2025届南昌市南大附中数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】

这是一份2025届南昌市南大附中数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
2、（4分）如图,矩形在平面直角坐标系中, ,,把矩形沿直线对折使点落在点处,直线与的交点分别为,点在轴上,点在坐标平面内,若四边形是菱形,则菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
4、（4分）如图，折线ABCDE描述了一汽车在某一直路上行驶时汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)间的变量关系，则下列结论正确的是( )
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在行驶途中停留了2小时
C．汽车在整个行驶过程中的平均速度为每小时24千米
D．汽车自出发后3小时至5小时间行驶的速度为每小时60千米
5、（4分）将下列多项式因式分解，结果中不含因式x－1的是( )
A．x2－1B．x2＋2x＋1C．x2－2x＋1D．x(x－2)＋(2－x)
6、（4分）函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）直线上两点的坐标分别是，，则这条直线所对应的一次函数的解析式为( )
A．B．C．D．
8、（4分）某校八年级（2）班第一组女生的体重（单位：）：35，36，36，42，42，42，45，则这组数据的众数为（ ）
A．45B．42C．36D．35
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）使有意义的x的取值范围是_____．
10、（4分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为
11、（4分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD．点 P 为底边 BC 的延长线上任意一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，BM⊥DC 于 M．请你探究线段 PE、PF、BM 之间的数量关系：
______．
12、（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在x轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标_____．
13、（4分）将二元二次方程化为两个一次方程为______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如表所示．
（1）分别求出两位同学在四次测试中的平均分；
（2）分别求出两位同学测试成绩的方差．你认为选谁参加比赛更合适，请说明理由．
15、（8分）如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，
（1）关于x，y的方程组 的解是 ；
（2）a＝ ；
（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．
16、（8分）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC内部作△CED，使∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF、AE、EF．
（1）证明：AE=EF；
（2）判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图（1）的基础上，将△CED绕点C逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否成立？若成立，结合图（2）写出证明过程；若不成立，请说明理由
17、（10分）求证：对角线相等的平行四边形是矩形．(要求：画出图形，写出已知和求证，并给予证明)
18、（10分）一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2) 由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?试求降价前y与x之间的关系式
(3) 降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，，，，若，则的长为______．
20、（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是__________．
21、（4分）如图，△ACB≌△DCE，∠ACD=50°，则∠BCE的度数为_____．
22、（4分）一个多边形的内角和等于 1800°，它是______边形．
23、（4分）在直角梯形中，，如果，，，那么对角线__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图所示的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象．
（1）写出y与t之间的函数关系式；
（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？
25、（10分）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．求每件商品售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到12000元？
26、（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）以格点为顶点画，使三这长分别为；
（2）若的三边长分别为m、n、d，满足，求三边长，若能画出以格点为顶点的三角形，请画出该格点三角形．

参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，
故选A．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键.
2、C
【解析】
如图，连接AD，根据勾股定理先求出OC的长，然后根据折叠的性质以及勾股定理求出AD、DF的长，继而作出符合题意的菱形，分别求出菱形的两条对角线长，然后根据菱形的面积等于对角线积的一半进行求解即可.
【详解】
如图，连接AD，
∵∠AOC=90°，AC=5，AO=3，
∴CO==4，
∵把矩形沿直线对折使点落在点处，
∴∠AFD=90°，AD=CD，CF=AF=，
设AD=CD=m，则OD=4-m，
在Rt△AOD中，AD2=AO2+OD2，
∴m2=32+(4-m)2，
∴m=，
即AD=，
∴DF===，
如图，过点F作FH⊥OC，垂足为H，延长FH至点N，使HN=HF，在HC上截取HM=HD，则四边形MFDN即为符合条件的菱形，
由题意可知FH=，
∴FN=2FH=3，DH=，
∴DM=2DH=，
∴S菱形MFDN=，
故选C.
本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，画出符合题意的菱形是解题的关键.
3、A
【解析】
根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【详解】
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．
故选A．
点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．
4、D
【解析】
根据观察图象的横坐标、纵坐标，可得行驶的路程与时间的关系，根据路程与时间的关系，可得速度．
【详解】
A、由图象可以看出，最远处到达距离出发地120千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为240千米，错误，不符合题意；
B、停留的时候，时间增加，路程不变，所以停留的时间为2-1.5=0.5小时，错误，不符合题意；
C、平均速度为总路程÷总时间，总路程为240千米，总时间为5小时，所以平均速度为240÷5=48千米/时，错误，不符合题意；
D、汽车自出发后3小时至5小时间行驶的速度为120÷(5-3)=60千米/时，正确，符合题意，
故选D．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；用到的知识点为：平均速度=总路程÷总时间．
5、B
【解析】
将各选项进行因式分解即可得以选择出正确答案．
【详解】
A. x2﹣1=（x+1）（x-1）；
B. x2+2x+1=（x+1）2 ;
C. x2﹣2x+1 =（x-1）2;
D. x（x﹣2）﹣（x﹣2）=（x-2）（x-1）；
结果中不含因式x-1的是B；
故选B.
