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山东省济南市商河县四校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案)
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这是一份山东省济南市商河县四校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市商河县四校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．方程x2﹣6x＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
4．若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
5．方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
6．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
7．一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
9．如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
10．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ ．
12．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 ．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且OB＝3OD，OA＝3OC，量得CD＝120米，则AB＝ 米．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为 ．
16．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．如图，线段AB，CD相交于点E，且AD∥CB．求证：＝．
18．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
20．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，AE是BC边上的中线．
（1）求证：AE⊥BC
（2）过点A作AD∥BC，且AD＝BE，连接CD．求证：四边形AECD是矩形．
21．2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．
22．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽查的居民人数是 人，将条形统计图补充完整．
（2）图中∠α的度数是 度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有 人．
（3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
23．为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米．
（1）该小组同学是利用 投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
（2）求这棵树的高度AB．
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
25．（1）如图1，△ABC，△EDC都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明；
（2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系；
②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB：AD＝DE：DG＝：1，则AG：BF＝ ．
26．四边形ABCD为矩形，G为BC上任意一点，DE⊥AG于点E．
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，BF⊥AG于F，求证：AF﹣BF＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，AG＝，BG＝1，求EG的长；
（3）如图3，连接EC，若CG＝CD，DE＝2，GE＝1，请直接写出AD，CE的长度．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．方程x2﹣6x＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0
【分析】利用因式分解法解方程．
解：x（x﹣6）＝0，
x＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝0，x2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确；
B、菱形的对角线和边不一定相等，故B选项错误；
C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确；
D、菱形的对角线互相平分，OA＝OC，故D选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．
4．若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
5．方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝5＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，C都可判定△ABC∽△ADE
选项D中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
7．一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概率．
解：树状图如下：
∴P（小刚两次所记的数字相同）＝＝．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，解决此题的关键是清楚概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
【分析】根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可．
解：A、当AC＝BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
C、矩形ABCD的对边AD＝BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定．需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．
9．如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形，再根据种植面积为650平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形．
依题意得：（30﹣2x）（25﹣x）＝650．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AD交EH于点K，先证明AK⊥EH，四边形EFDK是矩形，则DK＝EF＝EH，再证明△AEH∽△ABC，得＝，于是有＝，即可求得EH＝，得到问题的答案．
解：如图，设AD交EH于点K，
∵四边形EFGH是矩形，且边FG落在BC上，
∴EH∥BC，∠KEF＝∠EFD＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠AKE＝∠KDF＝90°，
∴AK⊥EH，四边形EFDK是矩形，
∴DK＝EF＝EH，
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
∵BC＝3，AD＝2，
∴＝，
∴EH＝，
∴EH的长为，
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明△AEH∽△ABC并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ 12 ．
【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．
12．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 12个 ．
【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
解：根据题意，盒子中白球的个数约为30×0.4＝12（个），
