河南省郑州市普通高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测（10月月考）数学试题

这是一份河南省郑州市普通高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测（10月月考）数学试题，共11页。试卷主要包含了已知，，则满足的的值是，“”是“直线与直线互相垂直”的，下列说法正确的有，在空间直角坐标系中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，，且，则（ ）
A.B.C.2D.4
2.已知点，，则直线的一个方向向量可以为（ ）
A.B.C.D.
3.已知空间中有三点，，，则到直线的距离为（ ）
A.1B.C.3D.2
4.设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.以上都不对
5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A.或B.或
C.或D.或
6.已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（ ）
A.B.C.D.
7.已知，，则满足的的值是（ ）
A.B.0C.或0D.或0
8.“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的有（ ）
A.若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B.直线必过定点
C.过点，且斜率为的直线的点斜式方程为
D.斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为
10.在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A.
B.点到平面的距离是2
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.与平面所成角的正弦值为
11.已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A.与是共线向量B.与共线的单位向量是
C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过点，在轴、轴上截距相等的直线方程是____________.
13.圆上的点到直线距离的最小值为___________.
14.已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）求经过直线和直线的交点，并且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线垂直；
（2）到原点的距离等于1.
16.（本小题15分）已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
17.（本小题15分）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点.
（1）求的最小值，及此时直线的截距式方程；
（2）求的最小値，及此时直线的截距式方程.
18.（本小题17分）已知圆的方程为.
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
19.（本小题17分）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值.
郑州学校2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测
数学试卷参考答案
一、单选题
1.【答案】C 本题考查向量平行关系的坐标表示，属于基础题.
依题意存在实数，使得，根据向量相等得到方程组，解得即可.
解：因为向量，，且，所以存在实数，使得，
即，所以，解得，所以故选：C
2.【答案】C 本题考查空间向量中直线的方向向量，属于基础题.
解：，则直线的方向向量为.所以C符合题意.
3.【答案】D 本题考场空间点到直线的距离的求法，属于基础题.
解：，，，，到直线的距离为.
4.【答案】A 本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，即可求解.
解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，
而，，
所以或，故选：A.
5.【答案】A 本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题.
设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可求出直线方程.
解：设所求直线方程为，由于该直线与圆相切，
所以，所以，所以所求直线方程为：或.故选A.
6.【答案】A 本题主要考查圆的方程的求解，根据条件求出圆心和半径是解决本题的关键，属于基础题.
求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可.
解：直线与直线的交点为，所以圆的圆心为，
设半径为，由题意可得，即解得，
故圆的方程为.故选：A.
7.【答案】C 本题考查两条直线平行的判定，考查学生的计算能力，属基础题.
利用两条直线平行的条件，即可得出结论.
解：∵直线，，，
∴，∴或0.经验证答案都满足题意.故选C.
8.【答案】A 本题考查直线垂直性质的运用，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
利用直线垂直的性质列出方程求出，再根据充要条件的定义判断即可.
解：∵直线与直线互相垂直，
∴，∴，∴或，
∴是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故选：A.
二、多选题
9.【答案】ABC 本题考查点斜式方程，斜截式方程，直线过定点问题，是较易题.
由直线经过象限可确定，的正负，由此知A正确；整理可求得中直线过定点，得B正确；由直线点斜式和斜截式方程定义可确定CD正误.
解：对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：，，∴在第二象限，A正确；
对于B，由得：，则直线恒过定点，B正确；
对于C，由点斜式方程定义可知该直线方程为：，C正确；
对于D，由斜截式方程定义可知该直线方程为：，D错误.故选：ABC.
10.【答案】BD 本题考查空间向量的应用，属于中档题.
解：因为，，所以，A错误.
在空间直角坐标系中，结合与两点的坐标可知轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点到平面的距离是，B正确.
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误.
设与平面所成的角为，，则，D正确.
11.【答案】CD 本题考查空间向量的基本概念，共线向量，单位向量的概念，向量夹角的求法，平面法向量的求法，属于中档题.
