安徽县中联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

这是一份安徽县中联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知，，则p是q的，满足的集合M的个数是，设，，且，则xy的最大值是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：人教版必修第一册第二章结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不正确的是（ ）
A.B.C.D.
2.已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.已知集合，，则
A.B.C.D.
4.已知，，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.满足的集合M的个数是（ ）
A.6B.7C.8D.15
6.设，，且，则xy的最大值是（ ）
A.B.C.D.100
7.已知集合M，若，则，则称a为集合M的“亮点”，若，则集合M的所有“亮点”之和为（ ）
A.3B.4C.5D.6
8.关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
10.已知二次函数的图象开口向上且零点为和3，则（ ）
A.且
B.
C.不等式的解集为
D.不等式的解集为
11.若a，b均为正实数，且满足，则（ ）
A.ab的最大值为B.的最小值为4
C.的最小值为4D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，“”是“为锐角三角形”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
13.已知，，设，则t的取值范围是______.
14.二次函数的最大值记为A，最小值记为a，其中常数.若实数T满足，则______，T的最小值为.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.（本小题满分13分）
设集合，.
（1）若，命题：，命题，若命题p，q都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若，求m的取值范围.
16.（本小题满分15分）
（1）若关于x的方程的两个根为，，且，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数b的取值范围.
17.（本小题满分15分）
（1）设，，比较p与4q的大小；
（2）求关于x的不等式的解集.
18.（本小题满分17分）
2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投人成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
19.（本小题满分17分）
对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”.
（1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由；
（2）若集合，证明：C不可能是“好集合”；
（3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值.
2024~2025学年高一第一学期10月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1.B对于A，因为是任何集合的子集，N是自然数集，则A正确；
对于B，因为含有元素，不是空集，故B错误；
对于C，因为R是实数集，则，故C正确；
对于D，因为Q是有理数集，则，故D正确.
2.D ，，则命题p的否定为，.
3.D ，又，.
4.A 由，得，易知集合是集合的真子集，即可得，所以p是q的充分不必要条件.
5.B 因为集合，则集合M可以为，，，，，，，共7个.
6.A 因为x，，所以，
即，所以，当且仅当且，即，时等号成立.
7.C 不等式.即，解得，，
若，；若，不存在；
若，；若，，若，；若，.
由定义可知2，3都是集合M的“亮点”，故选C.
8.C 由恰有3个整数解，即恰有3个整数解，
所以，解得或.
当时，不等式解集为，
因为，故3个整数解为1，2和3.
则，即，解得是；
当时，不等式解集为，
因为，故3个整数解为，，，
则，即，解得.
综上所述，实数a的取值范围为或.
9.ABC 由图可知阴影部分所表示的集合为，，B，C正确，D错误，
因为}，，
所以，故A正确.故选ABC.
10.BC 对于A，由题意得且，3为一元二次方程的两个根，
故，，即，，A错误；
对于B，为一元二次方程的根，故，即，故B正确；
对于C，由A选项可知，即，解得，C正确；
对于D，即，又，故，解得，D错误.故选BC.
11.ACD 对于A，由，得，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，，，则，
当且仅当，时取等号，又当，时，，故等号能取到，
则的最小值是2.故B错误；
对于C，，b均为正数，且满足，
，
当且仅当，即时取等号，则的最小值是4，故C正确；
对于D，观察知.故，
当且仅当，即时取等号，故D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.必要不充分若，则，可能有一个大于90°，故充分性不成立；若为锐角三角形，则任意两内角和必大于90°，故必要性成立.
13.设，所以，
解得，，所以.
又，所以①.
又，所以②，
①+②可得.
14.4 -6 因为函数的图象开口向上，
所以当时取最小值，即，
当时取最大值，即，所以.
不等式，即，或，
又，所以，所以，由，
即，即对恒成立，所以，
即，所以T的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.解：（1）若，p为真，则，q为真，则，
，q都为真命题，的取值范围为.
（2），.
当时，有，即，满足题意；
当时，有，解得.
综上可知，m的取值范围为或.
16.解：（1）由方程两个根为，，且，结合二次函数的图象开口向上，
可知当时函数值大于0，时函数值小于0，时函数值大于0，
即，解得.
（2）若，即.
当时，原不等式等价为，显然成立，符合题意；
当，原不等式等价为，显然不恒成立，舍去；
若时，要使恒成立，
需要，解得
，即.
综上，b的取值范围为.
17.解：（1），，
则.
故，当且仅当时取等号.
（2）当时，不等式可化为一次不等式：，则有；
当时，不等式可化为二次不等式.
①当时，，可得或.
②当时，.
时，则；时，解集为；时，则.
综上所述：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
18.解：（1）由题意可得当时，，
当时，
（2）由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.
19.（1）解：因为，因为，所以集合A不是“好集合”，
因为，，，，，，，
所以集合B是“好集合”.
（2）证明：将集合{1,2,…,18}中的元素分为如下10个集合，
，，，，，，，，，，
所以从集合中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，即存在两个元素的差的绝对值不大于2，
所以C不可能是“好集合”.
（3）解：因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y，不妨设，都有.
要想D所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3.
将1~2026这2026个元素按如下分组：，，……，，,
故应取，其中任意两元素差值都大于2，故其是好集合，
故集合S的“好子集”D所含元素个数的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
B
A
C
C
题号
9
10
11
答案
ABC
BC
ACD