故答案为：12个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 0 ．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，解方程可求得k的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（k+1）＝﹣4k＝0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．
14．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且OB＝3OD，OA＝3OC，量得CD＝120米，则AB＝ 360 米．
【分析】先根据OB＝3OD，OA＝3OC及∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，再由相似三角形的对应边成比例即可求出AB的值．
解：∵OB＝3OD，OA＝3OC，
∴OB：OD＝OA：OC＝3：1，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝＝，即＝，解得AB＝360（米）．
故答案为：360．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意得出△AOB∽△COD是解答此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为 （6，2） ．
【分析】直接利用C，A点的变化规律得出B点坐标即可．
解：∵以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，C（2，3），A（4，6），
∴D（3，1）的对应点B的坐标为：（6，2）．
故答案为：（6，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
16．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为 （），（2，1）或（，）． ．
【分析】设点P的坐标为（x，x+2），分三种情况讨论：①△POQ∽△BAO；②△POQ∽△AOB；③当点P在第二象限时，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，进行求解即可．
解：∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝2，则A的坐标为（0，2），
当y＝0时，x＝4，则B的坐标为（4，0），
∴AO＝2，OB＝4，
∵点P为直线AB上一动点，
∴设点P的坐标为（x，x+2），
∴OQ＝x，PQ＝x+2，
∴①当△POQ∽△BAO时，
，
则，
解得：x＝，
则﹣×+2＝，
故点P的坐标为（）；
②当△POQ∽△ABO时，
，
则，
解得：x＝2，
则﹣×2+2＝1，
故点P的坐标为（2，1）；
若点P在第二象限时，
则有：，
即，
解得：x＝﹣，
∴点P坐标为：（，），
综上所述，点P的坐标为（），（2，1）或（，）．
故答案为：（），（2，1）或（，）．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．如图，线段AB，CD相交于点E，且AD∥CB．求证：＝．
【分析】由平行线性质可得内错角相等，进而说明△AED∽△BEC，由相似三角形的性质结论可得．
【解答】证明：∵AD∥CB，
∴∠A＝∠B，∠D＝∠C．
∴△AED∽△BEC．
∴＝．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
18．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2+3（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（2x+1）2+3（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1+3）＝0，
2x+1＝0或2x+1+3＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
【分析】利用菱形的性质可得DA＝DC，进而可得∠DAC＝∠DCA，∠ADE＝∠CDF，利用ASA证明△DAE≌△DCF可证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△DAE≌△DCF是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，AE是BC边上的中线．
（1）求证：AE⊥BC
（2）过点A作AD∥BC，且AD＝BE，连接CD．求证：四边形AECD是矩形．
【分析】（1）先证AB＝AC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）先证四边形AECD是平行四边形，再证∠AEC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AE是BC边上的中线，
∴AE⊥BC；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝CE，AD∥BC，且AD＝BE，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
由（1）可知，AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．
【分析】设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的资金＝2019年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．
解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽查的居民人数是 40 人，将条形统计图补充完整．
（2）图中∠α的度数是 54 度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有 1350 人．
（3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）用A层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C层次的人数，然后补全条形统计图；
（2）用A层次的人数所占的百分比乘以360°得到∠α的度数；用3000分别乘以样本中A、B层次的人数所占的百分比，用它们的和可估计出小区对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）12÷30%＝40，
所以本次被抽查的居民人数是40人，
C层次的人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
条形统计图补充为：
故答案为：40；
（2）∠α＝360°×＝54°，
3000×＝1350，
所以估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；
故答案为：54；1350．
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，
所以恰好选中甲和乙的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23．为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米．
（1）该小组同学是利用 平行 投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
（2）求这棵树的高度AB．
【分析】（1）根据平行投影的定义即可得到结论；
（2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
解：（1）该小组同学是利用平行投影的有关知识进行计算的，
故答案为：平行；
（2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有＝，
解得x＝
树高是+1.5＝（米）．
故树高为米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，解题的关键是从复杂的数学问题中整理出三角形并利用相似三角形求解，考查了同学们的建模能力．
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要使顾客得到较多的实惠，即可得出每件应降价20元；
（2）每天不可能盈利2000元，设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1500＜0，即可得出原方程无实数根，即每天不可能盈利2000元．
解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要使顾客得到较多的实惠，
∴x＝20．
答：每件应降价20元．
（2）每天不可能盈利2000元，理由如下：
