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广东省佛山外国语学校2024-2025学年九年级上学期 第一次月考数学试题
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这是一份广东省佛山外国语学校2024-2025学年九年级上学期 第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A.1，2，1B.1，-2，1C.0，-2，-1D.0，-2，1
2.菱形ABCD的周长为20cm，那么菱形的边长是（ ）
A.6cmB.5cmC.4cmD.8cm
3.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个，这些球除颜色外其余完全相同.某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（ ）
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
4.如图，矩形ABCD的对角战AC与BD相交于点O，，已知，则BD的长度是（ ）
A.1B.2C.D.
5.根据表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A.B.C.D.无法判定
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
7.一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接AB，取AB中点O，则以下操作与判断正确的是（ ）
A.过点O作任意直线交木板两边于C、D，得到矩形ACBD
B.过点O作AB的垂线交木板两边于C、D，得到矩形ACBD
C.在木板上任意找两点C、D，使得，得到矩形ACBD
D.分别过点A、B作垂线，交对边于C、D，连接AC、BD，得到矩形ACBD
8.雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x根据题意，所列方程为（ ）
A.B.
C.D.
9.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线AC的长为（ ）
A.30cmB.C.20cmD.
10.如图所示，在中，，，，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动.要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ）
A.B.2sC.D.或2s
二、填空题（共16分）
11.已知是方程的根，则__________.
12.如图，在中，，D为AB的中点，，则CD的长是__________.
13.在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有60个，除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球、黑球的频率稳定在0.15和0.45，请你估计布袋中白球的个数是___________.
14.已知m，n是方程的两个实数根，则___________.
15.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是______.
三、解答题（共75分）
16.（本题8分）（1）解方程：（2）解方程：
17.（本题6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作，过点D作，CE、DE相交于点E，判断四边形OCED的形状，并说明理由.
18.（本题6分）将一个正方形的场地扩建，一边加长5m，一边加长2m后变成矩形，且矩形的面积是，求原来正方形的边长.
19.（本题7分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀.
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为_________；
（2）若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏甲获胜的概率?说明理由.
20.（本题7分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件.
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率.
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元?
21.（本题8分）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长餓于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是蔓形
（2）若，，求OE的长.
22.（本题9分）节籍是人类进步的阶梯!为爱护书一般都将书本用封皮包好.
（1）现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm.试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是_______cm，宽是________cm；
（2）在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度.
①若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示，若设正方形的边长（即折叠的宽度）为xcm，则包书纸长为_______cm，宽为_______cm（用含x的代数式表示）.
②请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长xcm.
23.（本题12分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根
（2）已知方程的两根为，，且满足，求的值；
（3）已知方程的两根为，（且），设，求y的最小值.
24.（本题12分）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形AOBC边长为2，点C的坐标为（2，2）.
（1）如图1，动点D在OB边上，将沿直线DC折叠，点B落在点处，连接并延长，交AO于点E.
①当时，点D的坐标是_______.
②若点E是线段OA的中点，求此时点D与点的坐标；
（2）如图2，动点D，G分别在边OB，AC上，将四边形DBCG沿直线DG折叠，使点B的对应点始终落在边OA上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交AC于点E.设，四边形的面积为S，求S与的关系式.
2024-2025学年第一学期九年级学科核心素养监测数学科评分标准
16.解：（1）
∴
∴或，
∴，；
（2），
∴，，，
∴，
∴，
∴，.
17.解：平行四边形OCED是矩形
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴，∴.
∵，，∴四边形OCED是平行四边形，
又，∴平行四边形OCED是矩形.
18.解：设原来的正方形的边长为xm，
则.
解得：（不合题意，舍去），.
答：原来的正方形的边长为4m.
19.（1）；
（2）解：
每一次摸球的可能性相同，根据题意列表如下：
∴共有12种等可能的结果.
∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况：
（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）
∴P（甲获胜）.
20.（1）解：设平均增长率为，
由题意得：
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元.
21.（1）证明：∵，∴，
∵AC为的平分线，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴，，，
∴，
∵，∴，
∵在中，，，
∴，∴，
∵，∴.
∵，∴OE为斜边上的中线，
∴.
22.（1）解：.
（2）解：①设折叠进去的宽度为，
则包书纸的长为，宽是.
故答案为，.
②由题意，得：，
解得：，（不符合题意舍去）；
∴，
答：小正方形的边长为2cm.
23.（1）证明：由题意得，
，
∴不论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，∴，即，
∴，∴，
∵关于x的一元二次方程的两根为，.
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根.
∴，∴，
∴.
（3）解：∵，∴，
解得或，
∵，∴，
∵，∴，，
∴，
∵，∴，
∴y的最小值为.
24.（1）解：①（1，0）.
②如图，连接CE，
∵点E是线段OA的中点，∴，
由折叠的性质可得，，
又∵，∴，
在和中，，
∴，
∴.
设点D的坐标为，则，
∴，∴，
在中，，
∴，解得，
∴点D的坐标为，
设直线DE的解析式为，
将和代入，得，解得，
∴直线DE的解析式为，
设点的坐标为，
∵，，∴，
解得或（舍去），
∴点的坐标为.
（2）解：如图，连接，BB，BG，设，则.
设，则，
在中，，
∴
解得，
∴；
设，则，
在中，.
在中，，
由折叠可知DG垂直平分，
∴，∴，即，
解得，
∴；
∴，
即.
