上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

这是一份上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷，共14页。

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．函数的定义域是______．
2．已知集合（），若，则______．
3．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为______．
4．若，，则______．
5．若，用表示______．
6．函数的单调增区间为______．
7．已知向量，，则的最大值为______．
8．若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______．
9．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围______．
10．如图，为外接圆上一个动点，若，，，则的最大值为______．
11．已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为______．
12．正实数，满足：存在和，使得，，，则的最大值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
15．设集合（其中常数，），（其中常数），则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
16．定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．
已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知坐标平面内，向量，，．
（1）求满足的实数、；
（2）若向量满足，且，求的坐标．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，，函数．
（1）当时，求的值域；
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，求的面积的最大值．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆：（）的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线与椭圆．交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连接并延长交椭圆于，求的值；
（3）若原点到直线的距离为1，，当时，求的面积的范围．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知函数，．分别判断区间，区间是否为的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知函数，且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有，求证：函数存在“美好区间”，且存在，为不属于的任意一个“美好区间”．
2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期
9月月考数学试卷参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．【答案】
【解析】要使有意义，则：，解得：，或，∴的定义域是．
2．【答案】
【解析】集合1，∵，即或，
可得或，当时，违背集合的互异性．
3．【答案】2
【解析】．
4．【答案】
【解析】．
5．【答案】
【解析】因为
，
所以．
6．【答案】
【解析】由解得，即函数的定义域为，
设，则函数在上为增函数，
为减函数，此时函数单调递减，
函数在上为减函数，为减函数，
此时函数的单调递增，
故的单调增区间为．
7．【答案】3
【解析】
，则的最大值为．
8．【答案】
【解析】存在实数使得不等式成立，
而，
故原条件等价于，即，解得，
故实数的取值范围为．
9．【答案】
【解析】，设切点坐标为
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
，解得或，
即的取值范围是．
10．【答案】
【解析】由余弦定理得，
由正弦定理得外接圆半径，
所以，其中是在上的投影，
过点作交圆于点，如图，
则，
所以的最大值为．
11．【答案】2
【解析】因为函数为奇函数，其图象关于点对称，
且在，上单调递减，
而，
所以的图象关于点对称，且在，上单调递减．
因为函数为奇函数，其图象关于点对称，且为上的增函数，
所以的图象关于点对称，且为上的增函数．
从而与的图象有两个关于点对称的交点，故两交点的纵坐标之和为2．
12．【答案】
【解析】不妨构造，，
条件转化为，，，故，
于是问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动，
因为，，所以点位于点的左上方，
设，则，所以
，
故
．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．【答案】C
【解析】选项A：如，，则，故A错误，
选项B：当时，，B错误，
选项C：因为函数在上单调递增，，则，故C正确，
选项D：如，，则，故D错误，
故选：C．
14．【答案】A
【解析】，
它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，故A正确．故选：A．
15．【答案】A
【解析】当时，集合，若，则，此时；
当，集合，若，则，此时，故“”是“”的充分条件，
当时，集合，若，，可得；
当，集合，若，，可得，
所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分非必要条件．故选：A．
16．【答案】D
【解析】由函数，，是关于的“对称函数”，
可得，，，，
可得的解为，
由，，，
且在递增，递减，可得的最小值为，最大值为1，
可得的值域为
而在递增，可得的值域为
由题意可得
即有，即为，
解得或，
则的范围是
故选：D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．【答案】（1），；（2）的坐标为或
【解析】（1）因为，，，且，
所以，
所以，解得，
所以满足的实数，．
（2）因为，，所以，
设，因为，且，
所以，①
，②
由①②解得：或，
所以的坐标为或．
18．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）函数，，．
，
，，，
可得：．
（2），可得：，
，，可得：，解得：．
，
由余弦定理，
可得：
当且仅当时取到等号，
．
19．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，得，解得．
（2）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，
对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得．
故的取值范围为．
20．【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），，
又，，
，，
故椭圆方程为．
（2）过，，
，
，
，则，
，，代入椭圆方程，
得，即，所以．
（3）原点到直线的距离为1，，
设，，，
联立（*），
，
由（*）式知，，，
，得，
，
令，，，
．
21．【答案】（1）是，不是；（2）；（3）见解析
【解析】（1），
当时，，满足性质①，
所以是的“好区间”；
当时，
既不满足性质①，也不满足性质②，
所以不是的“美好区间”；
（2），
若在区间上满足性质①，则，，
而，
所以在区间上不满足性质①
若在区间上满足性质②，
当时，
所以
当时，因为，所以不符合；
综上所述，实数的取值范围是；
（3）证明：因为任意，都有
所以在任意区间上对应的函数值区间长度必大于，
即在任意区间上都不满足性质①，
因为对于任意，都有
所以在上单调递减，
所以不恒成立，即存在，
若，取，则
在区间上对应函数值的区间，
所以是一个“美好区间”；
若，取，
则
在区间上对应函数值的区间，
是一个“美好区间”；
所以存在“美好区间”；
记，
因为在上单调递减，所以在上单调递减；
又图像是一条连续的曲线，
所以图像也是一条连续的曲线，
先证明有零点，
设，
若，则有零点为，
若，则，，，在区间上有零点；
若，则，，，在区间上有零点；
所以必有零点，记为，
即的“美好区间”都满足性质②，
所以不属于任意一个“美好区间”．0
3
－
0
＋
12
单调递减
极小值3
单调递增