新高考数学之圆锥曲线综合讲义第2讲点差法(原卷版+解析)

这是一份新高考数学之圆锥曲线综合讲义第2讲点差法(原卷版+解析)，共8页。试卷主要包含了在中，是、的等差中项，且，，已知椭圆的一个顶点为，离心率为等内容，欢迎下载使用。
1．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．
2．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
3．已知曲线，试确定的取值范围，使得对于直线，曲线上总有不同两点关于该直线对称．
4．已知椭圆过点，，且与椭圆有相同的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围．
5．在中，是、的等差中项，且，．
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围．
6．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．
7．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点，在上
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
9．已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．
第2讲 点差法
一．解答题（共9小题）
1．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．
【解答】解：设直线与椭圆的交点为，、，
为的中点
，
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是
，即，
故所求直线的方程为，即．
2．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
【解答】解：椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，
可得宗坐标为，可得中点．
设椭圆标准方程为：．
设直线与椭圆相交于点，，，．
则，，相减可得：，
又，，，
，又，
联立解得，．
椭圆的标准方程为：．
3．已知曲线，试确定的取值范围，使得对于直线，曲线上总有不同两点关于该直线对称．
【解答】解：设椭圆上关于直线对称的点，，，，
则根据对称性可知线段被直线垂直平分．
可得直线的斜率，
直线与椭圆有两个交点，且的中点，在直线，
故可设直线 的方程为，
联立方程组，
整理可得
，，
△，
，
，，代入，
，
，
的范围就是，．
4．已知椭圆过点，，且与椭圆有相同的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆，可得，可得焦点．
设椭圆的标准方程为，
则，解得，．
椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为：，，，，，线段的中点，．
联立，化为：．
△，化为：．
，．
，．
，
解得，代入．
可得．
实数的取值范围是．
5．在中，是、的等差中项，且，．
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，，
顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去，，共线），且，，
，
顶点的轨迹的方程；
（2）解：设关于直线对称的点为，，则的方程为，
与椭圆方程联立，消去整理得：．
即．
由△，得．
设，，，，
则，，
再设的中点为，，
则，
又在上，得，
在上，得，即．
则，得．
6．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：设过点的直线方程为或
（1）当存在时有
得 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△，
又方程（1）的两个不同的根是两交点、的横坐标
又为线段的中点
即
，使但使△
因此当时，方程（1）无实数解
故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．
（2）当时，直线经过点但不满足条件，
综上，符合条件的直线不存在
7．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）椭圆的顶点为，
，
又，
，
，
椭圆的方程为：．
（2）当过点的直线斜率不存在时，显然不成立，
设直线的斜率为，则其方程为：
，
联立方程组，
消去并整理，得
，
△，
整理，得
，
，
，
且点是线段的中点，
，
，
故存在这样的直线，此时，直线方程为：
，
即，
存在符合条件的直线，它的方程．
8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点，在上
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由题意可得：，即，
又点，在椭圆上，可得，解得：，，
，
的方程：；（5分）
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，，，，（6分）
，整理得：，
由韦达定理可知：，（8分）
即有的中点的横坐标为，纵坐标为，（10分）
直线的斜率为，即有，
故的斜率与直线的斜率的乘积为定值．（12分）
9．已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点，
所以，
解得，，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知，可设直线的方程为．
由消去得
因为直线与椭圆有两个不同交点，
所以①
设，，，，由韦达定理知，，
于是线段的中点坐标为，
将其代入直线，解得②
将②代入①，得，
解得或．
因此，所求实数的取值范围．