高一预习-5.5 三角恒等变换（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

这是一份高一预习-5.5 三角恒等变换（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共32页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。

知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2) cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3) tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．
知识点二 二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcs α；
②cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
(2)公式变形：
由cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
知识点三 辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ). （其中）
＝eq \r(a2＋b2)cs(x—φ). （其中）
【基础自测】
1．若tan α＝eq \f(1,2)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C. eq \f(4,5) D. eq \f(3,5)
【答案】D
【详解】∵tan α＝eq \f(1,2)，
∴cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－\f(1,4),1＋\f(1,4))＝eq \f(3,5).
2．若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )
A. eq \f(\r(2),2) B. eq \f(1,2) C. eq \f(56,65) D. eq \f(36,65)
【答案】C
【详解】因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以α＋β∈(0，π)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).
又因为cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(4,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(12,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).
故选C.
3．tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ .
【答案】eq \r(3)
【详解】∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
4．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
【答案】eq \f(1,6)
【详解】方法一 cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))))＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6).
方法二 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs α－eq \f(\r(2),2)sin α，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)(cs α－sin α)2 ＝eq \f(1,2)(1－2sin αcs α)＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6).
5．已知α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，则cs 2α＝ ，2α－β＝ .
【答案】eq \f(1,7) eq \f(π,3)
【详解】因为cs α＝eq \f(2\r(7),7)，所以cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7).
又因为α，β均为锐角，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，
所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14)，
因此sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cs 2α>0，所以0<2α又β为锐角，所以－eq \f(π,2)<2α－β又sin(2α－β)＝eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq \f(π,3).
【例题详解】
一、三角函数式的化简
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A. eq \f(\r(5),3) B. eq \f(2,3) C. eq \f(1,3) D. eq \f(\r(5),9)
【答案】A
【详解】由3cs 2α－8cs α＝5，
得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
(2)2eq \r(1＋sin 4)＋eq \r(2＋2cs 4)等于( )
A．2cs 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cs 2 D．2sin 2＋4cs 2
【答案】B
【详解】2eq \r(1＋sin 4)＋eq \r(2＋2cs 4)
＝2eq \r(sin22＋2sin 2cs 2＋cs22)＋eq \r(2＋22cs22－1)
＝2eq \r(sin 2＋cs 22)＋eq \r(4cs22)
＝2|sin 2＋cs 2|＋2|cs 2|.
∵eq \f(π,2)<2<π，
∴cs 2<0，
∵sin 2＋cs 2＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(π,4)))，0<2＋eq \f(π,4)<π，
∴sin 2＋cs 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cs 2)－2cs 2＝2sin 2.
跟踪训练1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α等于( )
eq \f(1,5) B. eq \f(\r(5),5) C. eq \f(\r(3),3) D .eq \f(2\r(5),5)
【答案】B
【详解】由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \r(1－sin2α)，所以2sin αeq \r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sin α＝eq \f(\r(5),5)，故选B.
(2)化简下列各式：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③．
【答案】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②2； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
【分析】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①由题意结合两角差的正弦公式化简即可得解；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②由题意结合同角三角函数商数关系可得原式，再利用两角和的正弦公式即可得解；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③由题意结合两角差的正弦公式可得原式，再利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①原式
；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②原式
；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③原式
．
【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，关键是对原式进行合理变形，属于中档题.
二、三角函数的求值
命题点1 给角求值
例2 (1)eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))的值为( )
A．1 B. eq \r(3) C. eq \r(2) D．2
【答案】C
【详解】原式＝eq \f(cs220°－sin220°,cs 25°cs 20°－sin 20°)＝eq \f(cs 20°＋sin 20°,cs 25°)＝eq \f(\r(2)cs 25°,cs 25°)＝eq \r(2).
(2)的值为（ ）
A． B． C．－D．－
【答案】B
【分析】先把的分子分母都除以，转化成正切函数，再逆用两角和的正切公式即可.
【详解】解：原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝
故选：B.
【点睛】考查利用三角函数的恒等变换求值，基础题.
跟踪训练2 计算：(1)sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；
(2)sin(54°－x)cs(36°＋x)＋cs(54°－x)sin(36°＋x)．
【详解】(1)原式＝sin 14°cs 16°＋sin(90°－14°)cs(90°－16°)
＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
(3)sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
【答案】B
【详解】原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))
＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
命题点2 给值求值
例3 (1)已知，均为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】先根据已知求出和，再把拆成，利用两角差的余弦公式求值.
