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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题11.3二项式定理专题练习（学生版+解析）
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题11.3二项式定理专题练习（学生版+解析），共15页。试卷主要包含了5的展开式中33的系数为，已知多项式，则________等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数，有，则（ ）
A．6B．7
C．8D．10
3．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）
A.-80B.-40C.40D.80
4．（2021·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．
5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________.
6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式，则________．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知，则___________.
8．（2021·浙江·模拟预测）已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.
9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________.
10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.
练提升TIDHNEG
1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
4．（2021·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在的展开式中，所有项的系数和为64，则___________.常数项的系数为___________.
6．（2021·河南·高三月考（理））若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为.
8．（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
9．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中的常数项．
10．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中含的项．
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
2．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
3．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
4.（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．
5.（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
6．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
专题11.3 二项式定理
练基础
1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】
利用赋值法，令即可求解.
【详解】
解：因为=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，
令，则= a0+a1+a2+…+an=16，
所以，
故选：C.
2．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数，有，则（ ）
A．6B．7
C．8D．10
【答案】C
【分析】
运用二项式定理进行求解即可.
【详解】
，因此，
故选：C
3．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）
A.-80B.-40C.40D.80
【答案】C
【解析】
，
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式中的系数为；
当时，展开式中的系数为，
则的系数为.
4．（2021·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．
【答案】
【分析】
由二项展开式通项公式写出常数项，从而可求得参数．
【详解】
展开式通项公式为，，，
所以，，
故答案为：．
5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________.
【答案】1120
【分析】
根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数
【详解】
展开式的二项式系数之和为
展开式的通项公式
当时,,即
则展开式中的系数为1120
故答案为：1120
6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式，则________．
【答案】
【分析】
由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即得解
【详解】
由题意，为的系数，和的展开式中都包含项
故
故
故答案为：
7．（2021·浙江·模拟预测）已知，则___________.
【答案】
【分析】
由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.
【详解】
，则展开式通项为，
∴时，
故答案为：
8．（2021·浙江·模拟预测）已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.
【答案】28 5
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，从而可求出，利用二项式的性质可求得系数最大的项
【详解】
展开式的通项公式为，令，得，
所以的系数为，
因为的展开式有9项，所以由二项式的性质可知系数最大的项是第5项，
故答案为：28，5
9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________.
【答案】7
【分析】
先通过求出n，再通过二项展开式的通项公式，令的次数为即可求出常数项.
【详解】
由已知得，解得
的展开式的通项公式为，
令，得.
故常数项为.
故答案为：7.
10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.
【答案】6
【分析】
由已知，根据二项式定理可得,再利用二项展开式的通项公式即可求解
【详解】
由已知，展开式中恰好第3项的二项式系数最大可知，.
根据二项式定理设第项是常数项，
则：=,
令,解得,所以常数项是=6
故答案为：6
练提升TIDHNEG
1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知条件可知为展开式中的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.
【详解】
解：由已知条件可知为展开式中的系数，
则
.
故选：C.
2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意由可知是第行的第个数减去下一行的第个数，等于下一行即第行的第个数，结合数图进行举例即可得解.
【详解】
根据题意可得，
即是第行的第个数减去下一行的第个数，
等于下一行即第行的第个数，
其中，
当时，为，
当时，为，等等.
由图知是与同一行的右边一个数，
所以是第行的第个数，故.
故选：C
3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
【答案】AD
【分析】
写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析
【详解】
A选项：当时，，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；
B选项：，其中为整数，且，
当时，，当时，，，当时，，，当时，，满足有理项要求，故有4项，故B错误；
C选项：令中的得：，所以或，故C错误；
D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确
故选：AD
4．（2021·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
【答案】65
【分析】
先写出的展开式的通项，令与展开式的项相乘，与展开式的常数项相乘，相加即为项，计算系数即可
【详解】
由题意，的展开式的通项，
令，得，得；
令，得，得.
故的展开式中，项的系数为.
故答案为：65
5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在的展开式中，所有项的系数和为64，则___________.常数项的系数为___________.
【答案】
【分析】
令，即可得到展开式所有项的系数和，从而求出，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的常数项；
【详解】
解：令，则，即，解得；
即展开式的通项为，令，即，故展开式中常数项为
故答案为：，；
6．（2021·河南·高三月考（理））若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
【答案】
【分析】
根据的展开式中各项系数的和为0，令求得a，再利用通项公式求解.
【详解】
因为的展开式中各项系数的和为0，
令得，
解得，
所以的常数项为.
故答案为：-120
7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为.
【答案】63
【分析】
设第行第个数的比是，列方程求解可得．
【详解】
根据题意，设所求的行数为，则存在自然数，使得且，化简得且，解得，.故第63行会出现满足条件的三个相邻的数.
故答案为：63．
8．（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
【答案】15
【分析】
先求得展开式的通项，令x的次数为0求常数项；设系数最大的项为项，由求解.
【详解】
展开式的通项为，
令，解得，
所以，即常数项为15，
设系数最大的项为项，
则，即，
解得，
所以系数最大的项为.
故答案为：15；
9．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中的常数项．
【答案】
【分析】
，写出通项，令的指数为0，即可求得展开式中的常数项．
【详解】
：，
则，
令，则，
．
所以常数项为.
10．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中含的项．
【答案】
【分析】
根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解.
【详解】
由，
可得展开式中含的项为：
.
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【解析】
由题意得x3的系数为，故选A．
2．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【解析】
展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
3．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【解析】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
4.（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．
【答案】
【详解】
试题分析：的展开式的通项 令得常数项为.
5.（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
【答案】; .
