北京东城二中学2024-2025学年九上数学开学质量检测试题【含答案】

这是一份北京东城二中学2024-2025学年九上数学开学质量检测试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2、（4分）如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A．﹣1B．C．﹣2D． +2
3、（4分）下面哪个点在函数的图象上（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）在中，平分，，则的周长为( )
A．B．C．D．
5、（4分）某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图所示，在直角中，，，，是边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接，则的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
7、（4分）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是
A．B．C．D．
8、（4分）分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在某次射击训练中，教练员统计了甲、乙两位运动员10次射击成绩，两人的平均成绩都是8.8环，且方差分别是1.8环，1.3环，则射击成绩较稳定的运动员是______（填“甲”或“乙”）．
10、（4分）2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是 ．
11、（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，则梯形ABCD的面积为______.
12、（4分）若一组数据2，，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是_______．
13、（4分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）动点从点出发，沿折线方向以1个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式．
15、（8分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）已知D、E（2，4）分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16、（8分）小华思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．
（1）小华进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E、F分别在边BC、CD上，如图1．此时她证明了AE＝AF，请你证明；
（1）由以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明；
（3）如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，求四边形APCQ的周长的最小值.
17、（10分）已知是方程的两个实数根，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18、（10分）已知：线段a，c．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠C＝90°
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在一只不透明的袋子中装有6个球，其中红球3个、白球2个、黄球1个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从袋子中任意摸出一个球，摸到_____球可能性最大．
20、（4分）在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于点，则_________.
21、（4分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．若AB＝6，AD＝8，则DG的长为_____．
22、（4分）一元二次方程的两根为，，若，则______.
23、（4分）已知关于 的方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：（1） （2）解方程x2－4x＋1=0
25、（10分）计算：
(1)(+)()+|1﹣|；
(2)﹣()2+(π+)0﹣+|﹣2|
26、（12分）在学校组织的知识竞赛中，八（1）班比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八（1）班成绩整理并绘制成如下的统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）请根据统计图的信息求出成绩为C等级的人数；
（2）将表格补充完整．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据中心对称图形的概念解答即可.
【详解】
A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2、B
【解析】
可利用勾股定理求出AB的值，即可得到答案．
【详解】
解：由勾股定理可知：
AB＝＝，
即AC＝AB＝，
A为数轴上的原点，
数轴上点C表示的数为，
故选：B．
本题考查实数与数轴，利用勾股定理求出AB的值为解决本题的关键．
3、B
【解析】
把各点坐标代入解析式即可求解.
【详解】
A. ，y=4×1-2=2≠-2，故不在直线上；
B. ，y=4×3-2=10，故在直线上；
C. ，y=4×0.5-2=0，故不在直线上；
D. ，y=4×（-3）-2=-14，故不在直线上.
故选B.
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知坐标的代入求解.
4、C
【解析】
首先证得△ADC≌△ABC，由全等三角形的性质易得AD=AB，由菱形的判定定理得▱ABCD为菱形，由菱形的性质得其周长．
【详解】
解：如图：
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D．
在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD=3，
∴▱ABCD的周长为：3×4=1．
故选：C
本题主要考查了全等三角形的判定及菱形的判定及性质，找出判定菱形的条件是解答此题的关键．
5、B
【解析】
每个队要比（x-1）场,根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
x(x−1)＝3×2，
即x(x−1)＝6，
故选：B．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的单循环问题．
6、A
【解析】
首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：BC+AC．
【详解】
连接AE，
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90∘，AB=8，AC=6，
∴BC=
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16，
故选A.
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的性质是解题关键.
7、D
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=kx（k≠0），可以判定函数的类型．
【详解】
A. 是一次函数，故此选项错误；
B. 是正比例函数，故此选项错误；
C. 不是反比例函数，故此选项错误；
D. 是反比例函数，故此选项正确。
故选D.
本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义对选项进行判断是解题关键.
8、C
【解析】
观察可得最简公分母是x（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
方程的两边同乘x（x-1），得
1x-1=4x，
解得x=-1．
检验：当x=-1时，x（x-1）≠2．
∴原方程的解为：x=-1．
故选C．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】
直接根据方差的意义求解．
【详解】
∵S甲2＝1.8，S乙2＝1.3，1.3＜1.8，
∴射击成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10、．
【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好2名女生得到电影票的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好2名女生得到电影票的有2种情况，
∴恰好2名女生得到电影票的概率是：=．
故答案为：．
11、2
【解析】
过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，得四边形ACED是平行四边形，则DE=AC=3，CE=AD=1．根据勾股定理的逆定理即可证明三角形BDE是直角三角形．根据梯形的面积即为直角三角形BDE的面积进行计算．
【详解】
解：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=3，CE=AD=1，
在三角形BDE中，∵BD=4，DE=3，BE=5，
∴根据勾股定理的逆定理，得三角形BDE是直角三角形，
∵四边形ACED是平行四边形
∴AD=CE，
∴AD+BC=BE，
∵梯形ABCD与三角形BDE的高相等，
∴梯形的面积即是三角形BDE的面积，即3×4÷2=2，
故答案是：2．
本题考查了梯形的性质，梯形中常见的辅助线之一是平移对角线．
12、3，3，0.4
【解析】
根据平均数求出x=3，再根据中位数、众数、方差的定义解答.
