2025届山东省菏泽市定陶区实验中学九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份2025届山东省菏泽市定陶区实验中学九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．2，3，4C．1.5，2，2.5D．1，，3
2、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3、（4分）如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，则在题中条件下，下列结论不能成立的是（ ）
A．BE＝CEB．AB＝BFC．DE＝BED．AB＝DC
4、（4分）下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行D．两条对角线互相垂直
5、（4分）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：根据右图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分；
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数；
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数；
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差．
6、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
7、（4分）在一次数学测试中，某小组的5名同学的成绩（百分制，单位：分）如下：80，98，98，83，96，关于这组数据说法错误的是( )
A．众数是98B．平均数是91
C．中位数是96D．方差是62
8、（4分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一个正多边形的每个外角等于72°，则它的边数是__________．
10、（4分）设是满足不等式的正整数，且关于的二次方程的两根都是正整数，则正整数的个数为_______．
11、（4分）一组数据：的方差是__________．
12、（4分）若直角三角形的斜边长为6，则这个直角三角形斜边的中线长________．
13、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝1．D，E分别为边BC，AC上一点，将△ADE沿着直线AD翻折，点E落在点F处，如果DF⊥BC，△AEF是等边三角形，那么AE＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） (1)如图1，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．
(2)如图2，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，求菱形的周长．
15、（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AB＝，OA＝a，OB＝b，且a，b满足：．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求的值．
16、（8分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？
17、（10分）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求的取值范围；
（2）若，直线经过点，与轴交于点，且，求抛物线的解析式；
（3）若点在点左边，在第一象限内，（2）中所得到抛物线上是否存在一点，使直线分的面积为两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18、（10分）化简并求值:，其中.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，把放在平面直角坐标系中，，，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段BC扫过的面积为______．
20、（4分）已知一组数据3，7，7，5，x的平均数是5，那么这组数据的方差是_________．
21、（4分）若，则的值是________
22、（4分）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．
23、（4分）已知：关于的方程有一个根是2，则________，另一个根是________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，中，.
（1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，连接，若则的周长是 ．（直接写出答案）
25、（10分）已知一次函数的图像经过点M（－1，3）、N（1，5）。直线MN与坐标轴相交于点A、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求的值．
（3）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化，若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
26、（12分）如图，在矩形ABCD中AD=12，AB=9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC=5
（1）求BG的长度；
（2）求证：是直角三角形
（3）求证：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故B选项错误；
C、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故C选项正确；
D、，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2、D
【解析】
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选D．
本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.
3、C
【解析】
A选项：由中点的定义可得；B选项：先根据AAS证明△BEF≌△CED可得：DC＝BF，再加上AB＝DC即可得；C选项：DE和BE不是对应边，故是错误的；D选项：由平行四边形的性质可得.
【详解】
解：∵平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，
∴AB=DC,AB//DC,BE=CE,（故A、D选项正确）
∴∠EBF=∠ECD,∠EFB=∠EDC,
在△BEF和△CED中

∴△BEF≌△CED（AAS）
∴DC＝BF，
又∵AB=DC，
∴AB＝BF.(故B选项正确).
所以A、B、D选项正确.
故选C.
运用了平行四边形的性质，解题时，关键根据平行四边形的性质和中点的定义证明△BEF≌△CED，得到DC＝BF，再根据等量代换得到AB＝BF.
4、B
【解析】
试题分析：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
解：A、一组对边相等，不能判断，故错误；
B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C、一组对边平行，不能判断，故错误；
D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选B．
考点：平行四边形的判定．
5、D
【解析】
通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断.
【详解】
甲的平均数= （分），乙的平均数= =8 (分) ，所以A选项错误；
甲的中位数是8分，乙的中位数是9分，故B选项错误；
甲的众数是8分，乙的众数是10分，故C选项错误；
甲的方差=，乙的方差=，故D选项正确，
故选：D.
此题考查数据的统计计算，正确掌握平均数的计算公式，众数、中位数的计算方法，方差的计算公式是解题的关键.
6、B
【解析】
过点D作DH⊥BC交AB于点H，根据△AFE∽△ACD和△AEG∽△ADH可得DC=DH，再由△BDH∽△BCA，根据相似三角形的性质列出方程即可求出CD.
【详解】
解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵EF⊥AC，∴EF∥BC，
∴△AFE∽△ACD，∴，
∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，
∴△AEG∽△ADH，∴，
∴
∵EF=EG，
∴DC=DH，
设DH=DC=x，则BD=12-x，
又∵△BDH∽△BCA，
∴，即，
解得：x=4，即CD=4，
故选B.
本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键.
7、D
【解析】
根据数据求出众数、平均数、中位数、方差即可判断.
【详解】
A. 98出现2次，故众数是98，正确
B. 平均数是=91，正确；
C. 把数据从小到大排序：80，83，96，98，98，故中位数是96 ，正确
故选D.