【解析】
根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】
，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
6．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】
【解析】
的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数，有，则（ ）
A．6B．7
C．8D．10
3．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）
A.-80B.-40C.40D.80
4．（2021·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．
5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________.
6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式，则________．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知，则___________.
8．（2021·浙江·模拟预测）已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.
9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________.
10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.
练提升TIDHNEG
1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
4．（2021·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在的展开式中，所有项的系数和为64，则___________.常数项的系数为___________.
6．（2021·河南·高三月考（理））若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为.
8．（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
9．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中的常数项．
10．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中含的项．
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
2．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
3．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
4.（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．
5.（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
6．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
专题11.3 二项式定理
练基础
1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】
利用赋值法，令即可求解.
【详解】
解：因为=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，
令，则= a0+a1+a2+…+an=16，
所以，
故选：C.
2．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数，有，则（ ）
A．6B．7
C．8D．10
【答案】C
【分析】
运用二项式定理进行求解即可.
【详解】
，因此，
故选：C
3．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）
A.-80B.-40C.40D.80
【答案】C
【解析】
，
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式中的系数为；
当时，展开式中的系数为，
则的系数为.
4．（2021·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．
【答案】
【分析】
由二项展开式通项公式写出常数项，从而可求得参数．
【详解】
展开式通项公式为，，，
所以，，
故答案为：．
5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________.
【答案】1120
【分析】
根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数
【详解】
展开式的二项式系数之和为
展开式的通项公式
当时,,即
则展开式中的系数为1120
故答案为：1120
6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式，则________．
【答案】
【分析】
由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即得解
【详解】
由题意，为的系数，和的展开式中都包含项
故
故
故答案为：
7．（2021·浙江·模拟预测）已知，则___________.
【答案】
【分析】
由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.
【详解】
，则展开式通项为，
∴时，
故答案为：
8．（2021·浙江·模拟预测）已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.
【答案】28 5
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，从而可求出，利用二项式的性质可求得系数最大的项
【详解】
展开式的通项公式为，令，得，
所以的系数为，
因为的展开式有9项，所以由二项式的性质可知系数最大的项是第5项，
故答案为：28，5
9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________.
【答案】7
【分析】
先通过求出n，再通过二项展开式的通项公式，令的次数为即可求出常数项.
【详解】
由已知得，解得
的展开式的通项公式为，
令，得.
故常数项为.
故答案为：7.
10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.
【答案】6
【分析】
由已知，根据二项式定理可得,再利用二项展开式的通项公式即可求解
【详解】
由已知，展开式中恰好第3项的二项式系数最大可知，.
根据二项式定理设第项是常数项，
则：=,
令,解得,所以常数项是=6
故答案为：6
练提升TIDHNEG
1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知条件可知为展开式中的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.
【详解】
解：由已知条件可知为展开式中的系数，
则
.
故选：C.
2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意由可知是第行的第个数减去下一行的第个数，等于下一行即第行的第个数，结合数图进行举例即可得解.
【详解】
根据题意可得，
即是第行的第个数减去下一行的第个数，
等于下一行即第行的第个数，
其中，
当时，为，
当时，为，等等.
由图知是与同一行的右边一个数，
所以是第行的第个数，故.
故选：C
3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
【答案】AD
【分析】
写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析
【详解】
A选项：当时，，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；
B选项：，其中为整数，且，
当时，，当时，，，当时，，，当时，，满足有理项要求，故有4项，故B错误；
C选项：令中的得：，所以或，故C错误；
D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确
故选：AD
4．（2021·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
【答案】65
【分析】
先写出的展开式的通项，令与展开式的项相乘，与展开式的常数项相乘，相加即为项，计算系数即可
【详解】
由题意，的展开式的通项，
令，得，得；
令，得，得.
故的展开式中，项的系数为.
故答案为：65
5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在的展开式中，所有项的系数和为64，则___________.常数项的系数为___________.
【答案】
【分析】
令，即可得到展开式所有项的系数和，从而求出，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的常数项；
【详解】
解：令，则，即，解得；
即展开式的通项为，令，即，故展开式中常数项为
故答案为：，；
6．（2021·河南·高三月考（理））若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
【答案】
【分析】
根据的展开式中各项系数的和为0，令求得a，再利用通项公式求解.
【详解】
因为的展开式中各项系数的和为0，
令得，
解得，
所以的常数项为.
故答案为：-120
7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为.
【答案】63
【分析】
设第行第个数的比是，列方程求解可得．
【详解】
根据题意，设所求的行数为，则存在自然数，使得且，化简得且，解得，.故第63行会出现满足条件的三个相邻的数.
故答案为：63．
8．（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
【答案】15
【分析】
先求得展开式的通项，令x的次数为0求常数项；设系数最大的项为项，由求解.
【详解】
展开式的通项为，
令，解得，
所以，即常数项为15，
设系数最大的项为项，
则，即，
解得，
所以系数最大的项为.
故答案为：15；
9．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中的常数项．
【答案】
【分析】
，写出通项，令的指数为0，即可求得展开式中的常数项．
【详解】
：，
则，
令，则，
．
所以常数项为.
10．（2021·全国·高二课时练习）求的展开式中含的项．
【答案】
【分析】
根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解.
【详解】
由，
可得展开式中含的项为：
.
练真题TIDHNEG
1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【解析】
由题意得x3的系数为，故选A．
2．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【解析】
展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
3．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【解析】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
4.（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．
【答案】
【详解】
试题分析：的展开式的通项 令得常数项为.
5.（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
【答案】; .
【解析】
根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】
，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
6．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】
【解析】
的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
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