湖南省常德芷兰实验学校等多校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省常德芷兰实验学校等多校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A.B.C.D.
2.方程的解为（ ）
A.，B.C.，D.
3.在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
4.关于x的一元二次方程有一根为，则有（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A.B.C.D.
6.某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个，设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.B.
C.D.
7.若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（ ）
A.12B.10C.7.5D.6
8.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流.与电阻的关系图象，该图象经过点.根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
第8题
A.当时，
B.I与R的函数关系式是
C.当时，
D.当时，I的取值范围是
9.如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，的面积为10，则k的值为（ ）
第9题
A.6B.7C.8D.9
10.《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为.”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ）
图1 图2
A.4B.6C.8D.10
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.若函数是反比例函数，则m的值是______.
12.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______.
13.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，，则k的值为______.
14.如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为3，则k的值为______.
15.若a是关于x的方程的一个根，则代数式的值为______.
16.已知a，b，c分别是的三边，其中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状是______.
17.若关于x的方程有实数解，则k的取值范围是______.
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为______.
三、解答题（第19、20每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分）
19.（本题6分）用适当的方法解方程
（1） （2）
20.（本题6分）先化简，再求值：
，其中x满足.
21.（本题8分）关于x的一元二次方程.
（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果，是这个方程的两个根，且，求k的值.
22.（本题8分）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求三角形的面积.
23.（本题9分）学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为x（分）与对应的水温为函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点A为，点B为，点.
（1）求出段加热过程的y与x的函数关系式和a的值.
（2）若水温在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？
24.（本题9分）已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有一个解为0，求k的值；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值.
25.（本题10分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用.我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”。例如，所以5是“完美数”.
（1）数52______“完美数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x，y是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
（3）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值.
26.（本题10分）如图，矩形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点P在x轴的上方，且满足
（备用图）
（1）若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
（2）连接，，求的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11. 12. 13.2 14..
15. 16.等腰 17. 18.5
19.（6分）【答案】（1），……3分
（2），……3分
20.（6分）【答案】
……4分；……6分
21.（8分）【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
解得：；……4分
（2）∵，是这个方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
，
解得：.……8分
22.（8分）【详解】
（1）解：∵反比例函数过点，
∴，即；……2分
将，代入，得
∴点A的坐标为，
∴将点A，B的坐标代入一次函数中，得，解得，
∴；……4分
（2）解：在直线中，当时，，
∴点C的坐标为，即，
∴；……8分
23.（9分）【详解】（1）设线段解析式为.双曲线的解析式为
代入得，解得
∴线段的解析式，……2分
代入得，解得
∴双曲线的解析式为；……4分
∴
解得；……5分
（2）反比例函数解析式为，
当时，代入线段 ，解得，
代入反比例函数得，解得
所以不适宜饮水的持续时间为分.……6分.
24.（9分）【详解】
（1）把代入原方程得：，解得：，；……2分
（2）由题意得：
∴方程有两个不相等的实数根；……5分
（3）∵，即
解得：，
当为直角边时，，解得：
当为斜边时，，解得：，（不合题意，舍）
综上：k的值为12或3；……9分
25.（10分）答案：（1）是；……2分
（2）当时，s为完美数，理由：
∵s是完美数，∴是完全平方数，；……6分
（3）解：由题意得，，.
∴.
∴当时，s有最大值.……10分
26.【详解】
（1）∵四边形是矩形，，，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上
∴，∴，
设点P的纵坐标为，
∵，∴，∴，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则，∴
∴点P的坐标为.……3分
（2）过点，作直线轴.
图1
由（1）知，点P的纵坐标为2，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点，则.
连接交直线l于点P，此时的值最小，
则的最小值；……6分
（3）
图2 图3
①如图2中，当四边形是菱形时，易知，，，
∴，.
②如图3中，当四边形是菱形时，，，
∴，.
综上所述，点Q的坐标为，，，
.……10分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
B
C
D
D
C
A