摸球的次数n
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数m
33
96
155
244
298
602
摸到红球的频率
0.33
0.32
0.31
0.305
0.298
0.301
1.1
1.2
1.3
1.4
-3.59
-2.16
-0.71
0.76
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
B
C
B
C
C
D
B
D
A
3
3
24
2023
2
第一次
第二次
1
2
3
4
1
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
一、单选题（每题3分，共30分）
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A.1，2，1B.1，-2，1C.0，-2，-1D.0，-2，1
2.菱形ABCD的周长为20cm，那么菱形的边长是（ ）
A.6cmB.5cmC.4cmD.8cm
3.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个，这些球除颜色外其余完全相同.某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（ ）
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
4.如图，矩形ABCD的对角战AC与BD相交于点O，，已知，则BD的长度是（ ）
A.1B.2C.D.
5.根据表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A.B.C.D.无法判定
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
7.一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接AB，取AB中点O，则以下操作与判断正确的是（ ）
A.过点O作任意直线交木板两边于C、D，得到矩形ACBD
B.过点O作AB的垂线交木板两边于C、D，得到矩形ACBD
C.在木板上任意找两点C、D，使得，得到矩形ACBD
D.分别过点A、B作垂线，交对边于C、D，连接AC、BD，得到矩形ACBD
8.雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x根据题意，所列方程为（ ）
A.B.
C.D.
9.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线AC的长为（ ）
A.30cmB.C.20cmD.
10.如图所示，在中，，，，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动.要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ）
A.B.2sC.D.或2s
二、填空题（共16分）
11.已知是方程的根，则__________.
12.如图，在中，，D为AB的中点，，则CD的长是__________.
13.在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有60个，除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球、黑球的频率稳定在0.15和0.45，请你估计布袋中白球的个数是___________.
14.已知m，n是方程的两个实数根，则___________.
15.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是______.
三、解答题（共75分）
16.（本题8分）（1）解方程：（2）解方程：
17.（本题6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作，过点D作，CE、DE相交于点E，判断四边形OCED的形状，并说明理由.
18.（本题6分）将一个正方形的场地扩建，一边加长5m，一边加长2m后变成矩形，且矩形的面积是，求原来正方形的边长.
19.（本题7分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀.
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为_________；
（2）若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏甲获胜的概率?说明理由.
20.（本题7分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件.
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率.
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元?
21.（本题8分）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长餓于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是蔓形
（2）若，，求OE的长.
22.（本题9分）节籍是人类进步的阶梯!为爱护书一般都将书本用封皮包好.
（1）现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm.试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是_______cm，宽是________cm；
（2）在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度.
①若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示，若设正方形的边长（即折叠的宽度）为xcm，则包书纸长为_______cm，宽为_______cm（用含x的代数式表示）.
②请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长xcm.
23.（本题12分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根
（2）已知方程的两根为，，且满足，求的值；
（3）已知方程的两根为，（且），设，求y的最小值.
24.（本题12分）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形AOBC边长为2，点C的坐标为（2，2）.
（1）如图1，动点D在OB边上，将沿直线DC折叠，点B落在点处，连接并延长，交AO于点E.
①当时，点D的坐标是_______.
②若点E是线段OA的中点，求此时点D与点的坐标；
（2）如图2，动点D，G分别在边OB，AC上，将四边形DBCG沿直线DG折叠，使点B的对应点始终落在边OA上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交AC于点E.设，四边形的面积为S，求S与的关系式.
2024-2025学年第一学期九年级学科核心素养监测数学科评分标准
16.解：（1）
∴
∴或，
∴，；
（2），
∴，，，
∴，
∴，
∴，.
17.解：平行四边形OCED是矩形
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴，∴.
∵，，∴四边形OCED是平行四边形，
又，∴平行四边形OCED是矩形.
18.解：设原来的正方形的边长为xm，
则.
解得：（不合题意，舍去），.
答：原来的正方形的边长为4m.
19.（1）；
（2）解：
每一次摸球的可能性相同，根据题意列表如下：
∴共有12种等可能的结果.
∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况：
（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）
∴P（甲获胜）.
20.（1）解：设平均增长率为，
由题意得：
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元.
21.（1）证明：∵，∴，
∵AC为的平分线，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴，，，
∴，
∵，∴，
∵在中，，，
∴，∴，
∵，∴.
∵，∴OE为斜边上的中线，
∴.
22.（1）解：.
（2）解：①设折叠进去的宽度为，
则包书纸的长为，宽是.
故答案为，.
②由题意，得：，
解得：，（不符合题意舍去）；
∴，
答：小正方形的边长为2cm.
23.（1）证明：由题意得，
，
∴不论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，∴，即，
∴，∴，
∵关于x的一元二次方程的两根为，.
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根.
∴，∴，
∴.
（3）解：∵，∴，
解得或，
∵，∴，
∵，∴，，
∴，
∵，∴，
∴y的最小值为.
24.（1）解：①（1，0）.
②如图，连接CE，
∵点E是线段OA的中点，∴，
由折叠的性质可得，，
又∵，∴，
在和中，，
∴，
∴.
设点D的坐标为，则，
∴，∴，
在中，，
∴，解得，
∴点D的坐标为，
设直线DE的解析式为，
将和代入，得，解得，
∴直线DE的解析式为，
设点的坐标为，
∵，，∴，
解得或（舍去），
∴点的坐标为.
（2）解：如图，连接，BB，BG，设，则.
设，则，
在中，，
∴
解得，
∴；
设，则，
在中，.
在中，，
由折叠可知DG垂直平分，
∴，∴，即，
解得，
∴；
∴，
即.
摸球的次数n
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数m
33
96
155
244
298
602
摸到红球的频率
0.33
0.32
0.31
0.305
0.298
0.301
1.1
1.2
1.3
1.4
-3.59
-2.16
-0.71
0.76
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
B
C
B
C
C
D
B
D
A
3
3
24
2023
2
第一次
第二次
1
2
3
4
1
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
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