设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（90﹣y﹣50）（20+2y）＝2000，
整理得：y2﹣30y+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，
∴原方程无实数根，
即每天不可能盈利2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
25．（1）如图1，△ABC，△EDC都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明；
（2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系；
②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB：AD＝DE：DG＝：1，则AG：BF＝ 1：2 ．
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据正方形的性质得到＝，＝，∠BDA＝45°，∠FDG＝45°，证明△BDF∽△ADG，根据相似三角形的性质证明结论；
②仿照①的方法解答即可．
解：（1）BD＝AE，
证明如下：∵△ABC、△EDC为等边三角形，
∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE；
（2）①BF＝AG，
证明如下：如图2，连接BD、DF，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴＝，＝，∠BDA＝45°，∠FDG＝45°，
∴＝，∠BDF＝∠ADG，
∴△BDF∽△ADG，
∴＝＝，
∴BF＝AG；
②如图3，连接BD、DF，
∵AB：AD＝DE：DG＝：1，
∴BD：AD＝DF：DG＝2：1，∠BDA＝∠GDF，
∴∠BDF＝∠GDA，
∴△BDF∽△ADG，
∴AG：BF＝DF：DG＝1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及矩形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判断定理是解题的关键．
26．四边形ABCD为矩形，G为BC上任意一点，DE⊥AG于点E．
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，BF⊥AG于F，求证：AF﹣BF＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，AG＝，BG＝1，求EG的长；
（3）如图3，连接EC，若CG＝CD，DE＝2，GE＝1，请直接写出AD，CE的长度．
【分析】（1）利用△AED≌△BFA求得AE＝BF，再利用线段关系求出AF﹣BF＝EF；
（2）先根据勾股定理计算AB＝2，再证明△ABF∽△AGB，即可解答；
（3）连接DG，作EM⊥BC于M点，利用直角三角形求出DG，CD的长，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再运用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再运用勾股定理即可求出CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
又DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF＝AE＝EF；
（2）解：∵AG＝，BG＝1，∠ABG＝90°，
∴AB＝＝2，
∵∠BAF＝∠BAG，∠AFB＝∠ABG＝90°，
∴△ABF∽△AGB，
∴＝＝，
设BF＝x，AF＝2x，
∴x2+（2x）2＝22，
∴x＝，
∴BF＝AE＝，
∴EG＝AG﹣AE＝﹣＝；
（3）解：如图3，连接DG，作EM⊥BC于M点，
∵DE⊥AG，DE＝2，GE＝1，
在Rt△DEG中，DG＝＝＝，
∵CG＝CD，
在Rt△DCG中，∠CDG＝∠CGD＝45°，
∴CD＝CG＝＝，
∵∠BAG+∠GAD＝90°，∠EDA+∠GAD＝90°，
∴∠BAG＝∠EDA，
∵∠ABG＝∠DEA＝90°，
∴△ABG∽△DEA，
∴＝，
设AD＝x，
∴AE＝，AG＝AE+EG＝+1，
∴＝，
解得x1＝，x2＝﹣2（舍去），
∴AD＝，
∴AE＝＝，
又∵∠BAG＝∠MEG，
∴∠EDA＝∠MEG，
∵∠AED＝∠EMG＝90°，
∴△EMG∽△DEA，
∴＝＝，即＝＝，
解得EM＝，MG＝，
∴CM＝CG+MG＝+＝，
∴CE＝＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形相似求出线段的长度．此题难度较大，考查了学生计算能力．解题是一定要细心．
2022-2023学年山东省济南市商河县四校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．方程x2﹣6x＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
4．若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
5．方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
6．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
7．一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
9．如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
10．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ ．
12．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 ．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且OB＝3OD，OA＝3OC，量得CD＝120米，则AB＝ 米．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为 ．
16．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．如图，线段AB，CD相交于点E，且AD∥CB．求证：＝．
18．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
20．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，AE是BC边上的中线．
（1）求证：AE⊥BC
（2）过点A作AD∥BC，且AD＝BE，连接CD．求证：四边形AECD是矩形．
21．2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．
22．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽查的居民人数是 人，将条形统计图补充完整．
（2）图中∠α的度数是 度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有 人．
（3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
23．为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米．
（1）该小组同学是利用 投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
（2）求这棵树的高度AB．
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
25．（1）如图1，△ABC，△EDC都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明；
（2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系；
②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB：AD＝DE：DG＝：1，则AG：BF＝ ．
26．四边形ABCD为矩形，G为BC上任意一点，DE⊥AG于点E．
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，BF⊥AG于F，求证：AF﹣BF＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，AG＝，BG＝1，求EG的长；
（3）如图3，连接EC，若CG＝CD，DE＝2，GE＝1，请直接写出AD，CE的长度．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．方程x2﹣6x＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0
