2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之二元一次方程(组)

这是一份2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之二元一次方程(组)，共10页。学案主要包含了范例详解，巩固练习，阅读感悟，解决问题，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【范例详解】
例.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方
程x-x=0，就可以利用该思维方式，设x=y，将原方程转化为：y2-y=0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足5x2y2+2x+2y=133x+y4+2x2y2=51，求x2+y2的值．
【解析】考查高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有x2y2和x+y，因此可以令xy=a,x+y=b，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出x2+y2的值.
解：令xy=a,x+y=b，则原方程组可化为：5a2+2b=133b4+2a2=51，整理得：5a2+2b=133①16a2+2b=408②，②-①得：
11a2=275，解得：a2=25，代入②可得：b=4，∴方程组的解为：a=5b=4或a=-5b=4，
x2+y2=(x+y)2-2xy=b2-2a，当a=5时，x2+y2=6，当a=-5时，x2+y2=26，因此x2+y2的值为6或26.
【巩固练习】
1．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，
则m※n＝________．
2．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．
（1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．
3.【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=________，x+y=________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=________．
4.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
5.阅读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号abcd称为2×2阶行列式，并规定：abcd=ad-bc，例如：32-1-2=3×-2-2×-1=-4，二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解可以利用2×2阶行列式表示为：x=DxDy=DyD，其中D=a1b1a2b2，Dx=c1b1c2b2，Dy=a1c1a2c2，
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组2x+y=13x-2y=12 时，下列说法错误的是（ ）
A. D=213-2=-7 B. Dx=-14 C. Dy=27 D. 方程组的解为x=2y=-3
6.对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a2+b2(a≥b)ab (a