第10讲 函数的方程与零点（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义
2.能掌握函数图像与性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题
4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知零点个数求取值范围。
知识讲解
知识点一.零点
1.函数零点概念
对函数y=f(x)，把使fx=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2.零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①把函数y=f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(01)
④把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0−1+e−1esinπ6=e2−1−12e>14−12e>0，
故可排除D.
故选：B.
2.（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
A．y=−x3+3xx2+1B．y=x3−xx2+1C．y=2xcsxx2+1D．y=2sinxx2+1
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设fx=x3−xx2+1，则f1=0，故排除B;
设ℎx=2xcsxx2+1，当x∈0,π2时，01，所以e2x−1>0，ex>1,cs2ex>0，
所以fx>0，故排除D.
故选：A.
2.（2024·山东·模拟预测）函数fx=ex−e−x1−x2的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数f(x)的定义域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)内函数值的正负判断即可.
【详解】依题意，函数f(x)=ex−e−x|1−x2|的定义域为{x∈R|x≠±1}，
f(−x)=e−x−ex|1−(−x)2|=−ex−e−x|1−x2|=−f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；
当x∈(0,1)时，ex−e−x>0,|1−x2|>0，则f(x)>0，AD不满足，C满足.
故选：C
考点二、函数的图像变换
1.（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数y=122x−1的图象，只需将指数函数y=14x的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位
【答案】D
【分析】
根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.
【详解】由y=14x=(12)2x向右平移12个单位，则y=(12)2(x−12)=(12)2x−1.
故选：D
2.（22-23高三·全国·对口高考）把函数y=lg3(x−1)的图象向右平移12个单位，再把横坐标缩小为原来的12，所得图象的函数解析式是 ．
【答案】y=lg32x−32
【分析】根据函数图象变换规律可得答案.
【详解】把函数y=lg3(x−1)的图象向右平移12个单位，得函数y=lg3(x−12−1)=lg3(x−32)，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=lg3(2x−32)的图象.
故答案为：y=lg32x−32
1.（22-23高三·全国·对口高考）利用函数f(x)=2x的图象，作出下列各函数的图象．
(1)y=f(−x)；
(2)y=f(|x|)
(3)y=f(x)−1；
(4)y=f(x)−1；
(5)y=−f(x)；
(6)y=f(x−1)．
【答案】(1)图象见详解
(2)图象见详解
(3)图象见详解
(4)图象见详解
(5)图象见详解
(6)图象见详解
【分析】先作出函数f(x)=2x的图象，
（1）把f(x)的图象关于y轴对称即可得到y=f(−x)的图象；
（2）保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称即可得到y=f(|x|)的图象；
（3）把f(x)图象向下平移一个单位即可得到y=f(x)−1的图象；
（4）结合（3），保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折即可得到y=f(x)−1的图象；
（5）把f(x)图象关于x轴对称即可得到y=−f(x)的图象；
（6）把f(x)的图象向右平移一个单位得到y=f(x−1)的图象．
【详解】（1）把f(x)的图象关于y轴对称得到y=f(−x)的图象，如图，

（2）保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y=f(|x|)的图象，如图，

（3）把f(x)图象向下平移一个单位得到y=f(x)−1的图象，如图，

（4）结合（3），保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折得到y=f(x)−1的图象，如图，

（5）把f(x)图象关于x轴对称得到y=−f(x)的图象，如图，

（6）把f(x)的图象向右平移一个单位得到y=f(x−1)的图象，如图，

2.（2024·辽宁·三模）已知对数函数f(x)=lgax，函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则a的值是（ ）
A．32B．23C．33D．3
【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可
【详解】因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数gx的图象，
所以g(x)=lgax3，即g(x)=lgax−lga3，
将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=lgax−lga3+2，
因为所得图象恰好与函数fx的图象重合，
所以−lga3+2=0，
所以a2=3，又a>0且a≠1，
解得a=3，
故选：D
3.（2023·河北·模拟预测）已知函数fx=1+3×2x1+2x，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．fx−1B．fx−2C．fx−2D．fx+2
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数fx有且仅有一个对称中心0,2，结合图象变换分析判断.
【详解】由题意可得：fx=1+3×2x1+2x=3−21+2x，
因为fa+x+fa−x=3−21+2a+x+3−21+2a−x=6−211+2a+x+2x2x+2a
=6−2×2a+2x+2×2x+2a2a+2x+22a+12x+2a，
若fa+x+fa−x=6−2×2a+2x+2×2x+2a2a+2x+22a+12x+2a为定值，
则22a+1=2，解得a=0，此时fx+f−x=4，
所以函数fx有且仅有一个对称中心0,2.
对于选项A：fx−1有且仅有一个对称中心为0,1，不合题意，故A错误；
对于选项B：fx−2有且仅有一个对称中心为0,0，符合题意，故B正确；
对于选项C：fx−2有且仅有一个对称中心为2,2，不合题意，故C错误；
对于选项D：fx+2有且仅有一个对称中心为−2,2，不合题意，故D错误；
故选：B.
4.（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数f(x)=x2,x≥0,1x,x2−1>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，故B不符合题意；
C：f(x)=ex+e−xsinx，当x=0时，sinx=0，函数显然没有意义，故C不符合题意；
D：f(x)=ex−e−x+sinx，函数的定义域为R，
f'(x)=ex+e−x+csx，由x>0，得ex>1,−1≤csx≤1，
则f'(x)=ex+e−x+csx>2−1>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，故D不符合题意.
故选：A
2.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx的部分图象如下图所示，则fx的解析式可能是（ ）
A．fx=ex⋅lnxe2x−1B．fx=x2+1sinx
C．fx=x2+2e−x−exD．fx=ex+1ex−1⋅csx
【答案】A
【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.
【详解】由题意可知：fx的定义域为x|x≠0，故B错误；
当x>0，fx先正后负，则有：
对于C：因为e−x0的解集中有且仅有一个整数可知fx>ax+2只有一个整数解；
令gx=ax+2，利用一次函数图象性质可知，
当a≤0时，fx>gx在0,+∞上恒成立，不合题意；
当a>0时，若fx>gx只有1个整数解，因此整数必为1；
所以可得f1>g1f2≤g2，即1e>3a2e2≤4a，解得12e2≤a0,
则g'x=3x2+2x−5=3x+5x−1，令g'x=0x>0得x=1，
当x∈0,1时，g'x