山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份山东省烟台市莱州市第一中学等三校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了本试卷共19小题，满分150分，下列说法正确的是，已知直线等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷共19小题，满分150分。考试时间为120分钟。
2答案写在答题卡上的指定位置，考试结束后，只将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1.若直线l：的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A．B．C．D．
2.在四面体中，，，，G为三角形的重心，P在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
4.已知，，若点在线段上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
5.如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．1B．C．D．
6.过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（ ）
A．B．C．6D．8
7.过点作一条直线l，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
8.如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
10.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点B．若，则或
C．若，则或2D．当时，始终不过第三象限
11.如图，在棱长为1的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则平面
C．若，，则平面
D．若，时，直线与平面所成的角为，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是 。
13.已知正方体的棱长为1，P在正方体内部且满足，则点P到直线的距离为 。
14.如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为.
（1）求顶点C的坐标：
（2）求直线的方程.
16.如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，.
（1）证明：；
（2）已知点B到平面的距离为，求.
17.如图，在正四棱锥中，各棱长均为，M为侧棱上的点，N是中点.
（1）若M是中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）是否存在点M，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18.平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．
图1
（1）求的面积；
（2）如图2，直线交y轴负半轴于点C，，P为射线（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式；
图2
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
图3
19.在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和.
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值；
（3）若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程.
三校联考高二数学月考试题答案
1.A
【详解】由题知，解得
2.C
【详解】延长交于点D，则点D为的中点，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，，，
所以。
3.C
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故C项正确.
4.D
【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率，
又，，所以，，
由图知，的最大值为.
5.D
6.B
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
∵过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，∴有，∴.
的周长为
（当且仅当时等号成立）
7.B
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；
所以直线斜率存在设为k，则直线l方程为，
联立直线得：，
联立直线得：，
所以直线l与直线，直线的交点为：，，
又直线l夹在两条直线和之间的线段恰被点P平分，
所以，，解得：，
所以直线l的方程为：
8.A
【详解】如图连接
由题意知：
；
令，则，∴
∵N，O，P，Q四点共面，∴（当且仅当时取等号），
∴；
设点C到平面的距离为d，则点P到平面的距离为，
又，，
∴，即的最小值为.
9.ACD
【详解】
对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确；
对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；
对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，，，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确；
对于D选项，因为向量，，所以在上的投影向量为，故D正确.
10.ACD
【详解】
选项A：：，令，得，过点，A正确；
选项B：当时，，重合，故B错误；
选项C：当时，由，得或2，故C正确；
选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
11.BCD
【详解】连接，，，，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
则，即，
A选项，若，，则，则P点与C点重合，，A选项错误.
B选项，若，则，，，，设平面的法向量为，则，故可设，
由于，由于平面，所以平面，所以B选项正确.
C选项，若，，则，，由于，所以平面，所以C选项正确.
D选项，若，时，，，则
，
设，，则，，，
则，
由于函数（）在上单调递减，在上单调递增，
，，，所以，所以，，，，，
所以，所以，D选项正确.
12.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，在x轴上的截距为1，则直线的方程为，即
13.
【详解】如图，以A为原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，
又，
取，，则，，
所以点P到直线的距离为.
14.
【详解】如图，取中点O，D在平面的投影F在上，，所以，易得，所以，所以
15．【详解】
（1）因为
由，则
又直线的方程为
则，得顶点C的坐标为
（2）设点，则，M在上
即，即
的方程为
则，得B的坐标为
又，所以直线BC的方程为
16.【详解】
（1）因为，，
所以，
所以
因为为直四棱柱，
所以，因为，，面，所以面
因为，所以面
因为面，所以
（2）由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
因为，，，.
所以，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，
∴，因为点B到平面的距离为
解得（舍负），
∴
17.【详解】
（1）解：如图所示，设，
以点O为坐标原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
在正方形中，由，可得
又因为，
所以，
所以，可得，
则，，，，，
因为M，N分别为，中点，可得，，
可得，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，，所以
设直线与平面所成角为，
可得
所以直线与平面所成角的正弦值
（2）解：因为，，，，，，
可得，，
设，可得
设平面的法向量为，则
令，可得，，所以
若平面，可得，
即可得，解得，所以
即存在点M，使得平面，此时的值为
18.解：
（1）把代入得：，
∴一次函数解析式为，令，得，∴
∴，，
∴的面积；
（2）①设，
∵P为射线上一点，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
∴，
∴，
又∵轴，则，
∴；
∴；
（3）设，过点N作于点M，
∵是等腰直角三角形，轴，点N在y轴上，
当N为直角顶点时，，，
∴，
∵，，，
解得或，
∵，
∴，
∴或
∴或
当P为直角顶点时，，
∴，，解得，
∴，
∴.
当Q为直角顶点时，，
∴，，解得，
∴，
∴.
综上所述：或或
图3
19.【详解】
（1）由题可知，直线l的一个方向向量坐标为
平面的一个法向量为
设直线l与平面所成角为，
则有，所以
直线l与平面所成角的余弦值为
（2）由题可知平面的法向量为
（3）设点在平面内的投影点为，易知与共线，故且在平面上，，令，
解得
故，由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，求的最小值，分析易知为将军饮马问题，设点A关于平面的对称点为，则为中点，故由中点公式，所以，
由几何关系可知
（3）由题可知平面的法向量，的方向向量，设平面的法向量，则有
整理得，不妨设，解得或；
故平面的法向量或
又直线在平面内，不妨取其上一点，
若，则平面为；
若，则平面为
综上，平面的点法式方程为：
或