2025届江苏省仪征市古井中学九年级数学第一学期开学复习检测试题【含答案】

这是一份2025届江苏省仪征市古井中学九年级数学第一学期开学复习检测试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A．B．C．a>1D．a<1
2、（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．B．C．D．x<3
3、（4分）将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3
4、（4分）下列说法中错误的是 （ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．每组邻边都相等的四边形是菱形
5、（4分）从﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3这六个数中，随机抽取一个数记作a，使关于x的分式方程有整数解，且使直线y＝3x+8a﹣17不经过第二象限，则符合条件的所有a的和是（ ）
A．﹣4B．﹣1C．0D．1
6、（4分）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为 ( )
A．A+B=C+DB．A+C=B+D
C．A+D=B+CD．以上都不对
8、（4分）如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110°B．35°C．70°D．55°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）等腰三角形的一个内角是30°，则另两个角的度数分别为___．
10、（4分） 如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1＝5，S2＝6，则AB的长为_____．
11、（4分）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______．
12、（4分）已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 ．
13、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的方差如下表：则这四人中发挥最稳定的是_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，两条垂线相交于点．
（1）线段，，的长分别为_______，_________，_________；
（1）折叠图1中的，使点与点重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点，交于点，连接，如图1．
①求线段的长；
②在轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
15、（8分）如图所示为一种吸水拖把，它由吸水部分、拉手部分和主干部分构成.小明在拖地中发现，拉手部分在一拉一放的过程中，吸水部分弯曲的角度会发生变化。设拉手部分移动的距离为吸水部分弯曲所成的角度为，经测量发现：拉手部分每移动，吸水部分角度变化.请回答下列问题：
（1）求出关于的函数解析式；
（2）当吸水部分弯曲所成的角度为时，求拉手部分移动的距离.
16、（8分）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G.
（1）求BGC的度数；
（2）若CE=1，H为BF的中点时，求HG的长度；
（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长.
17、（10分）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
18、（10分）如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.
（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；
（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，
①如图2，若∠ADC=60°，求的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）函数中，自变量x的取值范围是_____．
20、（4分）已知不等式组的解集如图所示（原点没标出，数轴长度为1，黑点和圆圈均在整数的位置），则a的值为______.
21、（4分）我们把“宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形”，矩形是黄金矩形，且，则__________．
22、（4分）若，则＝_____．
23、（4分）若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有 桶．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．
（1）求出y与m之间的函数关系式；
（2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
25、（10分）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
26、（12分）如图，在直角坐标系中，OA＝3，OC＝4，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点B(0，m)，记平行四边形ABCD的面积为S，请写出S与m的函数关系式，并求当BD取得最小值时，函数S的值；
(3)当点B在y轴上运动，能否使得平行四边形ABCD是菱形？若能，求出点B的坐标；若不能，说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
分析：根据二次根式有意义的条件可得a-1≥0，再解不等式即可．
详解：由题意得：a-1≥0，
解得：a≥1，
故选A．
点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2、B
【解析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：由题意得，3-x≥0，
解得，x≤3，
故选：B．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3、A
【解析】
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
【详解】抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1；
故选A
【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
4、A
【解析】
根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【详解】
A、一组对边平行的四边形是平行四边形，说法错误，有可能是梯形，应该是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此说法正确；
C、根据四边形的内角和为360°，可得四个内角都相等的四边形是矩形，故正确；
D、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确．
故选A．
本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
5、B
【解析】
先求出满足分式方程条件存立时a的值，再求出使直线y＝3x+8a﹣17不经过第二象限时a的值，进而求出同时满足条件a的值．
【详解】
解：解分式方程得：
x＝﹣，
∵x是整数，
∴a＝﹣3，﹣2，1，3；
∵分式方程有意义，
∴x≠0或2，
∴a≠﹣3，
∴a＝﹣2，1，3，
∵直线y＝3x+8a﹣17不经过第二象限，
∴8a﹣17≤0
∴a≤，
∴a的值为：﹣3、﹣2、﹣1、1、2，
综上，a＝﹣2，1，
和为﹣2+1＝﹣1，
故选：B．
本题主要考查了一次函数的性质以及分式方程的解的知识，解题的关键是掌握根的个数与系数的关系以及分式有意义的条件，此题难度不大．
6、C
【解析】
试题分析：移项得，，两边同时除以2得，．故选C．
考点：解一元一次不等式．
7、A
【解析】
分析：根据勾股定理和正方形的面积公式可以得到A+B=C+D．
详解：如图，∵a2+b2=e2，c2+d2=e2，∴a2+b2=c2+d2，∴A+B=C+D．
故选A．

点睛：本题考查了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8、C
【解析】
根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
故选C．
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、75°、75°或30°、120°．
【解析】
分为两种情况讨论,①30°是顶角;②30°是底角;结合三角形内角和定理计算即可
【详解】
①30°是顶角，则底角＝ （180°﹣30°）＝75°；
②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．
∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．
故答案是75°、75°或30°、120°．
此题考查等腰三角形的性质，难度不大
10、
【解析】
根据勾股定理得出S2+S1＝S3，求出S3，即可求出AB．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S1＝S3，
∵S1＝5，S2＝6，
∴S3＝11，
∴AB＝，
故答案为：．
本题考查了勾股定理和正方形的性质，能求出S3的值是解此题的关键．
11、
【解析】
二次函数图象平移规律：“上加下减,左加右减”，据此求解即可.