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知众数、平均数、中位数、方差的求解.
8、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意.
故选：B
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据题意利用多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】
解：360÷72=1．
故它的边数是1．
故答案为：1．
本题考查多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是解题的关键．
10、1个．
【解析】
首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2−4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，表达出两根，然后根据方程有两个正整数根以及m的取值范围得出m为完全平方数即可．
【详解】
解：将方程整理得：x2−（2m＋4）x＋m2＋4＝0，
∴，
，
∵两根都是正整数，且是满足不等式的正整数，
∴m为完全平方数即可，
∴m=1，4，9，16，25，36，49，共1个，
故答案为：1．
此题主要考查了含字母系数的一元二次方程，确定m为完全平方数是解决本题的关键．
11、.
【解析】
根据方差的公式进行解答即可.
【详解】
解：==2019，
==0.
故答案为：0.
本题考查了方差的计算.
12、1
【解析】
根据直角三角形的性质直接求解．
【详解】
解：直角三角形斜边长为6，
这个直角三角形斜边上的中线长为1．
故答案为：1.
本题考查了直角三角形的性质，解决此题的关键是熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13、2．
【解析】
由题意可得∠CAD=30°，∠AEF=60°，根据勾股定理可求CD=2，由AC∥DF，则∠AEF=∠EFD=60°，且DE=DF，可得∠DEF=∠DFE=60°，可得∠DEC=60°．根据勾股定理可求EC的长，即可求AE的长．
【详解】
如图：
∵折叠，
∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF，
∴∠DFE＝∠DEF；
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠AEF＝60°，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°；
在Rt△ACD中，AC＝6，∠CAD＝30°，
∴CD＝2；
∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥DF，
∴∠AEF＝∠EFD＝60°，
∴∠FED＝60°；
∵∠AEF+∠DEC+∠DEF＝110°，
∴∠DEC＝60°；
∵在Rt△DEC中，∠DEC＝60°，CD＝2，
∴EC＝2；
∵AE＝AC﹣EC，
∴AE＝6﹣2＝2；
故答案为：2．
本题考查了翻折问题，等边三角形的性质，勾股定理，求∠CED 度数是本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)钢索的长度为m；(2)菱形ABCD的周长=16.
【解析】
(1)直接利用勾股定理得出AC的长即可；
(2)由三角形的中位线，求出BD=4，根据∠A=60°，得△ABD为等边三角形，从而求出菱形ABCD的边长．
【详解】
(1)如图1所示，由题意可得：AB=2m，BC=5m，
则AC==(m)，
答：钢索的长度为m；
(2)∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF=BD，
∵EF=2，
∴BD=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16，
此题考查勾股定理的应用；三角形中位线定理；菱形的性质，解题关键在于求出AC的长
15、（1）4；（2）
【解析】
（1）首先根据菱形的性质得到AC和BD垂直平分，结合题意可得a2+b2＝5，进而得到ab＝2，结合图形的面积公式即可求出面积；
（2）根据a2+b2＝5，ab＝2得到a+b的值，进而求出答案．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∵OA＝a，OB＝b，AB＝，
∴a2+b2＝5，
∵a，b满足：．
∴a2b2＝4，
∴ab＝2，
∴△AOB的面积＝ab＝1，
∴菱形ABCD的面积＝4△AOB的面积＝4；
（2）∵a2+b2＝5，ab＝2，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7，
∴a+b＝，
∴＝．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的对角线垂直平分得到a和b的数量关系，此题是一道非常不错的试题．
16、当时，
【解析】
首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.
【详解】
当时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD=QC，
∴
∴
∴当时，.
此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.
17、（1）m≠-1；（1）y=-x1+5x-6；（3）点P（，-）或（1，0）．
【解析】
（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，可令y=0，则所得方程的根的判别式△＞0，可据此求出m的取值范围．
（1）根据已知直线的解析式，可得到D点的坐标；根据抛物线的解析式，可用m表示出A、B的坐标，即可得到AD、BD的长，代入AD×BD=5，即可求得m的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-1）或（0，-5），即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=（m-4）1+11（m-1）=m1+4m+4=（m+1）1＞0，
∴m≠-1．
（1）∵y=-x1-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（1-m，0）；
则：D（0，-1），
则有：AD×BD=，
解得：m=1（舍去）或-1，
∴m=-1，
抛物线的表达式为：y=-x1+5x-6①；
（3）存在，理由：
如图所示，点C（0，-6），点D（0，-1），点A（1，0），
直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，
即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-1）或（0，-5），
将点H、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线HA的表达式为：y=x-1或y=x-5②，
联立①②并解得：x=或1，
故点P（，-）或（1，0）．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
18、，
【解析】
首先进行化简，在代入计算即可.