解：对于A，，，不存在实数，使得，
所以与不是共线向量，所以A错误；对于B，因为，
所以与共线的单位向量为或，所以B错误；
对于C，向量，，所以，所以C正确；
对于D，设平面的法向量是，因为，，所以，即，令，则，所以D正确，故选CD.
三、填空题
12.【答案】或
【解析】解：当直线过原点，即截距都为零时，直线经过原点，，
直线方程为，整理，得直线方程为；
当直线不过原点，由截距式，设直线方程为，
把代入，得.故答案为或.
分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把点坐标带入，能求出结果.本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.
13.【答案】4
解：∵圆心到直线的距离
∴圆上的点到直线距离的最小值是，故答案为：4.
圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最小值是，从而可求.本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的是满足圆上的点到直线的距离的最大值.
14.【答案】
本题考查了空间向量的数量积，空间向量的夹角和模，属于中档题.
由夹角为钝角，得到两向量的数量积小于0，且两向量不平行，建立不等式，解得结果.
解：∵，，∴，，
，设向量与的夹角为，
∵与夹角为钝角，∴，且，∴且，∴且，即的取值范围是.
故答案为.
四、解答题
15.【答案】解：（1）由于直线与直线不垂直
故设所求直线为，故，
因为此直线与直线垂直，
故，故，故所求直线为.
（2）由于原点到直线的距离，故设所求直线为，故，解得或，故直线方程为：或.
本题考查两条直线垂直的判定及应用，考查点到直线的距离，考查两条直线的交点坐标，属于基础题.
（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求.
（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解.
16.【答案】解：因为，，，所以，，
（1），，
因为，所以，整理得，
解得或，所以的值为或.
（2）设直线的单位方向向量为，则.
由于，所以，，
所以点到直线的距离.
【解析】本题考查空间向量垂直的坐标表示，点线、线线距离的向量求法，是中档题.
（1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解即可；
（2）求出直线的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.
17.【答案】解：（1）根据题意可设直线的方程为（，），
则，，因为直线过点，所以（，），
又，当且仅当，即，时取等号，所以，即，
所以的最小值为8，此时直线的截距式方程为.
（2）由（1）可知，所以，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，此时，，直线的截距式方程为.
【解析】本题考查直线的截距式方程，两点间距离公式，基本不等式，属于中档题.
（1）根据题意可设直线的方程为（，），代入点结合基本不等式可求出结果；
（2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果.
18.【答案】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：
当斜率不存在时，过点的直线的方程是，与圆：相切，满足条件，
当斜率存在时，设直线方程：，即，
直线与圆相切时，，解可得，此时，直线的方程为；
所以，满足条件的直线方程是或；
（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，
则直线的斜率一定存在，设直线方程：，即，
则，解得或，
所以满足条件的直线方程是或.
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切，相交的性质，属于基础题.
（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；
（2）根据题意，分析可得圆心到直线的距离，即可得直线的斜率一定存在，设直线方程：，由点到直线的距离公式可得的值，即可得答案.
19.【答案】解：（Ⅰ）证明：在四棱锥中，设为的中点，连接，，
∵，分别是，的中点，四边形是矩形，
∴，，又∵为的中点，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，平面，∴平面；
（Ⅱ）解：设到平面的距离为，∵平面，平面，
∴，又∵四边形为矩形，∴，
∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，
∴四边形为矩形，∵为等腰直角三角形，∴是棱锥的高，
∴四棱锥的体积，
∵，，∴由余弦定理可得，∴，
∴，
∵四棱锥的体积=三棱锥体积的2倍=三棱锥体积，
∴，∴，∴点到平面的距离为；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，点到平面的距离为，
∵在中，，
∴直线平面所成角的正弦值，即直线与平面所成角的正弦值为.
【解析】本题考查空间的点线面之间的位置关系和线面角的求法，考查点面距离的计算，属于中档题.
（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，得到线线平行，从而得到四边形是一个平行四边形，即可得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论；
（Ⅱ）利用四棱锥的体积=三棱锥体积的2倍=三棱锥体积，即可求点到平面的距离；
（Ⅲ）在平面内作，则平面，得到是与平面所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值.