【详解】
∵一组数据2，，4，3，3的平均数是3，
∴x=，
将数据由小到大重新排列为：2、3、3、3、4，
∴这组数据的中位数是3，众数是3，
方差为，
故答案为：3、3、0.4.
此题考查数据的分析：利用平均数求某一个数，求一组数据的中位数、众数和方差，正确掌握计算平均数、中位数、众数及方差的方法是解题的关键.
13、2
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD==1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2 ；
故答案为2．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）.
【解析】
(1)由点A的坐标，求出OA的长，根据四边形ABCO为菱形，利用菱形的四条边相等得到OC=OA，求出OC的长，即可确定出C的坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式；
(2) 对于直线AC解析式，令x=0，得到y的值，即为OE的长，由OD-OE求出DE的长， 当点P在线段AB上时，由P的速度为1个单位/秒，时间为t秒，表示出AP，由AB-AP表示出PB，△PEB以PB为底边，DE为高，表示出S与t的关系式，并求出t的范围即可；当P在线段BC上时，设点E到直线BC的距离h，由P的速度为１个单位/秒，时间为t秒，则 BP的长为t-5，△ABC的面积为菱形面积(OC为底，OD为高)的一半，△AEB的面积以AB为底，DE为高，△BEC以BC为底边，h为高，利用等量关系式，建立方程，解出h的值，△PEB以BP为底边，h为高，表示出S与t的关系式，并求出t的范围即可．
【详解】
解：（1）∵点的坐标为，
∴，在中，根据勾股定理，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：
解得，
∴；
（2）令时，得：，则点，
∴，
依题意得：，
①当点在直线上运动时，即
当时，
∴，
②当点在直线上时，即当时，∴；设点E到直线的距离，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上得：.
故答案为（1）；（2）.
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，菱形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15、（1）B（3，6）；（2）y＝﹣x+5；（3）点N坐标为（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2，）．.
【解析】
（1）过B作BG⊥OA于点G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的长，则可求得B点坐标；
（2）由条件可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；
（3）当OD为边时，则MO=OD=5或MD=OD=5，可求得M点坐标，由MN∥OD，且MN=OD可求得N点坐标；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，则可求得M、N的纵坐标，则可求得M的坐标，利用对称性可求得N点坐标．
【详解】
解：（1）如图1，过B作BG⊥OA于点G，
∵BC＝3，OA＝6，
∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，
在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3）2＝32+BG2，解得BG＝6，
∴OC＝6，
∴B（3，6）；
（2）由OD＝5可知D（0，5），
设直线DE的解析式是y＝kx+b
把D（0，5）E（2，4）代入得，解得：，
∴直线DE的解析式是y＝﹣x+5；
（3）当OD为菱形的边时，则MN＝OD＝5，且MN∥OD，
∵M在直线DE上，
∴设M（t，﹣ t+5），
①当点N在点M上方时，如图2，则有OM＝MN，
∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，
∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4，
当t＝0时，M与D重合，舍去，
∴M（4，3），
∴N（4，8）；
②当点N在点M下方时，如图3，则有MD＝OD＝5，
∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2或t＝﹣2，
当t＝2时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去，
∴M（﹣2， +5），
∴N（﹣2，）；
当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，
∴点M在直线y＝2.5上，
在y＝﹣x+5中，令y＝2.5可得x＝5，
∴M（5，2.5），
∵M、N关于y轴对称，
∴N（﹣5，2.5），
综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2，）．
一次函数的综合应用，涉及勾股定理、待定系数法、菱形的性质、分类讨论及方程思想．在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论.
16、（1）见解析；（1）见解析；（3）.
【解析】
（1）根据四边形ABCD是菱形，首先证明∠B＝∠D，AB＝AD，再结合题意证明，进而证明△AEB≌△AFD，即可证明AE＝AF.
（1）根据（1）的证明，再证明△AEP≌△AFQ（ASA），进而证明AP＝AQ.
（3）根据题意连接AC，则可证明△ABC为等边三角形，再计算AE的长度，则可计算长APCQ的周长的最小值.
