专题03平面向量的线性运算（考点清单，知识导图+5个考点清单）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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【清单01】 实数与向量相乘
设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作.
若，则；
若，则；
【清单02】 运算律
（1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；
（2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：；
（3）实数与向量相乘的结合律：.
【清单03】 平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使.
【清单04】 单位向量
长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则：
， .
【清单05】 向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.
已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.
那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）；
向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式.
【考点题型一】实数与向量相乘
【例1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果（为实数），那么
D．如果或，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意．
B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意．
C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意．
D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（ ）
A．若，那么B．若，那么一定是非零向量
C．若，那么与的方向相反D．若是单位向量，那么的模是
【答案】B
【分析】本题考查了平面向量，根据零向量的意义，共线向量以及模的定义进行判断即可．解题的关键是掌握平面向量的性质，平面向量既有大小，也有方向．
【详解】解：A、若，那么，故本选项正确；
B、若，则可能是零向量，也可能是非零向量，
∴可能是零向量，也可能是非零向量，故本选项错误；
C、若，那么与的方向相反，故本选项正确；
D、若是单位向量，那么的模是，故本选项正确；
故选：B．
【变式1-2】（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求；
，B错误，故不符合要求；
，C正确，故符合要求；
，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量．
【变式1-3】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）计算： ．
【答案】
【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键．
【变式1-4】（2024·上海普陀·一模）化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【变式1-5】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示）
【答案】
【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案.
【详解】∵向量与单位向量方向相反，且

故答案为：
【点睛】此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义.
【变式1-6】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ．
【答案】否
【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴（k为常数，且），
∴向量与不平行，
故答案为：否．
【变式1-7】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么 ，（用表示）
【答案】
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【详解】解：∵的长度为4，向量是单位向量，
∴，
∵与单位向量的方向相反，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向．
【变式1-8】（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵，点、分别是边、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式1-9】（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且．
(1)求的长；
(2)如果，，试用、表示向量．
【答案】(1)的长为
(2)
【分析】（1）根据，可得，再由，求得；
（2）根据向量的表示法进行求解即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【考点题型二】向量相关概念
【例2】已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ）
A．，
B．，
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可．
【详解】A选项，由于，所以、的方向相同，由于，故、的方向相同，所以，不符题意；
B选项，因为，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符题意；
C选项，因为，所以、的方向相反，故的，不符题意；
D选项，因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键．
【变式2-1】下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．对于非零向量、、，，，则
C．若，那么或
D．若、均为单位向量，那么
【答案】C
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】A．，说法正确，不符合题意；
B．对于非零向量、、，，，则，说法正确，不符合题意；
C．若，那么或，说法错误，模相等的两个向量不一定平行，符合题意；
D．若、均为单位向量，那么，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（ ）
A．向量与方向相同，且向量与方向相同
B．向量与方向相同，且向量与方向相同
C．向量与方向相反，且向量与方向相反
D．向量与方向相反，且向量与方向相反
【答案】D
【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：如图：
向量与方向相反，且向量与方向相反，
故选D．
【变式2-3】已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念．根据向量相等的基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同．
【详解】解：A、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意；
B、，即，等式正确，符合题意；
C、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意；
D、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2-4】下列说法中正确的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果与均是单位向量，那么
C．如果是单位向量，的长度为5，那么
D．如果、为非零实数，为非零向量，那么．
【答案】A
【分析】根据向量的性质一一判断即可得到答案．
【详解】解：A、如果或，那么，原说法正确，符合题意，选项正确；
B、如果与均是单位向量，那么，原说法错误，模相等，方向不一定相同，不符合题意，选项错误；，
C、如果是单位向量，的长度为5，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误；
D、如果、为非零实数，为非零向量，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了向量，熟练掌握向量的性质是解题关键．
【变式2-5】已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么或D．如果为单位向量，且，那么
【答案】C
【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可．
【详解】解：A、如果，那么，故本选正确；
B、如果，那么，故本选正确；
C、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误
D、如果为单位向量，且，那么，故本选正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键．
【变式2-6】下列判断不正确的是（ ）
A．；
B．如果向量与均为单位向量，那么或；
C．如果，那么；
D．对于非零向量，如果，那么．
【答案】B
【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意；
C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-7】向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）．
【答案】
【分析】本题考查了向量的定义，根据向量和单位向量的方向相反，且向量的长度为即可求解．
【详解】解：由题意得：；
故答案：．
【变式2-8】如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示）
【答案】
【分析】根据翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质求解．本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质是解题的关键．
【详解】解：连接交于，交于点，
将沿直线翻折，点落在边上的点处，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴
故答案为：．
【考点题型三】向量的线性运算
【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了向量的线性运算，根据、、即可求解．
【详解】解：∵，点是边的中点，
∴
∴
故选：D
【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别为上的点，且，，用向量表示向为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线截线段成比例；根据，可得，进而得到，再根据，可得即可求解．
【详解】∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
【详解】解：如图，
①由菱形图象可知，的大小，方向一样，故，①正确；
②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确；
③，，
，故③正确；
④，，
，，
成立，④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故选：D．
【变式3-3】（20-21九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：向量、、满足，试用、表示向量 ．
【答案】
【分析】根据向量的计算方法即可求解．
【详解】解：
去括号得，
移项得，，整理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量的计算，掌握其计算方法是解题的关键．
【变式3-4】（2023·上海虹口·一模）如果向量、和满足，那么
【答案】/
【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3-5】（2023·上海奉贤·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，E是边的中点，连接．如果设，，那么 （含的式子表示）．
【答案】
【分析】由，可得，由E是边的中点，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是向量的加减法运算，理解运算法则是解本题的关键．
【变式3-6】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ．
【答案】
【分析】首先由四边形是平行四边形，求得，又由点是边中点，点是边上的点，且，求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．此题考查了平面向量的知识．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
点是边中点，点是边上的点，且，
，，
．
故答案为：．
【变式3-7】（24-25九年级上·上海·期中）等腰梯形中，，E、F分别是的中点，，设，则用向量表示可得=

