柳州高级中学2024-2025学年高三上学期9月自主综合考试数学试题（原卷版）

这是一份柳州高级中学2024-2025学年高三上学期9月自主综合考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）

A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A. 22B. 30C. 37D. 46
5. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 86B. 87C. 88D. 90
6. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
8. 已知的定义域为，且，则（ ）
A B. C. D.
二、多选题
9. 欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A. 的虚部为B.
C. D. 共轭复数为
10. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C与y轴的交点为和
B. 曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称
C. 点的横坐标的范围是
D. 的取值范围为
11. 如图，正方体棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（ ）
A. 最大值为；
B. 在时取得极大值；
C. 在上单调递增，在上单调递减；
D. 在上单调递增，在上单调递减
三、填空题
12. 已知随机变量，若，则的值为______________．
13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则__________.
14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______.
四、解答题
15. 已知数列an中，，．
（1）求an的通项公式；
（2）求和：
16. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．

（1）在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
（2）若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
17. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.
（1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）；
（2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币个数，求的分布列；
（3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线y=fx在x=1处的切线方程；
（2）若x>0时，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，.
19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．
（1）求的方程；
（2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值；
（3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．