【分析】利用因式分解法解方程．
解：x（x﹣6）＝0，
x＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝0，x2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确；
B、菱形的对角线和边不一定相等，故B选项错误；
C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确；
D、菱形的对角线互相平分，OA＝OC，故D选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．
4．若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
5．方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝5＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，C都可判定△ABC∽△ADE
选项D中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
7．一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概率．
解：树状图如下：
∴P（小刚两次所记的数字相同）＝＝．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，解决此题的关键是清楚概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
【分析】根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可．
解：A、当AC＝BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
C、矩形ABCD的对边AD＝BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定．需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．
9．如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形，再根据种植面积为650平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形．
依题意得：（30﹣2x）（25﹣x）＝650．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AD交EH于点K，先证明AK⊥EH，四边形EFDK是矩形，则DK＝EF＝EH，再证明△AEH∽△ABC，得＝，于是有＝，即可求得EH＝，得到问题的答案．
解：如图，设AD交EH于点K，
∵四边形EFGH是矩形，且边FG落在BC上，
∴EH∥BC，∠KEF＝∠EFD＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠AKE＝∠KDF＝90°，
∴AK⊥EH，四边形EFDK是矩形，
∴DK＝EF＝EH，
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
∵BC＝3，AD＝2，
∴＝，
∴EH＝，
∴EH的长为，
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明△AEH∽△ABC并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ 12 ．
【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．
12．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 12个 ．
【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
解：根据题意，盒子中白球的个数约为30×0.4＝12（个），
故答案为：12个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 0 ．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，解方程可求得k的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（k+1）＝﹣4k＝0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．
14．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且OB＝3OD，OA＝3OC，量得CD＝120米，则AB＝ 360 米．
【分析】先根据OB＝3OD，OA＝3OC及∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，再由相似三角形的对应边成比例即可求出AB的值．
解：∵OB＝3OD，OA＝3OC，
∴OB：OD＝OA：OC＝3：1，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝＝，即＝，解得AB＝360（米）．
故答案为：360．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意得出△AOB∽△COD是解答此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为 （6，2） ．
【分析】直接利用C，A点的变化规律得出B点坐标即可．
解：∵以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，C（2，3），A（4，6），
∴D（3，1）的对应点B的坐标为：（6，2）．
故答案为：（6，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
16．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为 （），（2，1）或（，）． ．
【分析】设点P的坐标为（x，x+2），分三种情况讨论：①△POQ∽△BAO；②△POQ∽△AOB；③当点P在第二象限时，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，进行求解即可．
解：∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝2，则A的坐标为（0，2），
当y＝0时，x＝4，则B的坐标为（4，0），
∴AO＝2，OB＝4，
∵点P为直线AB上一动点，
∴设点P的坐标为（x，x+2），
∴OQ＝x，PQ＝x+2，
∴①当△POQ∽△BAO时，
，
则，
解得：x＝，
则﹣×+2＝，
故点P的坐标为（）；
②当△POQ∽△ABO时，
，
则，
解得：x＝2，
则﹣×2+2＝1，
故点P的坐标为（2，1）；
若点P在第二象限时，
则有：，
即，
解得：x＝﹣，
∴点P坐标为：（，），
综上所述，点P的坐标为（），（2，1）或（，）．
故答案为：（），（2，1）或（，）．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．如图，线段AB，CD相交于点E，且AD∥CB．求证：＝．
【分析】由平行线性质可得内错角相等，进而说明△AED∽△BEC，由相似三角形的性质结论可得．
【解答】证明：∵AD∥CB，
∴∠A＝∠B，∠D＝∠C．
∴△AED∽△BEC．
∴＝．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
18．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2+3（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（2x+1）2+3（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1+3）＝0，
2x+1＝0或2x+1+3＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
【分析】利用菱形的性质可得DA＝DC，进而可得∠DAC＝∠DCA，∠ADE＝∠CDF，利用ASA证明△DAE≌△DCF可证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△DAE≌△DCF是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，AE是BC边上的中线．
（1）求证：AE⊥BC
（2）过点A作AD∥BC，且AD＝BE，连接CD．求证：四边形AECD是矩形．
