2025届山东省济南商河县联考数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届山东省济南商河县联考数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一组数据：2，3，4，x中若中位数与平均数相等，则数x不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．5
2、（4分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．，且C．，且D．
3、（4分）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）D．（－3，2）
4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为( )
A．(4，2)B．(3，3)C．(4，3)D．(3，2)
5、（4分）用配方法解方程，方程可变形为（ ）
A．x  12 4B．x  12  4C．x  12  2D．x  12 2
6、（4分）如图，已知平行四边形中，则( )
A．B．C．D．
7、（4分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥ 1 B．x≤ 1 C．x≠ 1 D．x＞ 1
8、（4分）如图，中，于点，点为的中点，连接，则的周长是（ ）
A．4+2B．7+C．12D．10
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
10、（4分）如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______.
11、（4分）对于一次函数，若，那么对应的函数值y1与y2的大小关系是________．
12、（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ▲ ．
13、（4分）若式子在实数范围内有意义，则应满足的条件是_____________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
15、（8分）已知,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,且AE=CF,连接AC，EF.
(1)如图①,求证：EF//AC；
(2)如图②,EF与边CD交于点G,连接BG,BE,
①求证:△BAE≌△BCG;
②若BE=EG=4,求△BAE的面积.
16、（8分）有一块薄铁皮ABCD，∠B=90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？
17、（10分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.
（1）求证：.
（2）求证：四边形是菱形.
18、（10分）计算：﹣（π﹣2019）0+2﹣1．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是 ．
20、（4分）距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.
21、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是________ ．

22、（4分）在实数范围内分解因式：3x2﹣6＝_____．
23、（4分）已知方程ax2+7x﹣2＝0的一个根是﹣2，则a的值是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→D→A运动，动点G从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B运动，当有一个点到达终点时，另一点随之也停止运动．过点G作FG⊥AB交AC于点F.设运动时间为t(单位：秒)．以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH，△FGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)当t＝1.5时，S＝________；当t＝3时，S＝________.
(2)设DE＝y1，AG＝y2，在如图所示的网格坐标系中，画出y1与y2关于t的函数图象．并求当t为何值时，四边形DEGF是平行四边形？
25、（10分）下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又原路返回，顺路到文具店去买笔，然后散步回家.其中x表示时间，y表示张强离家的距离.根据图象回答：
（1）体育场离张强家的多远？张强从家到体育场用了多长时间？
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店逗留了多久？
（4）计算张强从文具店回家的平均速度.
26、（12分）如图，点分别是对角线上两点，.求证：.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置．
【详解】
（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，x，4，
处于中间位置的数是3，x，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（3+x）÷2，
平均数为（2+3+4+x）÷4，
∴（3+x）÷2=（2+3+4+x）÷4，
解得x=3，大小位置与3对调，不影响结果，符合题意；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，
中位数是（3+4）÷2=3.1，
此时平均数是（2+3+4+x）÷4=3.1，
解得x=1，符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，
中位数是（2+3）÷2=2.1，
平均数（2+3+4+x）÷4=2.1，
解得x=1，符合排列顺序．
∴x的值为1、3或1．
故选B．
本题考查的知识点是结合平均数确定一组数据的中位数，解题关键是要明确中位数的值与大小排列顺序有关.
2、C
【解析】
根据根的判别式即可求解的取值范围．
【详解】
一元二次方程，
，．
有个实根，
．
且．
故选C．
本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键．
3、B
【解析】
试题分析：根据点P在第四象限，所以P点的横坐标在x轴的正半轴上，纵坐标在y轴的负半轴上，由P点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，即可推出P点的横、纵坐标，从而得出（2，-3）．
故选B．
考点：平面直角坐标系
4、A
【解析】
作AM⊥x轴，根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=OA=1，即可求出AM的长，进而可得A点坐标，即可得出直线OA的解析式，把x=3代入可得A′点的坐标，由一对对应点A与A′的移动规律即可求出点B′的坐标.
【详解】
如图，作AM⊥x轴于点M，
∵等边△OAB的顶点B坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=OA=1，AM=OM=，
∴A（1，），
∴直线OA的解析式为：y=x，
∴当x=3时，y=3,
∴A′（3，3），
∴将A点向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到A′点，
∴将B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得到B′点，
∴点B′的坐标为（4，2），
故选A
本题考查坐标与图形变化—平移及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到平移规律是解题关键.
