陕西省宝鸡市宝鸡中学2024-2025学年高二上学期阶段考试（一）（10月）数学试题

这是一份陕西省宝鸡市宝鸡中学2024-2025学年高二上学期阶段考试（一）（10月）数学试题，共8页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，若，则直线被圆所截得的弦长为，下列说法中正确的是，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。
本试卷共四大题，19小题；考试时长120分钟，卷面满分150分。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。涂写在本试卷上无效。
3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A.若m∥α，m∥β，则α∥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C.若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
2.已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（ ）
A.B.C.D.
3.过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（ ）
A.1条B.2条C.3条D.4条
4.已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹是（ ）
A.点B.直线C.线段D.圆
5.若，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A.B.1C.D.
6.在长方体ABCD—A1B1C1D1，，，，则点B到直线A1C的距离为（ ）
A.B.C.D.1
7.P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则∠F1PF2的大小为（ ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离等于（ ）
A.4B.C.8D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是（ ）
A.是直线与直线平行的充分不必要条件
B.是直线与直线垂直的充分不必要条件
C.经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是
D.若一条直线沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10.已知圆C1：，圆C2：交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A.B.
C.D.
11.一块正方体形木料如图所示，棱长为，点P在线段A1C1上，且，过点P将木料锯开，使得截面过BC，则（ ）
A.PC⊥BDB.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C.截面的面积为D.以A为球心，AB为半径的球面与截面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，与的夹角为120°，则λ=________.
13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是________.
14.已知直线l：与曲线C：有两个交点，则m的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）设A，B两点的坐标分别为，.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.
（1）求点M的轨迹方程.
（2）若P（0,1），在M的轨迹上任取一点Q（异于点P），求线段PQ长的最大值.
16.（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若a=2，则△ABC的面积为，求b，c.
17.（15分）从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率。
18.（17分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，CD⊥AD，，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD.
（1）求证：CD⊥PA；
（2）求平面APB与平面PBC夹角的余弦值：
（3）在棱PB上是否存在点M，使得DM⊥平面PAB？若存在，求的值：若不存在，说明理由
19.（17分）已知点Q为圆M：上的动点，点N（6,0），延长NQ至点S使得Q为NS的中点.
（1）求点S的轨迹方程.
（2）过圆M外点P向圆M引两条切线，且切点分别为A，B两点，求：最小值.
（3）若直线l：与圆M交于D，E两点，且直线OD，OE的斜率分别为k1，k2，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
宝鸡中学2023级高二第一学期阶段考试（一）
数学参考答案
一、单选题：1.C 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C
二、多选题：9.BD 10.ABC 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.解：（1）设点，因为，所以直线AM的斜率，同理，直线BM的斜率.
由已知，有
化简，得点M的轨迹方程为.
点M的轨迹是除去，两点的椭圆.
（2）设Q（x0,y0），则，
所以，
所以，
因为，
所以时，|PQ|2最大为，
所以线段PQ长的最大值为.
16.解：（1）根据正弦定理，条件即为，
也即，
所以，
整理得，即，所以A-30°=30°，即A=60°.
（2）由A=60°，，得.由余弦定理，得
，所以.
又，所以.
17.解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组表示样本点.
（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间
.
不放回简单随机抽样的样本空间
.
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
.
（2）设事件A=“抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.
对于不放回简单随机抽样，.
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.
18.解 （1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，可得CD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA.
（2）取AD中点O，连接OP，OB，
因为PA=PD，则PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
可得PO⊥平面ABCD，
由OA，OB⊂平面ABCD，可得PO⊥OA，PO⊥OB，
因为CD⊥AD，BC∥AD，AD=2BC，则BC∥OD，BC=OD，
可知四边形OBCD是平行四边形，则OB⊥AD，
如图，以O为坐标原点，OA，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，
则，，，，，
可得，，，
设平面APB的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面PBC的法向量为，则，
令，则，，可得；
则，
所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.
（3）设，，
且，则，
若DM⊥平面PAB，则，可得，方程无解，
所以不存在点M，使得DM⊥平面PAB.
19.解：（1）设，动点，
由中点的坐标公式解得，，
由，得，
∴点S的轨迹方程是.
（2）设.则，
，，
所以：
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为.
（3）联立方程组得，
设，，则
∴，
故的值为定值，且定值为.