【详解】
将抛物线先向左平移个单位,再向下平移个单位后的解析式为:,
故答案为.
12、52
【解析】
解：已知AC=10cm，BD=24cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO=5，BO=12cm，
∴AB==13cm，
∴BC=CD=AD=AB=13cm，
∴菱形的周长为4×13=52cm
13、乙
【解析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
解：∵，
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
∴乙最稳定．
故答案为：乙．
本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）8；4；；（1）①线段AD的长为2；②点P的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，1）或（0，8）或（0，）．
【解析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，利用矩形的性质及勾股定理，可得出AB，BC，AC的长；
（1）①设AD=a，则CD=a，BD=8-a，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出a的值，进而可得出线段AD的长；
②设点P的坐标为（0，t），利用两点间的距离公式可求出AD1，AP1，DP1的值，分AP=AD，AD=DP及AP=DP三种情况，可得出关于t的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出t的值，进而可得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）如图：
当x=0时，y=-1x+8=8，
∴点C的坐标为（0，8）；
当y=0时，-1x+8=0，解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
由已知可得：四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=4，AC=．
故答案为：8；4；．
（1）①设AD=a，则CD=a，BD=8-a．
在Rt△BCD中，CD1=BC1+BD1，即a1=3+（8-a）1，
解得：a=2，
∴线段AD的长为2．
②存在，如图：
设点P的坐标为（0，t）．
∵点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（4，2），
∴AD1=12，AP1=（0-4）1+（t-0）1=t1+16，DP1=（0-4）1+（t-2）1=t1-10t+3．
当AP=AD时，t1+16=12，
解得：t=±3，
∴点P的坐标为（0，3）或（0，-3）；
当AD=DP时，12=t1-10t+3，
解得：t1=1，t1=8，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，8）；
当AP=DP时，t1+16=t1-10t+3，
解得：t=，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述：在y轴上存在点P，使得△APD为等腰三角形，点P的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，1）或（0，8）或（0，）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、两点间的距离以及解一元二次方程（或解一元一次方程），解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，C的坐标；（1）①通过解直角三角形，求出AD的长；②分AP=AD，AD=DP及AP=DP三种情况，找出关于t的一元二次方程（或一元一次方程）．
15、（1）；（2）拉手部分移动的距离为或.
【解析】
（1）根据拉手部分每移动，吸水部分角度变化，在拉手向上运动时，吸水部分弯曲所成的角度由180°到0°变化，拉手再向下时，吸水部分弯曲所成的角度由°到180°变化，由此即可求出关于的函数解析式；
（2）把代入（1）中所求的函数解析式，求出的值即可．
【详解】
解：（1）当在拉手向上运动时，拉手部分最大移动的距离为9cm，，
当拉手由顶端向下运动时即返回时，.
综上所述：
（2）由题意可知：当
①，
②，
当吸水部分弯曲的角度为时，
拉手部分移动的距离为或
本题考查了一次函数的应用，理解题意得出关于的函数解析式是解题的关键．
16、（1）90°；（2）；（3）△BGC的周长为
【解析】
（1）先利用正方形的性质和SAS证明△BCE≌△CDF，可得∠CBE=∠DCF，再利用角的等量代换即可求出结果；
（2）先根据勾股定理求出BF的长，再利用直角三角形的性质求解即可；
（3）根据题意可得△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，进一步依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而求出其周长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，
在△BCE和△CDF中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BGC=90°；
（2）如图，∵CE=1，∴DF=1，∴AF=2，
在直角△ABF中，由勾股定理得：，
∵H为BF的中点，∠BGF=90°，
∴；
（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9=6，
∴空白部分的面积为9－6=3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，∴ab=3，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15，
∴a+b=，即BG+CG=，
∴△BCG的周长=+3.
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质以及三角形面积问题，解题时注意数形结合思想与整体思想的应用．
17、四边形是菱形，证明见解析
【解析】
根据直角三角形的性质可证得DE=BE，再利用平行四边形的性质证明四边形BFDE是平行四边形，从而可得到结论．
【详解】
证明：∵，
∴是直角三角形，且是斜边（或），
∵是的中点，
∴，
∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质及菱形的判定，熟记各性质与判定定理是解题的关键．
18、（1），理由见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得，再证明是等边三角形，可得 ，由此可得；方法二：延长，交于点，证明ΔHBM为等边三角形，再证明∽ ，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得csα=，则OF=bcsα，DG=a+2bcsα，同理表示AH的长，代入计算即可．
【详解】
（1），
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴∥，.
