黑龙江省大庆市东传高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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12．2
【分析】画出原图形可得答案.
【详解】由直观图画出原图，如图，
可得是等腰三角形，且，
所以三角形的面积.
故答案为:2.
13．
【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率
【详解】设数学题没被解出来为事件A，则.
故则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率.
故答案为：
14． /
【分析】取的中点G，BC的中点P，CD的中点H，连接GM，GN，FH，PE，PH，PF，则可得截面为矩形PEFH，从而可求出其面积，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求CE和该截面所成角的正弦值.
【详解】如图，取的中点G，BC的中点P，CD的中点H，连接GM，GN，FH，PE，PH，PF，
∵，，，，
∴平面平面PEFH，
∴过且与MN平行的平面截正方体所得截面为四边形PEFH，
∵PE＝2，，四边形PEFH是矩形，
∴过且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），，
，，，
设平面PEFH的法向量为，
则，取x＝1，得，
设和平面PEFH所成角为θ，则，
∴CE和该截面所成角的正弦值为．
故答案为：，
15．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出.
（2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平.
【详解】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，
则，
由已知得，解得，
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，
用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，．
可得，
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
16．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证得，得到四边形为平行四边形，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意，证得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为点为的中点，所以，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，所以，
因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点为的中点，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
又平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设，再根据复数的除法运算及实数的定义求出，再根据共轭复数的定义即可得解；
（2）先求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】（1）设，则，
为实数，，解得，
为实数，
，解得，
，
；
（2）由（1）可知，，
复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得，
故实数的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为
【分析】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，由直线为平面和平面的交线，则，，列出方程即可求解；
（2）设，由平面经过点，，列出方程中求得，记平面的法向量为，求出与交线方向向量为，根据，即可求得的值；
（3）由题可知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，由题得出平面和平面的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．
【详解】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
（2）设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．
（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．