新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题13 点差法在圆锥曲线中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.
二、解题秘籍
(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程
求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.
【例1】过椭圆 SKIPIF 1 < 0 内一点 SKIPIF 1 < 0 引一条弦,使弦被 SKIPIF 1 < 0 点平分,求这条弦所在直线的方程.
【解析】设直线与椭圆的交点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点在椭圆上,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,故所求直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ,离心率 SKIPIF 1 < 0 ,虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ,使直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,且点 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点?若存在,求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在,请说明理由．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)假设以定点 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦存在,
设以定点 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦的端点坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在双曲线上,可得： SKIPIF 1 < 0 ,
两式相减可得以定点 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在的直线斜率为：
SKIPIF 1 < 0 ,
则以定点 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．即为 SKIPIF 1 < 0 ,
代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以不存在这样的直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(二) 求弦中点轨迹方程
求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.
【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，设坐标原点为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，其离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，M与O重合，不合题意，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点在椭圆上，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.
引理 ：设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是二次曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点, SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点,且弦 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,
则 SKIPIF 1 < 0 ……（1）
SKIPIF 1 < 0 ……（2）
由（1）-（2）得
SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．
请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求过点 SKIPIF 1 < 0 且被 SKIPIF 1 < 0 点平分的弦所在直线的方程;
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点, SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点,
则 SKIPIF 1 < 0 ,两式相减得：
SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内部,成立.
（2）由题意知：割线的斜率存在,设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点, SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点,
则 SKIPIF 1 < 0 ,两式相减得：
SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以截得的弦的中点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
(三) 求直线的斜率
一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率
【例5】已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.
(1)若线段MN的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,求直线MN的斜率；
(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.
【解析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
两式相减,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,即直线MN的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,消去x整理得 SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,故△PMN的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立,故△PMN面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【例6】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的三点 SKIPIF 1 < 0 与焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离成等差数列.（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；（2）若线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）证略.
（2）解 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,（1） SKIPIF 1 < 0 ,（2）
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
(四) 点差法在轴对称中的应用
【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，直线l： SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0
联立解得 SKIPIF 1 < 0
∴椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： SKIPIF 1 < 0 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
【例8】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 两点，使得 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，求实数 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为A，B在椭圆C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为P，Q关于直线l对称，所以 SKIPIF 1 < 0 且点N在直线l上，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为P，Q在椭圆C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为点N在椭圆C内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
(五) 利用点差法可推导的结论
在椭圆 SKIPIF 1 < 0 中,若直线l与该椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为弦AB中点,O为坐标原点,则 SKIPIF 1 < 0 ,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.
【证明】设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,（1） SKIPIF 1 < 0 ,（2）
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 （定值）.
【例9】（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(a、b为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1·k2的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．
【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
因为P、Q在双曲线上,
所以 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1, SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1,
两式作差得 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝0,
即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ,
即k1·k2＝ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 APQ是以A为直角顶点的直角三角形,即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时,设l：x＝t,代入 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1得,y＝±b SKIPIF 1 < 0 ,
由|t－a|＝b SKIPIF 1 < 0 得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,
得t＝ SKIPIF 1 < 0 或a(舍),
故直线l的方程为x＝ SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线l的斜率存在时,设l：y＝kx＋m,代入 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1,
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1＋x2＝ SKIPIF 1 < 0 ,x1x2＝－ SKIPIF 1 < 0 ；
因为AP⊥AQ,
所以 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝0,
即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,
即 SKIPIF 1 < 0 ＝0,
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,
所以k＝－ SKIPIF 1 < 0 或k＝－ SKIPIF 1 < 0 ；
当k＝－ SKIPIF 1 < 0 时,直线l的方程为y＝－ SKIPIF 1 < 0 x＋m,此时经过A,舍去；
当k＝－ SKIPIF 1 < 0 时,直线l的方程为y＝－ SKIPIF 1 < 0 x＋m,
恒过定点( SKIPIF 1 < 0 ,0),经检验满足题意；
综上①②,直线l过定点( SKIPIF 1 < 0 ,0)．
三、跟踪检测
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 为右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线交于点Q．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
2．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)过椭圆的左焦点 SKIPIF 1 < 0 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(3)求过点 SKIPIF 1 < 0 且被 SKIPIF 1 < 0 平分的弦所在直线的方程．
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）过点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若 SKIPIF 1 < 0 的中点到准线l的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上．
6．（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点.当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1时,点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)如图,若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且 SKIPIF 1 < 0 ,求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值.
7．如图, SKIPIF 1 < 0 是过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的弦,M是 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 是抛物线的准线, SKIPIF 1 < 0 为垂足,点N坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积（O为坐标系原点）.
8．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,设点 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上移动, SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的曲线 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为M、N.求直线 SKIPIF 1 < 0 过定点D的坐标.
9．中心在原点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上且焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：
①该曲线经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
②该曲线的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
③点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为该双曲线的焦点,当点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 时,恰好 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过定点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 与此双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,且 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点？若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在,说明理由.
10．己知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,短轴长为2,直线l过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆C交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为1,求弦 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
11．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （a>b>0）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,AB为椭圆的一条弦,直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,点P的坐标为（1, SKIPIF 1 < 0 ）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如果线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,证明： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共圆．
13．李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F1,F2处,|F1F2|＜8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C,当笔尖运动到点M处时,经测量此时∠F1MF2＝ SKIPIF 1 < 0 ,且△F1MF2的面积为4．
（1）以F1,F2所在直线为x轴,以F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；
（2）若直线l与轨迹C交于A,B两点,且弦AB的中点为N（2,1）,求△OAB的面积．
14.若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同的两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.