广东外语外贸大学实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份广东外语外贸大学实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，则集合A的真子集有（ ）个．
A．7 B．15 C．31 D．63
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题p，q都是真命题 B．命题p是真命题，q是假命题
C．命题p是假命题，q是真命题 D．命题p，q都是假命题
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知集合，则“”是“”（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．下列图象中，不能作为函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，且，则的最小值为9
11．已知正数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．ab的最大值为4 B．的最小值为8
C．的最小值为3 D．的最小值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．己知集合，则_________。
13．不等式的解是_________。
14．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数a的取值范围为_________。
四、解答题（本题共5题，共77分）
15．（共13分）已知全集，集合．
（1）（5分）若，求；
（2）（8分）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（共15分）解关于x的不等式：．
17．（共15分）一元二次不等式和初中学过的一元二次不等式与二次函数有着异曲同工之妙．
（1）（5分）解一元二次不等式：；
（2）（10分）已知关于x的不等式的解集为，求的解集．
18．（17分）
（1）（8分）求的最小值；
（2）（9分）己知x，，求的最小值．
19．（17分）
某工厂生产某种产品，其生产的总成本y（万元）年产量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为．已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨．
（1）（8分）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；
（2）（9分）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．
参考答案
1．C
【分析】根据题意求集合A的元素个数，进而求真子集个数
【详解】由题意可知：集合，共5个元素，
所以集合A的真子集有个．
故选：C．
2．A
【分析】根据交集概念求出答案，
【详解】，
．
故选：A
3．C
【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可．
【详解】因为时，，p是假命题；
因为时，，q是真命题；
故选：C
4．D
【分析】通过举反例排除A，B两项；利用作差法判断C项，结论错误：运用不等式的性质可推理得到D项结论．
【详解】对于A，若，当时，则，故A错误；
对于B，若，满足，但，故B错误；
对于C，因，由，可得，故C错误；
对于D，由，得，因，则，故D正确．
故选：D．
5．A
【分析】由，可求得，进而可得结论．
【详解】因为，所以；反之，也成立；
所以“”是“”的充要条件．
故选：A．
6．D
【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解．
【详解】由得，所以或，
解得或，所以．
故选：D．
7．A
【分析】由得，得到，进而，
所以，由均值不等式求得最小值．
【详解】因为且，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为2，
故选：A
8．C
【分析】根据函数的定义知，定义域内的任意的自变量x，只能有唯一的y与x对应，逐项判定，即可求解．
【详解】根据函数的定义知，对于定义域内的任意的自变量x，只能有唯一的y与x对应，
选项ABD中，每一个x都有唯一的y与x对应，满足函数的定义，可以表示函数；
选项C中，出现一个x都有两个y与x对应，不满足函数的定义，不可以表示函数．
故选：C．
9．BC
【分析】结合空集的定义及性质逐项判断即可．
【详解】因为空集不含任何元素，故，A错误；
因为空集为任何集合的子集，故，B正确；
因为方程，所以方程的解集为，
所以，C正确；
因为空集不含任何元素，0是1个元素，故D错误：
故选：BC．
10．AD
【分析】首先可通过a也有可能是负数得出A；通过全称命题的否定是特称命题判断出B；
后通过判断出C；利用基本不等式可判断出D．
【详解】解：A．若，则；若，则a也有可能是负数，
故“”是“”的充分不必要条件，正确，符合题意；
B．命题“”的否定是“”，错误，不符合题意；
C．若，则，错误，不符合题意；
D．若，且，则，
当且仅当时，即时，取等号，故最小值为9，正确，符合题意；
故选：AD．
11．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D．
【详解】因为正数a，b满足，
所以，当且仅当，即时等号成立，
解得，所以，故ab的最大值为4，故A正确；
，
即，又，所以，
所以的最小值为8，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
由可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，又b为正数，矛盾，故C错误；
，当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD
12．
【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集．
【详解】由题意得：，解得：，
故答案为：
13．
【分析】移项通分化为整式不等式求解即可．
【详解】由可得：，
即，解得：．
故答案为：．
14．
【分析】根据“存在”为真命题，讨论求解．
【详解】命题“对任意的，都有”为假命题，
则“存在”为真命题，
当时，满足；
当时，满足；
当时，需，解得；
综上：．
故答案为：
15．（1）
（2）
【分析】（1）当时，可得，则，然后求交集即可；
（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可．
【详解】（1）当时，，
因为，所以；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，即，
当时，，此时，满足，
当时，则，解得：，且和不能同时成立，
综上所述：实数a的取值范围为．
16．答案见解析
【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集．
【详解】①当时，原不等式化为，解得．
②当时，原不等式化为，解得或．
③当时，原不等式化为．
当，即时，解得；
当，即时，解得满足题意；
当，即时，解得．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
17．（1）
（2）
【详解】（1），
解得：或，
所以不等式的解集为；
（2）由条件可知，方程的两根分别为和，
则，得，
不等式，即，即，
则，得，
所以不等式的解集为．
18．（1）3；（2）
【分析】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解；
（2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解。
【详解】（1），
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为3；
（2）因为x，，
所以，
，
当且仅当且，即时取等号，
故的最小值为．
19．（1）年产量为200吨时，最低平均成本为20万元
（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元
【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得；
（2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求．
【详解】（1）由题意可得，
因为，
当且仅当时，即时等号成立，符合题意．
所以当年产量为200吨时，平均成本最低为20万元
（2）设利润为，则，
又，
当时，．
所以当年产量为220吨时，最大利润为840万元． 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
D
A
D
A
C
BC
AD
ABD