宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

试卷总分：100分考试时间：100分钟
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
3．抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，8）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣8，﹣2）
4．在“抛硬币”的游戏中，如果抛了10000次，则出现正面的概率是，这是（ ）
A．确定的B．可能的C．不可能的D．不太可能的
5．若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ）
A．4B．C．5D．
6．如图，已知是的圆心角，，则圆周角的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x 轴的一 交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）

A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，则a+b+c＝ ．
10．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
11．边长为2的正方形，如果边长增加，则新正方形面积S与之间的函数关系是 ．
12．二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到抛物线的解析式为 ．
13．一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有 个白球．
14．把一个半径为8cm，圆心角为90°的扇形，围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径是 cm．
15．已知正ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正ABC的最小圆的半径是 ．
16．如图，矩形中，，以为直径的半圆Ｏ与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（每题6分，共36分）
17．解方程：2x2﹣5x﹣1=0．
18．已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

19．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且，求的度数．
20．在平面直角坐标系的位置如下图，的顶点坐标分别为．

(1)画出绕原点O顺时针旋转后的；
(2)并求出点A绕原点O旋转到点的过程中，线段所扫过图形的面积．（保留）
21．有一个均匀的正六面体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机地抛掷一次，把朝上一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面分布写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后计算出的值．
(1)用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；
(2)求出当时的概率．
22．如图，已知是的直径，弦，垂足为P，N是弧上一点，连接和，并分别延长、相交于点M，求证：．

四、解答题（本题共3道题，每题8分，共24分）
23．已知：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的长．
24．王老伯想利用一边长为a（单位：米）的旧墙及24米长的旧木料，建造牛棚三间，如图所示，它们的平面图是一排大小相等的长方形．（木料的厚度不计）
(1)如果设牛棚的一边长为x（单位：米），牛棚的总面积为S（单位：平方米），那么S 与x有怎样的函数关系？
(2)请你帮王老伯计算一下，如果牛棚的总面积为32平方米，应该如何安排牛棚的两边和的长度？旧墙的长度是否会对牛棚的长度有影响？
(3)32平方米是否是最大面积？用你学过的数学知识帮王老伯计算一下．
25．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于Ｏ、A两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若在二次函数图象上存在一点B，使的面积等于3，试求点B的坐标．（点B在抛物线对称轴的右边）
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2．C
【分析】本题考查了解一元二次方程；
用因式分解法求解即可．
【详解】解：移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
故选：C．
3．B
【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．
【详解】因为y＝﹣（x﹣8）2+2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（8，2）．
故选B．
【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
4．B
【分析】本题考查的是用频率估计概率，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况 数与总情况数之比，则抛10000次硬币，出现正面的次数是有可能是5000次，即出现正面的概率是，据此可得答案．
【详解】解：随着抛的次数的增大，频率在左右摆动，即概率在左右，则如果抛了10000次，则出现正面的概率是是有可能的．
故选B．
5．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
∴四个选项中只有B选项中的数不满足，
故选B．
6．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选D．
7．A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
8．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线，可得，据此可判断①②；根据二次函数与y轴交于正半轴，可判断③；根据当时，，可判断④；由函数图象可知二次函数与x轴两个不同的交点，可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①错误，②正确；
∵二次函数与y轴交于正半轴，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，故④正确；
由函数图象可知二次函数与x轴两个不同的交点，
∴，故⑤错误；
∴正确的有②③④，
故选C．
9．0．
【详解】试题解析：根据题意，一元二次方程ax2+bx+c="0" 有一个根为1，即x=1时，ax2+bx+c=0成立，
即a+b+c=0，
考点：一元二次方程的解．
10．
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．s=x+4x+4
【详解】解：新正方形的边长是x+2，则面积S=（x+2）2=x2+4x+4．
故答案为：s=x+4x+4
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左右平移横坐标相加减，上下平移纵坐标向加减”的平移规律求解即可．
【详解】解：次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，
所得到抛物线的解析式为，
即，
故答案为：．
13．9
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，先求出黑球的频率，再求出口袋中球的总数，用总数减去红球的个数，剩下的就是白球的个数．
【详解】300次中摸到红球的频率为=0.4，而这个口袋中有红球6个，则总球数为6÷0.4=15个，所以白球的个数为15-6=9，
故答案为9．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，主要掌握利用样本的频率来估计总体的数量．关键是得到球的总数；用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．
14．2.
【分析】利用弧长公式和圆的周长公式求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr＝，
r＝2cm.
故答案为2
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟练掌握弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.
15．2
【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出△ABC外接圆的半径即可解决问题．
【详解】如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，
设⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE⊥BC于E，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，OE⊥BC，∴∠BOE=60°，BE=EC=3，
∴sin60°=，∴OB=
考点：（1）三角形的外接圆与外心；（2）等边三角形的性质
16．
【分析】连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：连接交于点，如图，
以为直径的半圆与相切于点，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形和四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，求不规则图形面积，全等三角形的性质与判定等等，圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点，据此作出辅助线构造全等三角形求解即可．
17．x1=，x2=．
【分析】先算出△= b2﹣4ac，然后用求根公式计算即可．
【详解】∵a=2，b=-5，c=-1，∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33．
x=．
∴x1=，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法以及换元法等，解方程时，需要根据方程的特点选择解方程的方法．
18．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：