5、B
【解析】
将的常数项变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上，方程左边利用完全平方公式变形后，即可得到结果.
【详解】
，
移项得：，
两边加上得：，
变形得：，
则原方程利用配方法变形为.
故选.
此题考查了利用配方法解一元二次方程，利用此方法的步骤为：1、将二次项系数化为“”；2、将常数项移项到方程右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边利用完全平方公式变形，方程右边为非负常数；4、开方转化为两个一元一次方程来求解.
6、B
【解析】
由平行四边形的邻角互补得到的度数，由平行四边形的对角相等求．
【详解】
解：因为：平行四边形，所以：，，
又因为：所以：，解得：，所以：．
故选B．
本题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的角的性质是解题关键．
7、A
【解析】
试题分析：当x+1≥0时，函数有意义，所以x≥ 1，故选：A.
考点：函数自变量的取值范围.
8、D
【解析】
根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE，再利用直角三角形斜边中线定理求出DE即可．
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，
∴BE=CE=BC=4，
又∵D是AB中点，
∴BD=AB=3，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC=3，
∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+3+4=1．
故选：D．
本题主要考查了直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质：是三线合一，是中学阶段的常规题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1或1．
【解析】
试题分析：分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，
①当30度角是等腰三角形的顶角时，如图1中，
当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=AB=a，
∴•a•a=5，
∴a2=1，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为1．
②当30度角是底角时，如图2中，
当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=11°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=a，
∴•a•a=5，
∴a2=1，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为1．
考点：正方形的性质；等腰三角形的性质．
10、x＞-1．
【解析】
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】
观察图象知：当x＞-1时，kx+b＞4，
故答案为x＞-1．
考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11、
【解析】
先根据一次函数判断出函数图象的增减性，再根据x1＜x1进行判断即可．
【详解】
∵直线，k=-＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x1＜x1，
∴y1＞y1．
故答案为＞.
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
12、．
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0列出不等式求解.
【详解】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，得.
本题考查二次根式有意义的条件，牢记被开方数必须是非负数.
13、
【解析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
解：二次根式在实数范围内有意义，则x-1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、5
【解析】
原式
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
15、（1）见解析；（1）①见解析；②△BAE的面积为1.
【解析】
（1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题；
（1）①根据SAS可以证明两三角形全等；
②先根据等腰直角△DEG计算DE的长，设AE=a，表示正方形的边长，根据勾股定理列式，可得+a=4，最后根据三角形面积公式，整体代入可得结论．
【详解】
（1）证明：∵正方形ABCD
∴AE//CF，
∵AE=CF
∴AEFC是平行四边形
∴EF//AC.
（1）①如图，
∵四边形ABCD是正方形，且EF∥AC，
∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；
∵AD∥BF，
∴∠CFG=∠DEG=45°，
∵∠CGF=∠DGE=45°，
∴∠CGF=∠CFG，
∴CG=CF；
∵AE=CF，
∴AE=CG；
在△ABE与△CBG中，
∵AE=CG，∠BAE=∠BCG，AB=BC
∴△ABE≌CBG（SAS）；
②由①知△DEG是等腰直角三角形，
∵EG=4，
∴DE=，
设AE=a，则AB=AD=a+，
Rt△ABE中，由勾股定理得：AB1+AE1=BE1，
∴(a+)1+a1=41，
∴a1+a=4，
∴S△ABE=AB•AE=a(a+)= (a1+a)=×4=1．
本题是四边形的综合题，本题难度适中，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用问题；解题的关键是熟练掌握正方形的性质，结合等腰直角三角形的性质来解决问题；并利用未知数结合整体代入解决问题．
16、是，理由见解析．
【解析】
先在△ABC中，由∠B=90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2=8，那么AD2+AC2=9=DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形．
【详解】
都是直角三角形．理由如下：
连结AC．
在△ABC中，∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形；
∴AC2=AB2+BC2=8，
又∵AD2+AC2=1+8=9，而DC2=9，
∴AC2+AD2=DC2，
∴△ACD也为直角三角形．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．勾股定理．
17、（1）见解析；（2） 见解析
【解析】
（1）根据已知条件易证，利用全等三角形的性质即可证得结论；（2）根据（1）的结论，结合已知条件证得，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证得四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得，由一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形是菱形.
