云南省玉溪市新平彝族傣族自县民族中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

这是一份云南省玉溪市新平彝族傣族自县民族中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，设平面内四点，，，等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3，填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（ ）
A.0B.2C.4D.6
2.2024年1月至5月某市8大类商品和服务价格增长速度依次为3.1%，2.5%，1.9%，1.0%，0.8%，0.5%，，，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A.B.C.D.
3.已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
4.半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（ ）
A.B.
C.D.
5.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为（ ）
A.B.
C.或D.或
6.已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A.B.1C.D.
7.一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ）
A.B.C.D.
8.如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A.直线与BD所成的角不可能是
B.若，则二面角的平面角的正弦值为
C.当时，
D.当时，点到平面的距离为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设平面内四点，，，.则（ ）
A.B.C.D.
10.已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ）
A.B.
C.D.
11.已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在"仿射"坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A.已知，，则
B.已知，，其中x，y，，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值
C.已知，，则
D.已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，且，则__________.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则__________.
14.如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知三个顶点坐标分别为，，.
（1）试判断的形状；
（2）求边AC上的中线所在直线的方程.
16.（本小题满分15分）
已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，为坐标原点.
（1）求三角形OAB面积取最小值时直线的方程；
（2）求取最小值时直线的方程.
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和.
（1）若，求的值及与之间的距离；
（2）若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程.
18.（本小题满分17分）
如图，直三棱柱中，，，P，Q分别为，的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面CPQ所成角的正弦值；
（3）设点到直线CQ的距离为，点到平面CPQ的距离为，求的值.
19.（本小题满分17分）
在深度学习技术中，常用测量距离的方式有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.
（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点P，Q是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.
期中考卷参考答案
一、选择题
1.C 【解析】由题可得：，所以4.故选C.
2.B 【解析】将数据由小到大排列：，，0.5%，0.8%，1.0%，1.9%，2.5%，3.1%，因为，所以该组数据的第75百分位数为.故选B.
3.B 【解析】记为点，直线PA的斜率，直线PB的斜率，因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是.故选B.
4.A 【解析】，
所以.故选A.
5.C 【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故选C.
6.A 【解析】因为两直线交于，则，即，且，则；由原点到直线的距离，由，则，当且仅当时，取最大值，此时.即两直线重合时，原点到直线的距离最大.故选A.
7.D 【解析】倾斜角为的且过的直线的方程为，即.设点关于直线的对称点，则有，即，解得，即.于是反射后的光线所在的直线方程为，即.对于A：时，故A正确；对于B：时，故B正确；对于C：时，故C正确；对于D：时，故D错误.故选D.
8.B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，对于A，设，故，故，而，设直线与BD所成的角为，则，若直线与BD所成的角是，则，整理得到：，此方程无实数解，故直线与BD所成的角不可能是，故A正确；对于B，当时，结合A分析得，此时，故，而，设此时平面的法向量为，则即，取，则，，故，又，，设平面的法向量为，
则即，取，则，，故，故，故二面角的平面角的正弦值为，故B错误；对于C，当时，又A的分析可得，故，故，故C正确；对于D，当时，结合A中分析可得，，故，而，设平面的法向量为，则即，取，则，，故，又，故到平面的距离为，故D正确.故选B.
二、选择题
9.ABD 【解析】由题意可得：，，，，，因为，可知，故A正确；因为，可知，故B正确；因为，可知PS与QS不平行，故C错误；因为，可知，故D正确.故选ABD.
10.BD 【解析】分两种情况：所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为.①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即；②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.综上所述，所求直线方程为或.故选BD.
11.BCD【解析】对于A，，因为，且，所以，故A错误；对于B，如图所示，设，，则点在平面Oxy上，点在轴上，
由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；对于C，根据“仿射”坐标的定义可得，，故C正确；对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D正确.故选BCD.
三、填空题
12. 【解析】因为，且，所以，解得.故答案为.
13. 【解析】因为角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，所以，因为，所以，显然，，，所以，所以.故答案为.
14. 【解析】以点为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，其中x、，设平面AEF的法向量为，，，则，取，可得，，因为平面AEF，则，所以，，即，所以，当且仅当时，的长度取最小值.故答案为.
四、解答题
15.解：（1）因为，，，所以直线AB的斜率，，
直线AC的斜率，
则，所以且，
所以是以为直角的等腰直角三角形.
（2）易求AC中点坐标，所以直线BD的斜率，
边AC上的中线为，化为一般式为.
16.解：（1）由题意设，，其中a，b为正数，
可设直线的方程为，因为直线过点，
所以，由基本不等式可得，
所以，，当且仅当即时，ab取得最小值16，
所以面积，
所以当，时，面积最小，此时直线的方程为，即.
（2）因为，，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即.
17.解：（1）直线的斜率，
因为，所以直线的斜率存在，设为，且.
即，所以，解得.
将代入直线得，即，
所以与之间的距离为.
（2）若，则，
由可知，点是线段AB的中点，
设，所以点关于的对称点，
点在直线上，把点代入方程，，解得，
所以，，，即直线的方程为.
18.解：（1）连接，BP，
因为，P为的中点，所以，
因为棱柱直三棱柱，所以面，平面，
所以平面平面，又平面平面，面，
则平面，又平面，所以，
在矩形中，，为的中点，所以，
所以，故，又，面，面，
所以平面，又平面，所以.
（2）取BC的中点，连接PM，由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系Pxyz，如图所示.
由，，则，，，，.
设平面CPQ的法向量为，又，，
则即令，则.
设直线与平面CPQ所成的角为，又，
则，
故直线与平面CPQ所成角的正弦值为.
（3）由（2）知平面CPQ的一个法向量为，，，
所以点到平面CPQ的距离为，又，直线CQ的一个单位方向向量为，
则，，
所以点到直线CQ的距离为，所以.
19.解：（1），
，.
（2）设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、.
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值.
因此，点有如下两种可能：
①点为点，则，可得
②点在线段CD上运动时，此时与同向，取，
则.
因为，所以的最大值为.
（3）易知，设，
则，
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立.
综上，满足条件的直线有且只有两条，和.