北京市师范大附属中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份北京市师范大附属中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130°B．150°C．160°D．170°
2、（4分）甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶15km．设甲车的速度为xkm/h，依题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3、（4分）下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限B．与轴交于点
C．随的增大而减小D．与轴交于点
4、（4分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．80°B．120°C．100°D．90°
5、（4分）下列函数：①y＝2x+1 ②y＝③y＝x2﹣1 ④y＝﹣8x中，是一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6、（4分）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）已知点P（1，-3）在反比例函数的图象上，则的值是
A．3B．-3C．D．
8、（4分）在中,,则的值是( )
A．12B．8C．6D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1=________．
10、（4分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差____．（填“＞”、“＜”或“＝”）
11、（4分）在矩形中，，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为___________．
12、（4分）如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE，，连BE，则__________．
13、（4分）等腰梯形的上底是10cm，下底是16cm，高是4cm，则等腰梯形的周长为______cm．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在直角坐标系中，正方形OABC的边长为8，连结OB，P为OB的中点.
（1）直接写出点B的坐标B（ ， ）
（2）点D从B点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段BC上向终点C运动，连结PD，作PD⊥PE，交OC于点E，连结DE.设点D的运动时间为秒.
①点D在运动过程中，∠PED的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由如果不变，求出∠PED的度数
②连结PC，当PC将△PDE分成的两部分面积之比为1:2时，求的值.
15、（8分）如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC长．
16、（8分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或.
（1）已知、，试求A、B两点间的距离______.
已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度．
17、（10分）计算(1)(+)(﹣)
(2)2﹣6+3
18、（10分）如图所示，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接AF和CE，当EF⊥AC时，判断四边形AFCE的形状，并说明理由
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是_____
20、（4分）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，点、旋转后的对应点分别是点和，连接，则的度数是______．
21、（4分）某校五个绿化小组一天植树的棵树如下：10、10、12、x、1．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________．
22、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可）
23、（4分）不等式的正整数解是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：
25、（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；
(1)求证：△ABE∽△EGB；
(2)若AB＝4，求CG的长.
26、（12分）因式分解：2
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选C．
考点：旋转的性质；平行四边形的性质．
2、A
【解析】
设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为（x-15）km/h，根据时间=路程÷速度结合甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为（x﹣15）km/h，
根据题意得：＝．
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3、D
【解析】
直接根据一次函数的性质即可解答
【详解】
A. 直线y=2x−5经过第一、三、四象限，错误；
B. 直线y=2x−5与x轴交于(,0)，错误；
C. 直线y=2x−5，y随x的增大而增大，错误；
D. 直线y=2x−5与y轴交于(0,−5)，正确
故选：D.
此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质
4、B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理进行解答即可．
【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5、B
【解析】
根据一次函数的定义来分析判断即可，在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果满足这样的关系：y=kx+b(k为一次项系数且k≠0，b为任意常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量 (又称函数）.
【详解】
解：①y＝2x+1是一次函数，②y＝是反比例函数，不是一次函数，③y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，④y＝﹣8x是一次函数，
故选：B．
一次函数的定义是本题的考点，熟练掌握其定义是解题的关键.
6、C
【解析】
将各式化为最简二次根式后即可判断
【详解】
(A)原式=2 ,故不能合并,
(B)原式=3,故不能合并,
(C)原式=2,故能合并,
(D)原式= ,故不能合并,
故选C
此题考查二次根式，掌握运算法则是解题关键
7、B
【解析】
根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（1，-1）代入，得，解得k=－1．故选B．
8、C
【解析】
证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6，
故选：C．
本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、70°
【解析】
解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
10、＞
【解析】
先分别求出各自的平均数，再根据方差公式求出方差，即可作出比较．
【详解】
甲的平均数
则
乙的平均数
则
所以
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握方差的求法，即可完成．
11、
【解析】
分析：由S△ABP=AB•h=15，得出三角形的高h=5，在直线AB外作直线l∥AB，且两直线间的距离为5，延长DA至M使AM=10，则M、A关于直线l对称，连接CM，交直线l于P，连接AP、BP，则S△ABP=15，此时AP+CP=CM，根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM；然后根据勾股定理即可求得．
详解；∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
S△ABP=AB•h=15，
∴h=5，
在直线AB外作直线l∥AB，且两直线间的距离为5，延长DA至M使AM=10，则M、A关于直线l对称，连接CM，交直线l于P，连接AP、BP，则S△ABP=15，此时AP+CP=CM，根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM；
∵AD=8，AM=10，
∴DM=18，
∵CD=6，
∴CM=，
∴AP+CP的最小值为.