【答案】
【分析】本题考查了梯形中位线定理和平面向量的知识．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．由梯形中位线定理得到与的大小关系是解题的关键．
根据梯形中位线定理可知，则，在向量已知的情况下，可求出向量．
【详解】解：∵，E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式3-8】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么 ．（用表示）
【答案】
【分析】本题考查平面向量、相似三角形的性质与判定，证明，可得，再根据，即求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【变式3-9】（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则
【答案】
【分析】本题主要考查了平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据三角形法则以及平行四边形法则进行计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点，
，
，
，
∵，
∴
，
故答案为：
【变式3-10】（23-24九年级下·上海闵行·阶段练习）如图，点E、F在对角线上，且，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是
【答案】
【分析】本题考查向量的线性计算，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，根据，得到，进而得到，利用三角形法则进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或；
故答案为：
【变式3-11】（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．

【答案】/
【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．
【详解】解：如图，连接
∵、分别是的两条中线，
∴，是的中位线
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键．
【变式3-12】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量．
【答案】见详解
【分析】本题考查了向量的化简计算，三角形法则，分向量，熟练掌握知识点是解题的关键．
先化简向量，再根据实数与向量相乘的定义以及三角形法则即可画出，则分向量也可找到．
【详解】解：
，
如图，向量即为所作
向量即为在向量方向上的分向量，
向量即为在向量方向上的分向量．
【变式3-13】（23-24九年级上·上海·期中）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，．
(1)用向量、分别表示下列向量：
_____________，_____________，_____________．
(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论）
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
（1）利用向量的线性运算，求解即可；
（2）过点分别作、的平行线，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
由题意得：；
由平行四边形的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
；
故答案为：，， ；
（2）如图：过点作交于点，过点作交于点，
则向量、是向量分别在、方向上的分向量．
【变式3-14】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，．
(1)试用，的式子表示向量；
(2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论．
【答案】(1)
(2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为，
【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．
（1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示；
（2）根据平面向量定理画图即可．
【详解】（1）解：，，
，
，即，
，，，方向相同，
，
，
；
（2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，．
【变式3-15】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，如图，点在平行四边形 的边CD上，且 ，设 ．
(1)用 、表示 ；（直接写出答案）
(2)设 ，在答题卷中所给的图上画出 的结果．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平面向量，明确向量的相关性质定理，解决本题的关键是准确画图．
（1）根据平面向量的平行定理即可表示；
（2）根据向量定理即可画出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，即为所画
【变式3-16】（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上， CE、BD相交于点F，BF=3DF．
(1)求AE：ED的值；
(2)如果，，试用、表示向量．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，再利用平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）利用平面向量的三角形法则进行计算即可.
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∴．
∵BF=3DF，
∴．
∴．
∴，即AE：ED=2．
（2）解：∵AE：ED=2：1，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵AD//BC，
∴．
∵BF=3DF，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．