云南省玉溪市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

玉溪一中2022—2023学年上学期高二年级期中考

数学学科试卷

总分：150分  考试时间：120分钟   命题人：试题研究中心  审题人： 试题研究中心

注意事项：

1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设,,则(    )

A.        B.       C.          D.

2.若经过,两点的直线的倾斜角是,则(    )  

A.          B.            C.              D.

3.若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是(    )

A.,,  B.,,  C.,,  D.,,

4.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是,,求密码被成功破译的概率(    )  

A.           B.            C.             D.     

5.已知,若,,,则(    )

A.      B.       C.        D.     

6.已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面的面积为(    )   

A.             B.             C.             D.

7.已知圆,直线经过点,则直线被圆截得的最短弦长为(    )

A.              B.               C.               D. 

8.如图,平行六面体的底面是

菱形,,且,

则异面直线与所成角的余弦值为（      ）

A.            B.         C.          D. 

二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,漏选得3分,错选不得分。

9.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生

“学宪法,讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况,对本校2000

名学生的得分情况进行了统计,按照[50,60）、[60,70）、…、

[90,100]分成5组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,

下列说法正确的是 （      ）

A．图中的值为0.020

B．由直方图中的数据,可估计75%分位数是82

C．由直方图中的数据,可估计这组数据的平均数为77

D．90分以上将获得金牌小卫士称号,则该校有20人获得该称号

10.已知为任意实数,当变化时,关于方程的说法正确的是（      ）

A.该方程表示的直线恒过点

B.当且仅当时,该方程表示的直线垂直于轴

C.若直线与平行,则

D.若直线与直线垂直,则        

11.已知函数,则（       ）

A.函数的最大值为    

B.当时,的最小正周期为

C.若是的一条对称轴,则

D.若在区间内有三个零点,则

12.有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点（包含端点）,则下列说法正确的是（   ）

A.该半正多面体的体积为

B.当点运动到点时,

C.当点在线段上运动时（包含端点）,始终与垂直

D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为  

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.复数的共轭复数是             .

14.若向量,满足,,则的最大值为            .

15.设空间两个单位向量,与向量的夹角的余弦值都等于,则              .

16.已知实数满足,则的最大值为             .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）已知直线

（1）已知直线经过点,且与垂直,求的方程;

（2）在上任取一点,在上任取一点,连接,取靠三等分点,过点作的平行线,求与之间的距离.

18.（本小题12分）在长方体中,,为上的动点,

（1）求证：∥平面;

（2）求与平面所成角的正弦值.

19.（本小题12分）在中,角的对边分别为,

已知

（1）求角;

（2）当求的周长.

20.（本小题12分）已知圆内有一点,为过点且倾斜角为的弦.

（1）当时,求的长;

（2）若为的中点,求所在直线的方程.

21.（本小题12分）如图,在直三棱柱中,,,,分别是棱,上的动点;

（1）当时,求证：;

（2）已知为中点时,线段上是否存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为,若存在,请确定点的位置,若不存在,请说明理由.

22.（本小题12分）环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源,目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车,纯电动汽车.为了提高生产质量,有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速,经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择：（且）

(1)当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（说明理由,并求所选函数模型的函数解析式;

(2)根据（1）中所得函数解析式,求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地,前一段是的国道（汽车匀速行驶）,后一段是的高速路（汽车行驶速度不低于,匀速行驶）,若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足,则如何行使才能使得总耗电量最少,最少为多少？

玉溪一中2022—2023学年上学期高二年级期中考

数学学科 参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17. （本小题10分）（1）设直线的方程为：,代入点,

则有，,

;···················································· 5分

（2）

,直线与直线之间的距离,

点是线段靠近点的三等分点,

与之间的距离.······································ 10分

18.（本小题12分）（1）证：如图,连接、,

在长方体中,∥且,

四边形为平行四边形,∥,

又平面,平面,

∥平面,同理∥平面,

又,平面∥平面,

又平面,∥平面;······························· 6分

（2）如图，过点作垂足为,

平面,平面,,

又,平面,平面,

平面,

为直线与平面所成角,

,

,又,.····················· 12分

19.（本小题12分）（1）解：由已知得角化边得,

,,

,,·································· 5分

（2）解：由（1）得,,,

又由余弦定理得,

,,,

所以周长为.············································ 12分

20.（本小题12分）（1）由题得圆的标准方程为,

所以圆心的坐标为,半径,

当时，直线的斜率.

所以直线的方程为,即.

圆心到直线的距离.

所以.········································ 6分

（2）由（1）知圆心的坐标为,为中点时,,

,直线的斜率不存在,

直线的方程为.················································· 12分

21.（本小题12分）（1）证：如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

设则

················ 5分

（2）设,其中,则,故,

设平面的法向量为,

则,令，得,

平面为平面，所以平面的法向量可为,

假设存在点满足条件,设平面与平面的夹角为,

则,即,,符合题意,

所以线段上存在点,满足使得平面与平面夹角的余弦值为. ·····································································12分

22.（本小题12分）（1）若选,则当时,该函数无意义,不合题意.

若选,显然该函数是减函数,这与矛盾,不合题意.

故选择,有表中数据得,

解得,所以当时,.················ 5分

（2）由题可知该汽车在国道路段所用时间为,所耗电量

所以当时,.

该汽车在高速路段所用时间为

所耗电量

已知在上单调递增,所以

故当该汽车在国道上行驶速度为,在高速路上的行驶速度为时,总耗电量最少,最少为.··································· 12分