【分析】（1）先证AB＝AC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）先证四边形AECD是平行四边形，再证∠AEC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AE是BC边上的中线，
∴AE⊥BC；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝CE，AD∥BC，且AD＝BE，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
由（1）可知，AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．
【分析】设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的资金＝2019年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．
解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽查的居民人数是 40 人，将条形统计图补充完整．
（2）图中∠α的度数是 54 度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有 1350 人．
（3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）用A层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C层次的人数，然后补全条形统计图；
（2）用A层次的人数所占的百分比乘以360°得到∠α的度数；用3000分别乘以样本中A、B层次的人数所占的百分比，用它们的和可估计出小区对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）12÷30%＝40，
所以本次被抽查的居民人数是40人，
C层次的人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
条形统计图补充为：
故答案为：40；
（2）∠α＝360°×＝54°，
3000×＝1350，
所以估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；
故答案为：54；1350．
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，
所以恰好选中甲和乙的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23．为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米．
（1）该小组同学是利用 平行 投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
（2）求这棵树的高度AB．
【分析】（1）根据平行投影的定义即可得到结论；
（2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
解：（1）该小组同学是利用平行投影的有关知识进行计算的，
故答案为：平行；
（2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有＝，
解得x＝
树高是+1.5＝（米）．
故树高为米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，解题的关键是从复杂的数学问题中整理出三角形并利用相似三角形求解，考查了同学们的建模能力．
24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要使顾客得到较多的实惠，即可得出每件应降价20元；
（2）每天不可能盈利2000元，设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1500＜0，即可得出原方程无实数根，即每天不可能盈利2000元．
解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要使顾客得到较多的实惠，
∴x＝20．
答：每件应降价20元．
（2）每天不可能盈利2000元，理由如下：
设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（90﹣y﹣50）（20+2y）＝2000，
整理得：y2﹣30y+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，
∴原方程无实数根，
即每天不可能盈利2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
25．（1）如图1，△ABC，△EDC都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明；
（2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系；
②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB：AD＝DE：DG＝：1，则AG：BF＝ 1：2 ．
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据正方形的性质得到＝，＝，∠BDA＝45°，∠FDG＝45°，证明△BDF∽△ADG，根据相似三角形的性质证明结论；
②仿照①的方法解答即可．
解：（1）BD＝AE，
证明如下：∵△ABC、△EDC为等边三角形，
∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE；
（2）①BF＝AG，
证明如下：如图2，连接BD、DF，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴＝，＝，∠BDA＝45°，∠FDG＝45°，
∴＝，∠BDF＝∠ADG，
∴△BDF∽△ADG，
∴＝＝，
∴BF＝AG；
②如图3，连接BD、DF，
∵AB：AD＝DE：DG＝：1，
∴BD：AD＝DF：DG＝2：1，∠BDA＝∠GDF，
∴∠BDF＝∠GDA，
∴△BDF∽△ADG，
∴AG：BF＝DF：DG＝1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及矩形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判断定理是解题的关键．
26．四边形ABCD为矩形，G为BC上任意一点，DE⊥AG于点E．
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，BF⊥AG于F，求证：AF﹣BF＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，AG＝，BG＝1，求EG的长；
（3）如图3，连接EC，若CG＝CD，DE＝2，GE＝1，请直接写出AD，CE的长度．
【分析】（1）利用△AED≌△BFA求得AE＝BF，再利用线段关系求出AF﹣BF＝EF；
（2）先根据勾股定理计算AB＝2，再证明△ABF∽△AGB，即可解答；
（3）连接DG，作EM⊥BC于M点，利用直角三角形求出DG，CD的长，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再运用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再运用勾股定理即可求出CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
又DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF＝AE＝EF；
（2）解：∵AG＝，BG＝1，∠ABG＝90°，
∴AB＝＝2，
∵∠BAF＝∠BAG，∠AFB＝∠ABG＝90°，
∴△ABF∽△AGB，
∴＝＝，
设BF＝x，AF＝2x，
∴x2+（2x）2＝22，
∴x＝，
∴BF＝AE＝，
∴EG＝AG﹣AE＝﹣＝；
（3）解：如图3，连接DG，作EM⊥BC于M点，
∵DE⊥AG，DE＝2，GE＝1，
在Rt△DEG中，DG＝＝＝，
∵CG＝CD，
在Rt△DCG中，∠CDG＝∠CGD＝45°，
∴CD＝CG＝＝，
∵∠BAG+∠GAD＝90°，∠EDA+∠GAD＝90°，
∴∠BAG＝∠EDA，
∵∠ABG＝∠DEA＝90°，
∴△ABG∽△DEA，
∴＝，
设AD＝x，
∴AE＝，AG＝AE+EG＝+1，
∴＝，
解得x1＝，x2＝﹣2（舍去），
∴AD＝，
∴AE＝＝，
又∵∠BAG＝∠MEG，
∴∠EDA＝∠MEG，
∵∠AED＝∠EMG＝90°，
∴△EMG∽△DEA，
∴＝＝，即＝＝，
解得EM＝，MG＝，
∴CM＝CG+MG＝+＝，
∴CE＝＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形相似求出线段的长度．此题难度较大，考查了学生计算能力．解题是一定要细心．
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