6、C
【解析】
根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案．
【详解】
解：分四种情况：
①当a＞0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；
②当a＞0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，C选项符合；
③当a＜0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、四象限，C选项符合；
④当a＜0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．
故选C．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
7、A
【解析】
利用待定系数法求函数解析式．
【详解】
解：∵直线y=kx+b经过点P（-20，5），Q（10，20），
∴ ，
解得，
所以，直线解析式为．
故选：A．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，是中考的热点之一，需要熟练掌握．解题的关键是掌握待定系数法．
8、B
【解析】
出现次数最多的数是1．故众数是1．
【详解】
解：出现次数最多的数是1．故众数是1．
故答案：B
注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥2
【解析】
根据题意可得2x﹣4≥0，然后求解关于x的一元一次不等式即可.
【详解】
解：∵有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2.
故答案为x≥2.
本题考查了算术平方根有意义，解一元一次不等式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
10、9
【解析】
试题分析：∵等腰三角形的两边长分别为4和9，∴分两种情况（1）腰为4，底边为9，但是4+4＜9，所以不能组成三角形（2））腰为9，底边为4，符合题意，所以第三边长为9.
考点:等腰三角形的概念及性质.
11、PE－PF=BM.
【解析】
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证四边形BMFH是平行四边形，于是有FH=BM，再用AAS证明△PBE≌△PBH，可得PH=PE，继而得到结论.
【详解】
解：PE－PF=BM. 理由如下：
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，如图
∴∠PBH=∠DCB，
∵PF⊥CD，BM⊥CD，
∴BM∥FH，PH⊥BH，
∴四边形BMFH是平行四边形，∠H=90°，
∴FH=BM，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，又PB为公共边，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BM．
即PE－PF=BM.
本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造所需的平行四边形和全等三角形.
12、（3，0）或（﹣3，0）
【解析】
试题解析：设点C到原点O的距离为a，
∵AC+BC=6，
∴a-+a+=6，
解得a=3，
∴点C的坐标为（3，0）或（-3，0）．
13、和
【解析】
二元二次方程的中间项，根据十字相乘法，分解即可．
【详解】
解：，
，
∴，．
故答案为：和．
本题考查了高次方程解法和分解因式的能力．熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）（分，（分；（2）选择甲参加比赛更合适．
【解析】
（1）由平均数的公式计算即可；
（2）先分别求出两位同学测试成绩的方差，再根据方差的意义求解即可．
【详解】
解：（1）（分，
（分，
（2），
，
甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛更合适．
本题考查了方差与平均数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15、（1）；（2）－1；（3）2
【解析】
（1）先求出点P为（1，2），再把P点代入解析式即可解答.
（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，即可解答.
（3）根据y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0），y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0），即可得到这两个交点之间的距离，再根据三角形的面积公式，即可解答.
【详解】
（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，
函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2），
即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组 的解是 ．
故答案为；
（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，
得2＝a+3，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1；
（3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0），
y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0），
∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝2，
∵P（1，2），
∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：×2×2＝2．
此题考查一次函数与二元一次方程，解题关键在于把已知点代入解析式求解.
16、（1）证明见解析；（2）AF=AE．证明见解析；（3）AF=AE成立．证明见解析.
【解析】
（1）根据△ABC是等腰直角三角形，△CDE是等腰直角三角形，四边形ABFD是平行四边形，判定△ACE≌△FDE（SAS），进而得出AE=EF；
（2）根据∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，即可得出△AEF是直角三角形，再根据AE=FE，得到△AEF是等腰直角三角形，进而得到AF=AE；
（3）延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA（SAS），再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论．
【详解】
（1）如图1，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴DF=AB=AC，
∵平行四边形ABFD中，AB∥DF，
∴∠CDF=∠CAB=90°，
∵∠C=∠CDE=45°，
∴∠FDE=45°=∠C，
在△ACE和△FDE中，
，
∴△ACE≌△FDE（SAS），
∴AE=EF；
（2）AF=AE．
证明：如图1，∵AB∥DF，∠BAD=90°，
∴∠ADF=90°，
∴Rt△ADF中，∠DAE+∠EAF+∠AFD=90°，
∵△ACE≌△FDE，
∴∠DAE=∠DFE，
∴∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，
即△AEF是直角三角形，
又∵AE=FE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE；
（3）AF=AE仍成立．
证明：如图2，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC，
∠ACE=（90°-∠KDC）+∠DCE=135°-∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC，
在△EDF和△ECA中，
，
∴△EDF≌△ECA（SAS），
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识的综合应用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．
17、见解析.