【详解】∵，为锐角，∴，
∴，，
∵，∴
又∵，∴（舍去）
∴
故选：C
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如等．
(2)已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以
故选：C
跟踪训练3 (1)已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得；
【详解】解：∵，
∴，
∵，∴，
则，
∴，
故选：B.
(2)若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将给定等式化成正切并求出正切值，再用二倍角正切公式计算即得.
【详解】依题意，，解得，
所以.
故选：D
命题点3 给值求角
例4 (1)已知都是锐角，则（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【答案】B
【分析】根据条件求出，然后确定出的范围，进而求得的值．
【详解】∵，都是锐角，
∴sin，
∴．
又都是锐角，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】解答给值求解问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．
(2)已知且，则=（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
跟踪训练4 (1)若，，且，，则的值是（ ）
A． B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用
求解的值.
【详解】∵，∴.
∵，∴，
∴，.
∵，∴，
∴，
∴
.
又∵，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.
(2)若为锐角，，则角__________.
【答案】
【分析】结合两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得，进而求得.
【详解】由于为锐角，所以，
所以，
所以
，
所以.
故答案为：
三、三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
【详解】(1)因为f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x
＝cs 2xsin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(1,2)(sin 4x＋cs 4x)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
所以函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2).
令2kπ＋eq \f(π,2)≤4x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,16)≤x≤eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,16)，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16)))，k∈Z.
(2)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝1.
又α∈(0，π)，
所以－eq \f(π,4)<α－eq \f(π,4)所以α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
故α＝eq \f(3π,4)，
因此taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(tan \f(3π,4)＋tan \f(π,3),1－tan \f(3π,4)tan \f(π,3))＝eq \f(－1＋\r(3),1＋\r(3))＝2－eq \r(3).
跟踪训练5 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，由此求得的最小正周期.
（2）根据求得的值，由二倍角公式求得的值.
【详解】（1）
，
∴.
（2）∵，，，
∴.
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期的求法，属于中档题.
【课堂巩固】
1．若均为第二象限角，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用同角三角函数的基本关系求得csα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cs（α+β）的值．
【详解】解：∵sinα，csβ，α、β均为第二象限角，∴csα，
sinβ，
∴cs（α+β）＝csαcsβ-sinαsinβ•（），故答案为B
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题可以先通过题意计算出以及的值，
再通过解得的值．
【详解】因为，
所以

故选B．
【点睛】在计算三角函数的时候，对于公式的灵活运用十分重要，比如说即可化简成的值．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
4．已知，与是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】先求出+和的值,确定 、的符号，进而可以缩小α、β 的围，再根据两角和的正切公式求出的值求出答案.
【详解】∵ 与是方程的两个根，
∴+，
∴，，∴，∴，
∵，又
∴.
故选: C
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如等．
5．若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
6．计算：___________.
【答案】
【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故答案为：
7．化简=_________
【答案】- 4
【分析】先通分式子，我们会发现分之可以利用正弦两角和公式的逆向运用，（或辅助角公式），分母可以利用正弦而二倍角公式，从而得到化简后的结果
【详解】==-4，
故答案为-4.
【点睛】学生应熟练掌握正弦两角和公式的逆向运用，或辅助角公式，同时了解互补角正弦值的关系．
8．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.
【答案】
【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可．
【详解】，
所以
【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等．
9．若，，则___________.
【答案】-1
【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简可得到或，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，即或,
当时，
因为，所以，
所以，所以，所以，
所以.
当时，即，
所以，
所以，则.
因为，所以，所以，
故不符合题意，应舍去，
综合以上，
故答案为：-1
10．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1)20，（2）
【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cs和tan的值，进而利用二倍角公式把sin2展开，把sin和cs的值代入即可．
（2）先利用诱导公式使=tan（﹣），再利用正切的两角和公式展开后，把tanα的值代入即可求得答案．
【详解】(1)由，得，所以
＝
（2）∵，∴
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值的问题．要求学生能灵活运用三角函数的基本公式．
11．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
12．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
13．已知函数f(x)＝eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
(1)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))的值．
【详解】(1)由题意得f(x)＝eq \f(\r(2),4)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝－eq \f(\r(2),2)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7π,12))).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,2)))，所以x－eq \f(7π,12)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(11π,12)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7π,12)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，
所以－eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7π,12)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(6),4)))，
即函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最大值为eq \f(\r(6),4)，最小值为－eq \f(\r(2),2).
