天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试卷

这是一份天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（114分）和第Ⅱ卷提高题（33分）两部分，卷面分3分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共114分）
一、选择题: 每小题5分，共35分.
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ c）
A．B．C．D．
2．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ B ）
A．B．C．D．
3．直线和直线，则“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（ A ）
A．B．
C．D．
5．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ D ）
A．B．
C．D．
6．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ C）
A．B．
C． D．
7.已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ B ）
A．B．
C．D．
二、填空题：每小题5分，共25分.
8．，与直线平行，则直线与的距离为 QUOTE
9．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 3 .
10．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 .
11．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为 QUOTE .
12．已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为 （-3，-4） ．
三、解答题：(本大题共4小题，共54分)
13．(12分）据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；
（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（3）总结直线方程的五种常用形式.
………………12分
解：（1）因为，
所以线段的中点为，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
故线段的垂直平分线的方程为，即.…………4分
（2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为，
故所求直线方程为，即；
②当直线不过原点时，
由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为，
所求直线方程为：，即，
由①②知所求直线方程为或.…………………………8分
14．（14分）已知直线经过点.
(1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程；
(2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程.
解：（1）因为直线经过点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线到原点的距离为1，所以，解得，此时，直线为
所以直线的方程为或.…………………………7分
（2）由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为，
令，得到，令，得到，
由题知，，得到，
，
当且仅当，即时取等号，此时直线方程为.
…………………………14分
15．（14分）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形．
(1)求异面直线AC与DE所成角的余弦值;
(2)求点到平面的距离．
解;（1）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0),C(0,2,0),E(0,2,2)，AC=(-1,2,0),DE=(0,2,2)，
>= QUOTE 23015 23015,因此，异面直线所成的角的余弦值为23015 …………………7分
(2)设平面的法向量，则，令，得，
因为，则，而平面的法向量，
所以点到平面的距离.…………………………14分
16．（14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.
(1)证明：平面平面.
(2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值。
解：（【详解】（1）取的中点，连接，.

因为，，所以为等边三角形.
因为为的中点，所以，.
因为是边长为2的等边三角形，所以，
则，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面.…………………………7分
（2）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，
所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，.
设为平面的法向量，
则取，得.
易知是平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.…………………………14分
第Ⅱ卷 提高题（共33分）
17．（14分）已知的顶点A1,2,AB边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
解：（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.……………………10分

（2）由（1）得，点到直线的距离，
所以的面积.…………………………14分
18．（19分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)求证：平面.
(2)，求直线与平面所成角的正弦值..
(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）∵平面平面，且平面平面，
且，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，且，平面，
∴平面；…………………………6分
（2）取中点为，连接，
又∵，∴．则，
∵，∴，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，
则；…………………………12分
（3）假设在棱上存在点点，使得平面.
设，，
由（2）知，，，，则，，
，
由（2）知平面的一个法向量．
若平面，则，
解得，又平面，
故在棱上存在点点，使得平面，此时.…………………19分
知 识 与 技 能
学习能力（学法）
内容
空间向量与立体几何
直线的方程
计算能力
易混易错
分数
71
55
16
5
名称
方程
已知
说明
点斜式
点、斜率
斜截式
y=kx+b
两点式
两点（x1，y1），（x2，y2）
截距式
不过原点，不与坐标轴平行
一般式
Ax+By+C=0