【详解】
（1）证明：如图，，
，
是直角三角形，是边上的中线，是的中点，
，，
在和中，
，
；
．
（2）由（1）知，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形.
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
18、
【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：原式．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
试题分析：延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．
解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，
又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，
∴EG+GF=（AD+BC），
∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，
∴EG+GF=6，FE=3，
∴△EFG的周长是6+3=1．
故答案为：1．
点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
20、7
【解析】试题分析：将=10和g=10代入可得：S=-5+10t，则最大值为： =5，则离地面的距离为：5+2=7m.
考点：二次函数的最值.
21、
【解析】
根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】
解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP×BC=AB×AC，
∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10，
∵AB=6，AC=8，
∴10AP=6×8，
∴AP=
∴AM=，
故答案为：．
考点：(1)、矩形的性质的运用；(2)、勾股定理的运用；(3)、三角形的面积公式
22、3（x+）（x﹣）
【解析】
先提取公因式3，然后把2写成2，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】
3x2-6，
=3（x2-2），
=3（x2-2），
=3（x+）（x-）．
故答案为：3（x+）（x-）．
本题考查了实数范围内分解因式，注意把2写成2的形式继续进行因式分解．
23、1
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入已知方程，通过一元一次方程来求a的值．
【详解】
解：根据题意知，x＝﹣2满足方程ax2+7x﹣2＝0，则1a﹣11﹣2＝0，即1a﹣16＝0，
解得，a＝1．
故答案是：1．
考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；；（2）当t＝或t＝4时，四边形DEGF是平行四边形．
【解析】
（1）当t＝1.5时，如图①，重叠部分的面积是△FGH的面积，求出即可；当t＝3时，如图②，重叠部分的面积是四边形FGBK的面积，也就是△FGH的面积减去△KBH的面积，求出即可；
（2）进行分类讨论，列出方程即可求出t的值.
【详解】
解：当t＝1.5时，如图①，重叠部分的面积是△FGH的面积，所以S＝；
当t＝3时，如图②，重叠部分的面积是四边形FGBK的面积，也就是△FGH的面积减去△KBH的面积，所以S＝×3×3－×2×2＝.
(2)由题意可以求得
y1＝ ；y2＝t(0≤t≤4)．<
所以y1与y2关于t的函数图象如图③所示．
因为运动过程中，DE∥FG，所以当DE＝FG时，四边形DEGF是平行四边形．
∵FG＝AG，
∴DE＝AG，
∴y1＝y2.由图象可知，有两个t值满足条件：
①当0≤t≤2时，由4－2t＝t，解得t＝；
②当2所以当t＝或t＝4时，四边形DEGF是平行四边形．
25、（1）体育场离张强家2.5km，张强从家到体育场用了15min；（2）体育场离文具店1km；(3) 张强在文具店逗留了20min；（4）张强从文具店回家的平均速度为km/min
【解析】
（1）根据张强锻炼时时间增加，路程没有增加，表现在函数图象上就出现第一次与x轴平行的图象；
（2）由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米，文具店离张强家1.5千米，得出体育场离文具店距离即可；
（3）张强在文具店逗留，第二次出现时间增加，路程没有增加，时间为：65-1．
（4）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案．
【详解】
解：（1）从图象上看，体育场离张强家2.5km，张强从家到体育场用了15min.
（2）2.5-1.5=1（km），
所以体育场离文具店1km.
（3）65-1=20（min），
所以张强在文具店逗留了20min.
（4）1.5÷(100-65)= （km/min），
张强从文具店回家的平均速度为km/min.
此题主要考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答此题的关键，需注意理解时间增多，路程没有变化的函数图象是与x轴平行的一条线段．
26、见解析
【解析】
用SAS证明△BAF≌△DCE即可说明∠DEC=∠BFA．
【详解】
证明：：∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
又,
∴≌,
∴.
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解决这类问题一般是四边形转化为三角形处理．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分