河北省唐县第一中学2024-2025学年高二上学期10月考试数学试题

这是一份河北省唐县第一中学2024-2025学年高二上学期10月考试数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
3.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.B.C.D.
4.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.如图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）
A.B.C.1D.
5.已知点，，点是圆上任意一点，则△PAB面积的最小值为
A.6B.C.D.
6.已知正四面体的棱长为2，E是的中点，F在上，且，则（ ）
A.B.C.D.
7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于则半径r的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题
9.已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ）
A.椭圆的焦点在轴上B.椭圆的长轴长是
C.椭圆的焦距为4D.椭圆的离心率为
10.（多选）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆上有且只有一个点满足，则的取值可以是（ ）
A.1B.4C.3D.5
11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ）
A.该几何体的体积为
B.直线与平面所成角的正切值为
C.异面直线与的夹角余弦值为
D.存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
三、填空题
12.过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为_______.
13.已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，，则椭圆的离心率为_______.
14.如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是_______.
四、解答题
15.如图，已知圆：，点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设（1）中曲线为，直线与曲线交于两点，求线段的中点坐标和弦长.
16.已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程.
17.如图，已知平面，，，，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的大小.
18.如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
19.数学家欧拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若的顶点，，且的欧拉线的方程为，记外接圆圆心记为M.求：
（1）圆M的方程；
（2）已知圆N：，过圆M和圆N外一点P分别作两圆的切线，与圆M切于点A，与圆N切于点B，且，求P点的轨迹方程.
数学答案
1-8.AAAADCBB 9.ABD 10.AD 11.ABD
12.或 13. 14.
15.（1）连接，由题意得圆的圆心为，半径为4，且，
所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，其方程为.
（2）解：设
联立方程组，整理得，
则，且，
所以的中点坐标为，弦长.
16.（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径，
当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，
即化为一般式：，直线与圆相切，则，
即，解得，所以的方程为：，即.
综上，当直线与圆相切，直线的方程为或.
（2）圆：的圆心坐标，半径，
设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为，
所以，解得，圆的圆心为，半径为1.
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离.
若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得，
所以直线的方程为或
17.（1）取中点，连接，，，如图所示，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为点为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为，点为的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，
（3）由（1）得四边形为平行四边形，所以，
所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
因为平面，所以即为直线与平面所成角，
因为点为的中点，，
所以，，，
所以，由，所以，
所以直线与平面所成角为.
18.（1）由题意：，，∴，同理，
又，∴，∴.而，即
又平面平面，平面平面平面，
∴平面平面，∴，又，且面面，，∴平面.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，，
设，有，
取面的一个法向量，
则，，故.
令是平面的一个法向量，则，即
令，有，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19.（1）因，，则的中点为，
又，则的中垂线方程为，
将其与欧拉线方程联立有，解得，
故的外心为，则外接圆半径为，故圆M的方程为.
（2）设，由题有
，
.
因，则.
化简得：
所以点的轨迹方程为：.