四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高三上学期数学周练四试题（Word版附答案）

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这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高三上学期数学周练四试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了已知a＝lg0等内容，欢迎下载使用。

第一题：单项选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1.已知非零实数a，b满足aA．ln aeq \f(1,b) C．a22.在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知x>1，则eq \f(x2＋3,x－1) 的最小值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a<2} B．{a|－15.已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则不等式f(x＋1)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2，－1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)
6.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D．[1,2]
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤x<2时，f(x)＝x－2.若y＝eq \f(1,6)x－eq \f(1,3)与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi＋yi)＝( )
A.6 B.8 C.10 D.14
8.已知a＝lg0.12，b＝lg5eq \r(2)，则( )
A.ab＜0＜a＋b B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.a＋b＜ab＜0
第二题：多项选择（本题共三个小题，每小题6分，共18分）
9.函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a＞1B.0＜c＜1
C.0＜a＜1D.c＞1
10.已知函数f(x)＝x|x－a|－2有三个不同的零点，则实数a的取值可以为( )
A.0 B.2eq \r(2) C.3 D.4
11.已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)，对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，则( )
A.f(8)＝12f(2) B.函数f(x)是奇函数
C.对∀n∈N*，有f(xn)＝nf(x) D.若f(2)＝2，则eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))f(2k)＝(n＋1)2n－2
第三题：填空题（本题共三个小题，每小题5分，共15分）
12.计算：＋πlg 1＋＝________.
13.若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a=________.
14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.
第四题：解答题（本题共5个题，其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin ωx·cs ωx＋2cs2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值.
16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）)若，，求的周长．
17.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本.为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：eq \(x,\s\up6(－))＝6.8，eq \(y,\s\up6(－))＝70，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))eq \f(1,xi)＝3，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))eq \f(1,xeq \\al(2,i))＝1.6，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))eq \f(yi,xi)＝350.
(1)根据散点图可知，可用函数模型y＝eq \f(β,x)＋α拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m＝－eq \f(y2,500)＋eq \f(2y,25)＋eq \f(200,y－10)＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
(注：年利润＝年销售额－年投入成本)
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))uivi－n\(u,\s\up6(－)) \(v,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))ueq \\al(2,i)－n\(u,\s\up6(－))2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－)).
18.设数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(1,2)≤eq \f(an＋1,an)≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”.
(1)若an＝eq \f(n2＋2n,4n)，判断{an}是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列{an}前n项和为Sn＝eq \f(1,4)(n2＋3n)，判断{an}是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列.若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围.
19.已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.
（1）求的值及函数的极值；
（2）证明：当时，；
（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.
2022级数学周练四参考答案
单项选择题：1-4:DAAB 5-8:CCDD
多项选择题：9:BC 10:CD 11:AB
填空题：12: 13: 0 14:
解答题：15.(1)由题意知f(x)＝eq \r(3)sin 2ωx＋1＋cs 2ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6)))＋1，
因为周期T＝eq \f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
(2)因为g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，
所以当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，
即x＝eq \f(π,3)时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
16.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
17. 解 (1)令u＝eq \f(1,x)，则y关于u的线性回归方程为y＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))u，
依题意，得
eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))uiyi－10\(u,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))ueq \\al(2,i)－10\(u,\s\up6(－))2)＝eq \f(350－210,1.6－0.9)＝200，
eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－))＝70－200×0.3＝10，
则y＝10＋200u，
所以y关于x的回归方程为y＝10＋eq \f(200,x).
(2)由y＝10＋eq \f(200,x)，得x＝eq \f(200,y－10)，
年利润M＝m－x－10
＝－eq \f(y2,500)＋eq \f(2y,25)＋eq \f(200,y－10)＋100－eq \f(200,y－10)－10
＝－eq \f(1,500)(y－20)2＋90.8
当y＝20时，年利润M取得最大值，
此时，x＝eq \f(200,y－10)＝eq \f(200,20－10)＝20，
所以当年技术创新投入20千万元时，年利润的预报值最大.
18. 解 (1)a1＝eq \f(3,4)，a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(15,64)，∴eq \f(a3,a2)＝eq \f(15,32)所以{an}不是“紧密数列”.
(2)数列{an}为“紧密数列”，理由如下：
数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(1,4)(n2＋3n)，
当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(1,4)×(1＋3)＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,4)(n2＋3n)－eq \f(1,4)[(n－1)2＋3(n－1)]＝eq \f(1,2)n＋eq \f(1,2)，
又a1＝1满足an＝eq \f(1,2)n＋eq \f(1,2)，
因此an＝eq \f(1,2)n＋eq \f(1,2)(n∈N*)，
所以对任意n∈N*，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\f(1,2)（n＋1）＋\f(1,2),\f(1,2)n＋\f(1,2))＝eq \f(n＋2,n＋1)＝1＋eq \f(1,n＋1)，
所以eq \f(1,2)因此数列{an}为“紧密数列”.
(3)因为数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，
当q＝1时，有an＝a1，Sn＝na1，
所以eq \f(1,2)≤eq \f(an＋1,an)＝1≤2，eq \f(1,2)≤eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(n＋1,n)＝1＋eq \f(1,n)≤2，满足题意；
当q≠1时，an＝a1qn－1，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)，
因为{an}为“紧密数列”，
所以eq \f(1,2)≤eq \f(an＋1,an)＝q≤2，
即eq \f(1,2)≤q<1或1当eq \f(1,2)≤q<1时，eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(1－qn＋1,1－qn)>eq \f(1－qn,1－qn)＝1，
eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(1－qn＋1,1－qn)所以eq \f(1,2)≤eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(1－qn＋1,1－qn)≤2，满足{Sn}为“紧密数列”；
当12，不满足{Sn}为“紧密”数列；
综上，实数q的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
19.