【详解】
（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，
∵∠EAF＝∠B，
∴∠EAF+∠C＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵AE⊥BC，
∴AF⊥CD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF；
（1）证明：如图3，由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，
∴∠EAP＝∠FAQ，
在△AEP和△AFQ中，
，
∴△AEP≌△AFQ（ASA），
∴AP＝AQ；
（3）解：如图2，连接AC，
∵∠ABC＝60°，BA＝BC＝2，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴BE＝EC＝1，
同理，CF＝FD＝1，
∴AE＝ ＝1 ，
∴四边形APCQ的周长＝AP+PC+CQ+AQ＝1AP+CP+CF+FQ＝1AP+1CF，
∵CF是定值，当AP最小时，四边形APCQ的周长最小，
∴当AP＝AE时，四边形APCQ的周长最小，此时四边形APCQ的周长的最小值＝1×1+2＝2+2．
本题主要考查菱形的性质，关键在于第三问中的最小值的计算，要使周长最小，当AP＝AE时，四边形APCQ的周长最小.
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=q，则通过解方程组，可得，然后计算q的值；
（2）先利用一元二次方程根的定义得到x12=2x1+2，则x13=6x1+4，所以x13-3x12-2x2+3化为-2x2+1，然后把x2=1+代入计算即可．
【详解】
解：（1）根据题意得x1+x2=2，x1x2=q，
由，可得.
所以， .
（2）∵x1是方程x2-2x-2=0的实数根，，∴，即，
.
本题考查根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，.
18、详见解析
【解析】
过直线m上点C作直线n⊥m，再在m上截取CB＝a，然后以B点为圆心，c为半径画弧交直线n于A，则△ABC满足条件．
【详解】
解：如图，△ABC为所作．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、红．
【解析】
根据概率公式先求出红球、白球和黄球的概率，再进行比较即可得出答案．
【详解】
∵不透明的袋子中装有6个球，其中红球3个、白球2个、黄球1个，
∴从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：＝，摸到白球的概率是＝，摸到黄球的概率是，
∴摸到红球的概率性最大；
故答案为：红．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．
20、
【解析】
把代入可得：解得得，再把代入，即，解得.
【详解】
解：把代入可得：
解得，
∴
∵点也在图象上，
把代入，
即，
解得.
故答案为：8
本题考查了一次函数和反比例函数，掌握待定系数法求解析式是关键.
21、
【解析】
根据折叠的性质求出四边形BFDG是菱形，假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x，根据在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即可求解.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵折叠，∴∠DBC=∠DBF，
故∠ADB =∠DBF
∴DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝1．
∴OB＝BD＝2．
假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即DG＝BF＝，
故答案为：
此题主要考查矩形的折叠性质，解题的关键是熟知菱形的判定与性质及勾股定理的应用.
22、-7
【解析】
先用根与系数的关系，确定m、n的和与积，进一步确定a的值，然后将m代入，得到，最后再对变形即会完成解答.
【详解】
解：由得：m+n=-5，mn=a，即a=2
又m是方程的根，则有，
所以+（m+n）=-2-5=-7
故答案为-7.
本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形，其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.
23、．
【解析】
先根据得到，再代入原方程进行换元即可．
【详解】
由，可得
∴原方程化为3y+
故答案为：3y+.
本题主要考查了换元法解分式方程，换元的实质是转化，将复杂问题简单化．常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题，有时候要通过变形才能换元．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）x1＝1，;（2），．
【解析】
(1)先把原分式方程化为整式方程求出x的值,再把x的值代入最简公分母进行检验即可.(2)利用求根公式求解即可.
【详解】
（1）解：。
去分母，得：x（3x－2）＋5（2x－3）＝4（2x－3）（3x－2），
化简，得：7x2－20x＋13＝0，解得：x1＝1，
（2） ，
，．
本题考查的是解一元二次方程和分式方程的解法，解题的关键是注意求根公式的运用及解分式方程需要检验.
25、（1）（2）
【解析】
（1）利用平方差公式计算，再算出绝对值的值，即可解答
（2）先算出零指数幂，算术平方根，再根据二次根式的混合运算即可
【详解】
解：（1）（ ）（）+|1﹣ |
＝3﹣2+﹣1
＝；
（2） ﹣（ ）2+（π+）0﹣ +|﹣2|
＝﹣3+1﹣3+2﹣
＝﹣3．
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
26、（1）2；（2）表格见解析.
【解析】
【分析】（1）根据D等级的人数以及所占的比例求出八（1）班参赛人数，然后用C等级的比例乘以参赛人数即可求得C等级的人数；
（2）结合各等级的人数根据中位数和众数的定义进行求解后填表即可.
【详解】（1）5÷20%＝25（人），
25×8%＝2（人），
所以C等级的人数为2人；
（2）观察可知B等级的人数最多，所以众数为90，
一共有25个数据，排序后中位数是第13个数据，613所以中位数是90，
故答案为：
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数以及众数等知识，读懂统计图，从图形找到必要的信息是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人