【解析】
分析：首先根据题意写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACD与∠BCD的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得∠ACD的度数，根据矩形的判定，可得答案．
详解：已知：如图，在□ABCD中， AC=BD. 求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
点睛：本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出∠ADC=∠BCD是解题关键．
18、（1) 5元(2) 0.5元/千克； y=x+5（0≤x≤30）；（3）他一共带了45千克土豆.
【解析】
(1)根据题意得出自带的零钱；(2)根据图象可知降价前售出的土豆数量为30千克，总金额为15元，然后计算单价；根据降价后的价格和金额求出降价后售出的数量，然后计算总质量.
【详解】
(1)根据图示可得：农民自带的零钱是5元.
(2)(20－5)÷30=0.5(元/千克) ∴y=x+5（0≤x≤30）
答：降价前他出售的土豆每千克是0.5元.
(3)(26－20)÷0.4+30=15+30=45(千克) 答：他一共带了45千克土豆.
考点：一次函数的应用.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
作PE⊥OB于E，先根据角平分线的性质求出PE的长度，再根据平行线的性质得∠OPC＝∠AOP，然后即可求出∠ECP的度数，再在Rt△ECP中利用直角三角形的性质即可求出结果．
【详解】
解：作PE⊥OB于E，如图所示：
∵PD⊥OA，∴PE=PD=4，
∵PC∥OA，∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠OPC＝∠AOP＝15°，
∴∠ECP＝15°+15°＝30°，
∴PC＝2PE＝1．
故答案为：1．
本题考查了角平分线的性质定理、三角形的外角性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，作PE⊥OB构建角平分线的模型是解题的关键.
20、且
【解析】
结合二次根式和分式有意义的条件，列式求解即可得到答案；
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件；对于二次根式，被开方数不能为负；对于分式，分母不能为0；掌握这两个知识点是解题的关键．
21、50°
【解析】
根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DCE，然后根据∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD得出答案．
【详解】
解： ∵△ACB≌△DCE
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD=50°
故答案为：50°．
本题考查全等三角形的性质，题目比较简单．
22、十二
【解析】
根据多边形的内角和公式列方程求解即可；
【详解】
设这个多边形是n边形，
由题意得，（n-2）•180°=1800°，
解得n=12；
故答案为十二
本题考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形的内角和公式．
23、
【解析】
过点D作交BC于点E，首先证明四边形ABED是矩形，则，进而求出EC的长度，然后在含30°的直角三角形中求出DE的长度，最后利用勾股定理即可求出BD的长度．
【详解】
过点D作交BC于点E，
∵，
，
．
，
，
∴四边形ABED是矩形，
，
．
，
，
，
，
．
故答案为：．
本题主要考查矩形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）当03时，y=t-0.6；（2）2.4元；6.4元
【解析】
试题分析：（1）由图，当时，y为恒值；当时，图象过点（3，2.4）、（5，4.4），可根据待定系数法求函数关系式；
（2）因为，所以根据AB段对应的函数即可得到结果；因为7＞3，所以根据BC段对应的函数关系式即可得结果．
（1）当时，；
当时，设函数关系式为，
∵图象过点（3，2.4）、（5，4.4），
，解得，
y与t之间的函数关系式为；
（2）当时，元，
当时，元.
考点：本题考查的是一次函数的应用
点评：此类题目的解决需仔细分析函数图象，从中找寻信息，利用待定系数法求出函数解析式，从而解决问题．
25、70或80
【解析】
要求服装的单价，可设服装的单价为x元，则每件服装的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可；
【详解】
解：设单价应定为x元，根据题意得：
(x−50)[800−(x−60)÷5×100]=12000，
(x−50)[800−20x+1200]=12000，
整理得，x2−150x+5600=0，
解得=70，=80；
答：这种服装的单价应定为70元或80元.
本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
26、（1）见解析如图（1）；（2）三边分别为，3,2是格点三角形.图见解析.
【解析】
（1）根据勾股定理画出图形即可．
（2）先将等式变形，根据算术平方根和平方的非负性可得m和n的值，计算d的值，画出格点三角形即可．
【详解】
（1）如图（1）所示：
（2）∵，
∴，
解得：m=3,n=2,
∴三边长为3,2，或，3,2，
如图（2）所示：，3,2是格点三角形.
本题考查的是勾股定理，格点三角形、算术平方根和平方的非负性，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
中位数
众数
平均数
方差
9.2
9.3
9.1
0.3
甲
90
85
95
90
乙
98
82
88
92