C.1D.0
5.已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ）
A.B.
C.D.
6.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A.B.C.D.
7.已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ）
A.B.2C.D.4
8.已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，，，为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有（ ）
A.，，共面B.，，，中至少有三点共线
C.与共线D.，，，四点共面
10.已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ）
A.B.
C.D.
11.已知正方体的边长为2，、、、分别为、、、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.B.平面
C.点到平面的距离为2D.二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.平行直线与之间的距离为______.
13.已知点、，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数值范围为______.
14.阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值；
（2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程.
16.（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体中，，，，.
（1）证明：；
（2）求的长度.
17.（本小题满分15分）
在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）判断直线与平面的关系.
18.（本小题满分17分）
已知直线：（）.
（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；
（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
19.（本小题满分17分）
如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，.点为的中点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长.
安龙四中2024年秋季学期高二年级10月月考·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1. B 纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数.
2. A 因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又因为，所以，故选A.
3. C ，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选C.
4. D 因为，故，故，因为，故，
故，故，故选D.
5. A 线段的中点坐标为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的方程为，整理为.
6. D 已知，，，可得，，，，故向量在上的投影向量为.故选D.
7. C 因为直线：和直线：平行，且点到它们的距离相等，
所以点在直线：上，当时，点到坐标原点的距离最小，，故选C.
8. D 建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，，，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
9. AD 由于向量，，不能构成空间的一组基底，则，，共面，
所以，，，四点共面，故选AD.
10. ACD直 线：可化为，斜率为，在轴上的截距为.
直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为.
当时，直线与平行，故A可能.选项B中，由直线可得，.
而由直线的斜率为，可得，故B不可能.
在选项C中，由直线的斜率，而直线在轴上的截距.
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C可能.
选项D中，由直线得，.再由直线也可得，，故D可能.
11. BC 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，，
，.
∵，∴，A项错误
，.
设为平面的一个法向量，则，
即，令，得，则，
∵，∴平面，则B项正确；
∵，∴点到平面的距离为，C项正确；
由图可知，平面，所以是平面的一个法向量，则，故二面角的大小不是，所以D项不正确.故选BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线即为，则平行直线与之间的距离为.
13. 如图所示，是直线与直线交点的横坐标，当与重合时，取最大值，当与重合时，取最小值，所以的取值范围是.
14. 平面的方程为，∴平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，由，
令，则，，所以.
设直线与平面所成角的大小为，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.解：（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故的值是1或2.
（2）因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为，
由题意知直线经过点.
又直线经过原点，所以直线的方程为，即.
16.设，，，
（1）证明：，，
∵，，
∴，，，
∵
，
∴，即.
（2）解：
.
∴
，
∴的长度为.
17.解：（1）由题意可知，、、两两垂直，
分别以、、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，∴.
∴直线与所成角为.
（2）由（1）可得，
∴，，∴，，
∵，、平面，∴平面.
18.解：（1）因为直线：，即，
令，得，，
即直线过定点
所以无论取何值，直线始终经过第一象限.
（2）因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，
令，解得；令，得，
即，，
∴.
∵，∴，
则，当且仅当，即时，取得等号，
则，
∴，从而的最小值为4，
此时直线的方程为，即.
19.（1）证明：因为点为的中点，且，所以，则，
又，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
又，，所以，
所以，则，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）可知，，，两两互相垂直，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，设（），
则，，，，
设平面的一个法向量为，
由得取，
则，
设平面的一个法向量为，
由得取，则，
于是，
整理得，解得（舍去），
所以，即的长为2.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
A
D
C
D
题号
9
10
11
答案
AD
ACD
BC