【详解】
原式
当时，原式
本题主要考查根式的化简，注意根式的分母不等为0，这是必考题，必须掌握.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、14
【解析】
先求AC的长，即求C的坐标，由平移性质得，平移的距离，因此可求线段BC扫过的面积．
【详解】
点A、B的坐标分别为、，
，
在中，，，
，
，
由于沿x轴平移，点纵坐标不变，且点C落在直线上时，，
，
平移的距离为，
扫过面积，
故答案为：14
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，关键是找到平移的距离．
20、0.26
【解析】
首先根据平均数算出x的值，然后利用方差的公式进行计算.
【详解】
解得：x=3
故方差为0.26
本题考查数据方差的计算，务必记住方差计算公式为：
21、.
【解析】
解：∵﹣=2，∴a﹣b=﹣2ab，∴原式====﹣．故答案为﹣．
22、y=x（答案不唯一）
【解析】
试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠1），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞1．
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
23、2， 1.
【解析】
设方程x2-3x+a=0的另外一个根为x，根据根与系数的关系，即可解答．
【详解】
解：设方程的另外一个根为，
则，，
解得：，，
故答案为：2，1.
本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）7.
【解析】
（1）利用基本作图作的垂直平分线；
（2）根据线段垂线平分线的性质得出，然后利用等线代换得到的周长.
【详解】
解：（1）如图，为所作：
（2）就为边上的垂直平分线，
的周长
故答案为：.
本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（做一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.
25、（4）y=x+4．（4）；（4）不变，．
【解析】
试题分析：（4）用待定系数法，将M，N两点坐标代入解析式求出k，b即得一次函数解析式；（4）∵点C与点B关于x轴对称，B（0，4），∴C（0，-4），再由旋转性质可得DB=DE，∠BDE=90º，过点E作EP⊥x轴于P，易证△BDO≌△DEP，∴OD=PE，DP=BO=4，设D（，0），则E（，），设直线CE解析式是：y=kx+b，把C，E两点坐标代入得：，∴，∴CE解析式是y=x-4，∴F（4，0），OC=OF=4，∴PE=PF，∴EF=，∵A（-4，0），∴DF=4+a，DA=4-a，∴===；（4）此题连接BM，因为AO=BO，MO=PO，且∠BOM=∠AOP，得出△BOM≌△AOP（SAS），∵∠PAO=445º，∴∠MBP=∠PAO=445º，∴∠MBP＝90°，在Rt△MBP中，MQ=PQ，∴BQ是此直角三角形斜边中线，等于斜边一半，BQ＝MP，MP又是正方形对角线，∴MP＝OP，∴BQ:OP=MP:OP=×OP:OP=，∴的值不变，是．
试题解析：（4）用待定系数法，将M，N两点坐标代入解析式得：，解得b=4，k=4，∴一次函数的解析式是y=x+4；（4）∵点C与点B关于x轴对称，B（0，4），∴C（0，-4），再由旋转性质可得DB=DE，∠BDE=90º，过点E作EP⊥x轴，易证△BDO≌△DEP，设D（，0），则E（，）设直线CE解析式是：y=kx+b，，把C，E两点坐标代入得：，∴∴CE解析式:y=x-4，y=0时，，x=4，∴F（4，0），OC=OF=4，∴PE=PF，∴EF=，∵A（-4，0），∴DF=4+a，DA=4-a，
∴===．∴的值是．
（4）连结BM，由正方形性质可得OM=OP，∠MOP=90º，由A，B点坐标可得AO=BO，又∵∠BOM=∠AOP（同角的余角相等），可证△BOM≌△AOP（SAS），∴∠MBO＝∠PAO＝480º-45º=445°，∴∠MBP＝445º-45º=90°，在Rt△MBP中，MQ=PQ，BQ是此直角三角形斜边中线，等于斜边一半，∴BQ＝MP；在Rt△MOP中，，MP＝OP；∴BQ:OP=MP:OP=×OP:OP=，当点P在直线AB上运动时，的值不变，是，∴
考点：4．一次函数性质；4．三角形全等；4．正方形性质．
26、（1）13（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）在Rt△BCG中利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理依次求出BE,EG，再利用勾股定理逆定理即可证明；
（3）由E点为AD中点得到E为FG中点，再根据BE⊥FG得到△BFG为等腰三角形，得到∠F=∠BGF，再根据平行线的性质即可证明.
【详解】
（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=12，∠C=90°，
∴BG=
（2）∵E为AD中点，∴AE=DE=6，
∴BE=
∵DG=CD-GC=4，
∴EG=
∴BG2=DG2+EG2,
∴是直角三角形
（3）∵AE=DE，∠FAE=∠D=90°，又∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴E为EG中点，又BE⊥FG，
∴△BFG为等腰三角形，
∴∠F=∠BGF，
又BF∥CD，
∴∠F=
∴
此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知勾股定理与全等三角形的判定定理.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分