∵四边形是菱形，

∴∥，.
∴∥，.
∴.
又∵，
∴≌ .
∴.
（2）方法1：过点作∥，交于点，
∴.
∵，
∴∽.
∴.
由（1）结论知.
∴.
∴.
∵四边形为菱形，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴∥.
∴.
∵∥，
∴.
∴，
即.
∴是等边三角形。
∴.
∴.
方法2：延长，交于点，
∵四边形为菱形，
∴.
∵四边形为平形四边形，
∴，∥.
∴.
,
即.
∴为等边三角形.
∴.
∵∥，
∴,.
∴∽ ，
∴.
由（1）结论知
∴.
∴.
∵,
∴ .
（3）. 如图3，连接EC交DF于O，
∵四边形CFED是菱形，
∴EC⊥AD，FD=2FO，
设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，
Rt△EFO中，csα=，
∴OF=bcsα，
∴DG=a+2bcsα，
过H作HM⊥AD于M，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=HD，
∴AM=AD=（2a+2bcsα）=a+bcsα，
Rt△AHM中，csα=，
∴AH=，
∴==csα．
本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角形、平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合及类比思想是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x≠1
【解析】
根据分母不等于0，可以求出x的范围；
【详解】
解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；
故答案是：x≠1，
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
20、2
【解析】
先解出关于x的不等式，由数轴上表示的解集求出的范围即可．
【详解】
解：，
不等式组整理得：，
由数轴得：，可得，
解得：，
故答案为2
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21、或
【解析】
根据黄金矩形的定义，列出方程进行解题即可
【详解】
∵矩形ABCD是黄金矩形
∴或
∴得到方程或
解得AB=2或AB=
本题考查黄金分割比的应用，本题的关键在于能够读懂黄金矩形的定义，对两边的关系进行分情况讨论
22、
【解析】
设＝m，则有x＝3m，y＝4m，z＝5m，代入原式即可得出答案．
【详解】
解：设＝m，
∴x＝3m，y＝4m，z＝5m，
代入原式得：．
故答案为．
本题考查了代数式求值和等比例的性质，掌握并灵活运用等比例性质是解答本题的关键.
23、1
【解析】
从俯视图中可以看出最底层方便面的个数及摆放的形状，从主视图可以看出每一层方便面的层数和个数，从左视图可看出每一行方便面的层数和个数，从而算出总的个数．所以三摞方便面是桶数之和为：3+1+2=1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）＝﹣200+15000（20≤m＜30）；（2） 购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元．
【解析】
（1）利润=一辆A型电动自行车的利润×A型电动自行车的数量+一辆B型电动自行车的利润×B型电动自行车的数量，依此列式化简即可；
（2）根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解；
【详解】
解：（1）计划购进A型电动自行车辆，B型电动自行车（30-）辆，
＝（2800-2500）m+（3500﹣3000）（30﹣m），
＝﹣200+15000（20≤m＜30），
（2）∵20≤＜30，且随的增大而减小可得，＝20时，有最大值，
＝﹣200×20+15000＝11000，
购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出y与m之间的函数关系式．
25、（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
（1）先提取公因式，然后用完全平方公式进行因式分解；（2）直接用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式，然后用平方差公式进行因式分解；（4）先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方公式进行因式分解
【详解】
解：（1）
=
=
（2）
=
（3）
=
=
（4）
=
=
本题考查了因式分解方法、乘法公式应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
26、（1）；(2) ①当m≤4时，S=－3m+12，②当m＞4时，S=3m－12（3）（0，）
【解析】
（1）根据OA、OC的长度求出A、C坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据点B的坐标可得出BC的长，结合平行四边形的面积公式求出S与m的关系式，再根据AD∥y轴即可求出当BD最短时m的值，将其代入解析式即可；
（3）根据菱形的性质找出m的值，从而根据勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）∵OA=3，OC=4，
∴A（-3，0）、C（0，4）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A（-3，0）、C（0，4）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的函数解析式为：．
（2）∵点B（0，m），四边形ABCD为以AC为对角线的平行四边形，
∴m≤4，BC=4-m，
∴S=BC•OA=-3m+12（m≤4）．
同法m＞4时，S=3m-12（m＞4）．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴当BD⊥y轴时，BD最小（如图1）．
∵AD∥OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四边形AOBD为矩形，
∴AD=OB=BC，
∴点B为OC的中点，即，
此时S=-3×2+12=1．
∴S与m的函数关式为S=-3m+12（m＜4），当BD取得最小值时的S的值为1．
（3）存在
当AB=CB时，平行四边形ABCD为菱形.
理由如下：
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
，
，
解得：，
．
本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）学会构建方程解决问题；
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
选手
甲
乙
丙
丁
方差（S2）
0.020
0.019
0.021
0.022