故答案为．
点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E是解题的关键．
12、45°
【解析】
先证明AB＝AE，求得∠AEB，由AD＝AE，∠DAE＝50°，求得∠AED，进而由角的和差关系求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴AB＝AE，∠ADE＝∠AED＝65°，∠BAE＝140°，
∴∠ABE＝∠AEB＝20°，
∴∠BED＝65°−20°＝45°，
故答案为：45°．
本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求得∠AEB和∠AED的度数．
13、1．
【解析】
首先根据题意画出图形，过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．
【详解】
解：过A，D作下底BC的垂线，

则BE=CF=（16-10）=3cm，
在直角△ABE中根据勾股定理得到：
AB=CD==5，
所以等腰梯形的周长=10+16+5×2=1cm．
故答案为：1．
本题考查等腰梯形的性质、勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）8，8；（2）①∠PED的大小不变，∠PED=45°；②t的值为：秒或秒．
【解析】
（1）根据正方形的边长为8和正方形的性质写出点B的坐标；
（2）①如图1，作辅助线，证明四边形PMCN是正方形，再证明△DPN≌△EPM（ASA），可得△DPE是等腰直角三角形，可得结论；
②分两种情况：当PC将△PDE分成的两部分面积之比为1：2时，即G是ED的三等分点，根据面积法可知：EC与CD的比为1：2或2：1，列方程可得结论．
【详解】
解：（1）∵正方形OABC的边长为8，
∴B（8，8）；
故答案为：8，8；
（2）①∠PED的大小不变；理由如下：
作PM⊥OC于M，PN⊥CB于N，如图1所示：
∵四边形OABC是正方形，
∴OC⊥BC，
∴∠MCN=∠PMC=∠PNC=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∵P是OB的中点，
∴N、M分别是BC和OC的中点，
∴MC=NC，
∴矩形PMCN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠DPN=∠EPM，
∵∠PND=∠PME=90°，
∴△DPN≌△EPM（ASA），
∴PD=PE，
∴△DPE是等腰直角三角形，
∴∠PED=45°；
②如图2，作PM⊥OC于M，PN⊥CB于N，
若PC将△PDE的面积分成1：2的两部分，
设PC交DE于点G，则点G为DE的三等分点；
当点D到达中点之前时，如图2所示，CD=8-t，
由△DPN≌△EPM得：ME=DN=4-t，
∴EC=CM-ME=4-（4-t）=t，
∵点G为EF的三等分点，
∴或
∵CP平分∠OCB，
∴或2，
即CD=2CE或CE=2CD，
∴8-t=2t或t=2（8-t），
t=或（舍）；
当点D越过中点N之后，如图3所示，CD=8-t，
由△DPN≌△EPM得：CD=8-t，DN=t-4
∴EC=CM+ME=4+（t-4）=t，
∵点G为EF的三等分点，
∴或
∵CP平分∠OCB，
∴或2，
即CD=2CE或CE=2CD，
∴8-t=2t或t=2（8-t），
t=（舍）或；
综上所述，当PC将△PED分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为：秒或秒．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、面积法等知识；本题综合性强，难度适中．
15、2.
【解析】
根据勾股定理逆定理，证△ABD是直角三角形，得AD⊥BC，可证AD垂直平分BC，所以AB=AC.
【详解】
解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，
∴BD=BC=1．
∵12+122=22，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵CD=BD，
∴AC=AB=2．
本题考核知识点：勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点：熟记相关性质，证线段相等.
16、（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
【解析】
（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式即可求出MN的距离;
（2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，最短距离为，P的坐标即为直线与x轴的交点.
【详解】
解：（1）∵、
∴
故A、B两点间的距离为：13.
∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1
∴
故M、N两点的距离为5.
（2）∵、、
∴
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形
（3）
作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时DP+PF最短
设直线的解析式为y=kx+b
将D（1,6），（4，-2）代入得：
解得
∴直线的解析式为：
令y=0，解得，即P的坐标为（）
∵PF=
∴PD+PF=PD+==
故当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.
17、（1）2；（2）14
【解析】
（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据二次根式的加减法可以解答本题．
【详解】
解：（1）
＝5﹣3
＝2；
（2）
＝
＝．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18、（1）详见解析；（2）是菱形;
【解析】
根据菱形判定定理：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【详解】
（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
∵O是OA的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2） EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；
由（1）中△AOE≌△COF，得
AE=CF，OE=OF，
又∵OA=OC，EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形.
此题主要考查全等三角形的判定和菱形判定定理，熟练能掌握即可轻松解题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（-2，-3）．
【解析】
根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标相反即可得出答案.
解：点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是(-2,-3).
故答案为(-2,-3).
20、35°
【解析】
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=70°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】
∵将△ABC绕点A顺时针旋转70°，
∴AB=AD，∠BAD=70°, ∠AED=90°
∴∠ABD=55°
∵∠BED=∠AED =90°
∴∠BDE=35°
故答案为35°
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
21、2
【解析】
根据题意先确定x的值，再根据中位数的定义求解．
【详解】
解：当x=1或12时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．
当众数为2，根据题意得：
解得x=2，
将这组数据从小到大的顺序排列1，2，2，2，12，
处于中间位置的是2，
所以这组数据的中位数是2．
故答案为2．
本题主要考查了平均数、众数与中位数的意义，解题时需要理解题意，分类讨论．
22、∠ABC=90°或AC=BD．
【解析】
试题分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．
解：条件为∠ABC=90°，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为∠ABC=90°．
点睛：本题主要考查正方形的判定.熟练运用正方形判定定理是解题的关键.
23、1和2.
【解析】
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【详解】
去分母得,2(x+4) >3(3x−1)-6，
去括号得，2x+8>9x-3-6，
移项得，2x−9x>-3-6−8，
合并同类项得，−7x>−17，
把x的系数化为1得,x< .
故它的正整数解为：1和2.
此题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
先把二次根式化简，然后合并同类二次根式，再做乘法并化简求得结果。
【详解】
解：原式
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键。
25、 (1)证明见解析；(2)CG=6.
【解析】
(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；
(2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE＝，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝10，即可得出结果.
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2，
在Rt△ABE中，BE＝，
由(1)知，△ABE∽△EGB，
∴，即：，
∴BG＝10，
∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6.
本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键
26、2（a-b）2
【解析】
先提公因式在利用公式法进行因式分解即可.
【详解】
解：原式=2（a2-2ab+b2）
=2（a-b）2
本题考查的是因式分解，能够熟练运用多种方法进行因式分解是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分