(2)因为cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以sin θ＝－eq \f(3,5)，所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)，
所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(16,25)－eq \f(9,25)＝eq \f(7,25)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)－\f(7π,12)))
＝－eq \f(\r(2),2)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))＝－eq \f(1,2)(sin 2θ－cs 2θ)
＝eq \f(1,2)(cs 2θ－sin 2θ)＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,25)＋\f(24,25)))＝eq \f(31,50).
【课时作业】
1．若，是第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用弦化切以及二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】，是第三象限角，，
因此，，
故选：A.
【点睛】方法点睛：三角函数的化简求值的规律总结：
（1）给角求值：一般给出的角是非特殊角，需观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为特殊角的三角函数问题；
（2）给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；
（3）给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的取值范围）.
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可求得，进而结合二倍角公式可求得，根据角的范围可进一步求得，，由，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【详解】，，又，
，，
，解得：，
，
，，
，，
.
故选：B.
3．若，，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.
【详解】因为，，所以且，
解得，所以.
故选：D
4．已知，，是锐角，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得cs和cs（α﹣β），进而根据利用两角和公式求得答案．
【详解】因为是锐角，，所以
cs，cs（α﹣β）.
∴
∵β为锐角
∴β
故选C．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式．属基础题．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
即，
所以，
所以或，
所以或，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，
所以.
故选：C.
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，利用二倍角公式求出.
【详解】由，可得
又
故选：C.
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件选择合适的公式进行计算．
7．已知函数满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简函数的解析式，由题意可知，的最小值为，可求得的值，进而可计算出的值.
【详解】，则，，
且，
设函数的最小正周期为，则，，可得，
，因此，.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求三角函数周期的方法：
（1）定义法：利用周期函数的定义求解；
（2）公式法：对形如或（、、为常数，，）的函数，周期；
（3）图象法：通过观察函数的图象求其周期.
8．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用辅助角公式将函数的解析式化简为，根据题意得出，可得出关于的表达式，即可求出正数的最小值.
【详解】，
由于该函数的图象关于直线对称，则，
得，
，当时，取得最小值.
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.
9．（多选）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称D．在上单调递增
【答案】BC
【分析】化简得出，即可根据正弦函数的性质分别判断.
【详解】，
则的最大值为，故A错误；
，则的图像关于直线对称，故B正确；
，则的图像关于点对称，故C正确；
当时，，则可得时，函数单调递增；当时，函数单调递减，故D错误.
故选：BC.
10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为B．函数图象的一条对称轴为直线
C．函数在上单调递增D．函数的最小值为
【答案】ABD
【分析】对函数进行化简，转化为正弦型函数，进而利用性质判断出结果即可.
【详解】解：函数
.
所以函数的周期为，故A选项正确；
当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；
当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；
由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.
故选：ABD.
11．已知，则的值为______．
【答案】
【解析】由诱导公式可得，，
且，代入可得到答案.
【详解】因为，，
所以，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
12．已知，且，则___________.
【答案】
【分析】先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出
【详解】解：因为，，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，
故答案为：
13．__________.
【答案】1
【详解】，
.
故答案为1
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
14．已知函数，对，成立，则_______.
【答案】1
【解析】利用辅助角公式和为的形式：，根据已知可得是f(x)的图象的对称轴，进而求得，利用的关系和诱导公式求得的值.
【详解】解：，
其中.
∵对，成立，
∴是f(x)的图象的对称轴，即,
∴，
，
故答案为：1.
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解的关系是基础，由对，成立，得出是f(x)的图象的对称轴是关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得csα＝，csβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝
16．已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换化简，再整体代入求单调递增区间；
（2）由已知得，求出的值，再利用倍角公式求的值；
【详解】（1）
当，函数单调递增，
所以的单调递增区间．
（2）由已知得，所以，
而
．
【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角.
17．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得解析式，从而利用周期公式求周期；（2）利用整体代换即可求单调增区间；（3）由得，从而可得的取值范围.
【详解】（1）
所以．
（2）由，得 ，
所以函数的单调递增区间是.
（3）由得，所以，
所以．
【点睛】本题考查三角函数的性质，考查利用整体的思想结合图象解决给定范围下的三角函数的范围，属基础题.
18．已知函数．
（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，，最大值为，最小值为；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令可求单调递增区间，易得最大值和最小值；
（Ⅱ）题目等价于，与有且仅有2个不同的交点，根据函数单调性即可得出.
【详解】（Ⅰ）
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
易得的最大值为，最小值为；
（Ⅱ）函数在有且仅有两个零点，
函数，与有且仅有2个不同的交点，
由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减，
又，所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质求解.