广东省深圳市深圳中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试（10月）数学试题

这是一份广东省深圳市深圳中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试（10月）数学试题，共13页。试卷主要包含了已知角的终边过点，则，直线与函数和的图象都相切，则，已知实数满足，已知，且，则下列一定正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025届高三年级第一次阶段考试
数学
本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（）
A. B. C. D.
2.在“家校联谊运动会”后，甲､乙､丙三人对成绩进行预测.
①甲：我的成绩比乙高.②乙：丙的成绩比我和甲的都高.③丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次应为（）
A.甲､乙､丙 B.甲､丙､乙 C.丙､乙､甲 D.乙､甲､丙
3.已知，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.已知角的终边过点，则（）
A. B. C. D.
6.直线与函数和的图象都相切，则（）
A.2 B. C. D.
7.如图，四位同学受课堂启发开展“图像法比大小”的课题探究，在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数的图像如下.结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是（）
A. B.
C. D.
8.已知实数满足：，则的值是（）.
A. B. C.2 D.1
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，且，则下列一定正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知函数，其中为实数，则下列条件能使函数仅有一个个零点的是（）
A. B.
C. D.
11.定义：实数满足，则称比远离.已知函数的定义域为，任取等于和中远离0的那个值，则（）
A.是偶函数 B.的值域为
C.在上单调递增 D.任上单调递减
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.
12.若函数为偶函数，则__________.
13.若函数对恒成立，则的取值范围是__________.
14.设，记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横､纵坐标都是整数的点，则函数的值域为__________.
四､解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知为锐角，.
（1）求与的值；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）己知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且
（注：年利润=年销售收入-年总成本）
（1）写出年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
17.（本小题满分15分）设函数.
（1）若，求的值.
（2）若，且在区间上为增函数，求的最大值.
（3）已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.
条件①：在区间上单调递减；条件②：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）已知函数.
（1）讨论函数在区间上的最大值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，令，求函数在区间上的最大值；
（3）记为的从小到大的第个极值点，若对一切恒成立，求的取值范围.
2025届高三年级第一次阶段考试数学
参考答案
选择题
填空题
6.【答案】D 【解析】设两个切点分别为，
曲线在点处的切线方程为，整理得：，
曲线在点处的切线方程为，整理得：，因为直线是两函数图象的公切线，所以，
由①可得，代入②得：，整理得：，所以，代入②得：.
7.【答案】C 【详解】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C
8.【答案】C 【详解】，则，即，
令，则，
令，由显然为增函数，且，
可知，从而.故选：C
11.【答案】AD 【详解】依题意函数的定义域为，
，
两边平方并化简得，由于，
所以，解得或，
解得，或，或，或.
同理，由解得或.
设，
设，
，
由于则则，
故，所以为偶函数，A选项正确.
由于，所以，所以B选项错误.
由上述分析可知，，而，
所以在区间不是单调函数，C选项错误.
在区间上递减，D选项正确.
故选：AD
13.【答案】【详解】对恒成立，
故，即恒成立，即对恒成立，构造，故只需保证，解得
14.【答案】【详解】在坐标系中作出四点，举例：
时，如下图，平行四边形内部有9个整点；
时，如下图，平行四边形内部有12个整点；
时，如下图，平行四边形内部有11个整点；
证明：设与交点为，与交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，由，则线段上的整点有3个或4个，所以，
易求得点，
①当时，；②当时，；③其余情况，；故的值域为
解答题：
15.【解析】（1）因为，所以.
因为，
因此.
因为，所以.
（2）因为为锐角，所以.
又因为，所以，
因此，.
因此，.
16.【解析】（1）
（2）①当时，由
得.且当时，；当时，；
当时，取最大值，且.
②当时，.
当且仅当，即时，.
综合①､②知时，取最大值.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.
17.【解析】（1）因为，
所以，
因为，所以.所以.
（2）因在每个闭区间上为增函数，
故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立，
此时必有，于是
，解得，故的最大值为.
（3）因为，
所以，所以的最大值为1，最小值为.
若选条件①：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以.
所以.
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以.
18.【解析】
（1）由题意可得函数的定义域为.
，
令，得.所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
当，即时，函数在区间上单调递增，
故函数的最大值为.
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故函数的最大值为.
综上，当时，函数在区间（上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为.
（2）【法一：分离参数法】
当时，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.令，则.
，
令在上单调递减，
又，故在上有唯一零点，
不妨设该零点为，则，则当时，单调递增；当时，单调递减.
故，又，
所以，所以.
故，解得，故实数的取值范围为.
【法二：同构法】
当时，不等式恒成立，即，
即恒成立.令，则，则.
，故当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
故，解得，故实数的取值范围为.
19.【解析】（1）当时，因为，所以，，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2），则，
设，则，其中，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以对任意有，即，
所以在区间上单调递减，
因此函数在区间上的最大值为.
（3）
令，由，得，即，
而对于，当时，
若，即，则；
若，即，则；
因此，在区间与上，的符号总相反，于是当
时，取得极值，所以，此时，
.
对一切恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，则，令得，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增；
因为，且当时，，所以
，
因此，恒成立，当且仅当，解得，
故实数的取值范围是.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
A
A
D
B
D
C
C
ABD
ACD
AD