故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
19．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由旋转的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步求出，则由三角形内角和定理可得．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求扇形面积等等：
（1）根据所给的旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，根据线段所扫过图形的面积即为扇形的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点A绕原点O旋转到点的过程中，线段所扫过图形的面积．
21．(1)一共有18种等可能的情况
(2)
【分析】（1）根据题意画树状图；
（2）根据概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图得：
∴一共有18种等可能的情况；
（2）∵当时的有5种情况，
∴当时的概率为．
【点睛】本题考查了画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据弦可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，根据圆内接四边形对角互补，可得，结合可得，通过等量代换即可证明．
【详解】证明：如图，连接，

是的直径，弦，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
．
23．（1）证明见解析；（2）BC=2
【分析】(1)根据AB=AC得到∠B=∠C，根据OP=OB得出∠B=∠OPB，从而说明∠C=∠OPB，可以得出OP∥AC，根据PD⊥AC得出∠OPD=90°，即为切线；
(2)连接AP，根据直径得出∠APB=90°，根据∠BAC的度数求出∠C和∠B的度数，根据Rt△APB求出AP和BP的长度，然后得出BC的长度．
【详解】(1)证明：连接OP，
∵AB=AC
∴∠C=∠B
∵OP=OB
∴∠OPB=∠B
∴∠C=∠OPB
∴OP∥AC
∴∠OPD=∠PDC
∵PD⊥AC于点D
∴∠PDC=90°
∴∠OPD=90°，
即：OP⊥PD
∵OP为⊙O半径
∴PD是O切线
(2)连接AP.
∵AB为⊙O直径
∴∠APB=90°,即：AP⊥BC
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠C=∠B=30°,BP=PC=BC
∵在Rt△APB中，∠B=30°
∴AP=AB=1
∴BP=
∴BC=2BP=2
考点：(1)切线的判定；(2)勾股定理的应用．
24．(1)
(2)见解析
(3)不是，最大面积为36平方米．
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）先用含的式子表示出的长，利用，列出函数关系式，即可．
（2）令，求出的值，即可得出和的长度，根据解的情况判断旧墙的长度对牛棚长度的影响即可；
（3）求出二次函数的最值，进行判断即可．
正确的识图，列出函数关系式，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
（2）当时，，
解得：，
当时，，
当时，，
∴或，
旧墙的长度对牛棚的长度有影响，
当时，两种情况都满足；
当时，，
当时，两种情况都不满足；
（3）∵，
∴当时，有最大值为平方米；
故32平方米不是最大面积．
25．(1)；
(2)或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设出点坐标，利用三角形的面积公式列出方程进行求解即可．
正确的求出函数解析式，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线过原点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
由题意，得：，
∴，
当时，解得：或（舍去）；
∴；
当，解得：或（舍去）；
∴；
综上：，．