辽宁省锦州市第十二中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份辽宁省锦州市第十二中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
2.已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A.4B.C.D.3
3.将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A.5，B.5，4C.5，D.5，1
4.小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算，观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
A.4B.3C.2D.1
5.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
6.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分B.对角线互相垂直
C.对角线相等D.对角线互相垂直平分且相等
7.如果，那么下列各式不成立的是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知，则AD的长为（ ）
A.B.C.D.
9.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点，且，于点，则AE的长是（ ）
A.4B.C.5D.
10.如图，在正方形ABCD中，点为AC上一动点，点为CD的中点，则的最小值为（ ）
A.2cmB.C.D.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.方程的根是________
12.将方程化成的形式为________
13.如图，已知，如果，，，那么________cm
14.如图，菱形ABCD的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点，连接CE，则CE的长为________
15.如图，正方形ABCD对角线交于点O，点为正方形外一点，，，，则OE的长为________
三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
16.（1）（2）
（3）（4）
四、解答题（本题共5小题，17题9分，18题10分，19、20题各8分，21、22题各12分，共59分）
17.为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
学生答题成绩条形统计图 学生答题成绩扇形统计图
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取________人，条形统计图中的________
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数.
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等的共有多少人.
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率.
18.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本.
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）.
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
19.已知边AB，AD的长是关于的方程的两个实数根.
（1）当为何值时，是菱形？
（2）若AB的长为，则的周长是多少？
20.请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，AD平分，则.下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于E.
图1 图2 图3
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知中，，，，平分，求的周长.
21.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC.
图1 图2 图3
【问题引入】
（1）请你在图①或图②中证明；（选择一种情况即可）
【探索发现】
（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M.将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图③，，延长AE至点，使，连接DN.直接写出的周长最小值
22.小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习.
图1 图2 图3
【问题呈现】
如图1，在中，，，点在线段BC上，以点为中心，将线段AD顺时针旋转得到线段AE，连接，.
【问题分析】
（1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：________.（用含的式子表示）
【灵活应用】
小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索.
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以AD为边向右侧作等边，直线EB交y轴于点F.当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化.若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由.
【拓展延伸】
（3）如图3，在菱形ABCD中，，点P在线段BD的延长线上，以AP为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接BE，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积.
答案
1-5CACDD 6-10ADABD
11. 12. 13.1 14.2倍根号6 15.4倍根号2
16.3，
17.（1）由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：（人），，故答案为：50，7；
（2）由（1）知，，等级为A的有：（人）
补充完整的条形统计图如图所示：
学生答题成绩条形统计图
C等所在扇形圆心角的度数为：
（3）（人）
（4）树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为.
18.（1）依题意得：，
与的函数关系式为；
（2）依题意得：，即，
解得：，，
当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
19.（1）四边形ABCD是菱形，
即方程的两个相的等实数根，，解得：，
即方程为或，解得：或，
边长不能为负数，，即，即；
（2）边AB，AD的长是关于的方程的两个实数根，，
，解得：，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
的周长是.
20.略
21.（1）证明：选择图1，
四边形ABCD是正方形，，，
，，
，由旋转得：，
选择图2，四边形ABCD是正方形，，，
，，，
由旋转得：，
（2）猜想.理由如下：
选择图1，过点作交BD于点，则，
图1
四边形ABCD是正方形，，，，
，，，，
，，
，，，
，，，
，，，，
（3）如图3，取AD的中点，连接EG，
图3
，点是AN的中点，，
的周长，
当的周长最小时，最小，此时，C、E、G三点共线，
，，
的周长
22.（1）略
（2）结论：点F的坐标不变，.理由：，都是等边三角形，
，.
在和中，
，，，.，，，.
（3）如图1，当点在点右侧，连接AC交BD于点，连接CE，作于，
四边形ABCD是菱形，且BD平分.
，，，
，,
，都是等边三角形，，.
在和中，
，，，，，.
，，
由（2）知，，，
是等边三角形，，，
如图2，当点在点左侧，连接AC交BD于点，连接CE交BD于点，作EF于，
四边形ABCD是菱形，且BD平分，
，，，
，，.
同理：，，
在中，则，在中，
，
同理：，，
在中，则，
在中，
，
；
则以A，P，E，D为顶点的四边形的面积是或.x
1
2
3
4
4
13
26