2024-2025学年吉林省长春八十九中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省长春八十九中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 2−x有意义，则实数x的取值范围为( )
A. x<2B. x≤2C. x>2D. x≥2
2.将一元二次方程3x+4=2x2化为一般形式为( )
A. 2x2−3x+4=0B. 2x2−3x−4=0C. 2x2+3x−4=0D. 2x2+3x+4=0
3.一元二次方程x2−4x−5=0经过配方后，可变形为( )
A. (x−2)2=1B. (x+2)2=−1C. (x−2)2=9D. (x+2)2=9
4.S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是( )
A. 1500(1+x)2=980B. 980(1+x)2=1500
C. 1500(1−x)2=980D. 980(1−x)2=1500
5.若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是( )
A. 2a=3bB. 3a=2bC. ba=23D. a−bb=13
6.已知三角形的三条中位线的长分别为5cm、7cm、10cm，则这个三角形的周长是( )
A. 22cmB. 27cmC. 39cmD. 44cm
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( )
A. 12B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： 2× 5= ．
10.若关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个相等的实数根，则k的值是______．
11.如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是______．
12.已知小颖身高160cm，她的影子长度100cm.若与此同时，小东的影子比小颖的影子长10cm，则小东的身高是______．
13.如图，AD/​/BE/​/CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若ABBC=23，DE=6，则DF的长为______．
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15.求值：2cs60°+2sin30°+4tan45°．
16.解方程：2x2+x−6=0．
17.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c=30，∠A=60°，解这个直角三角形．
18.如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,−3)、B(2,−1).请以点O为位似中心，在x轴的上方将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA′B′．
(1)在平面直角坐标系中画出△OA′B′．
(2)直接写出△OA′B′的面积为______．
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值．
20.如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米 ​2，则修建的路宽应为多少米？
21.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．
22.如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12米到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为60°，求建筑物AB的高度(答案保留根号)．
23.如图梯形ABCD中，AB/​/CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB=9，求BM．
24.如图，在▱ABCD中，∠ABD=90°，AD=5，BD=3，点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动(点P不与点A、B、C重合).在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=2，MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t(秒)．
(1)当t=5时，求线段CP的长；
(2)求线段PQ的长(用含t的代数式表示)；
(3)当点M落在BD上时，求t的值；
(4)当矩形PQMN与▱ABCD重叠部分图形为五边形时，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：要使 2−x有意义，必须
2−x≥0，
解得：x≤2，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件得出2−x≥0，再求出x即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件是解此题的关键，注意： a中a≥0．
2.【答案】B
【解析】解：3x+4=2x2，
3x+4−2x2=0，
−2x2+3x+4=0，
2x2−3x−4=0，
故选：B．
首先移项，把等号右边化为0即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
3.【答案】C
【解析】解：方程x2−4x−5=0，
移项得：x2−4x=5，
配方得：x2−4x+4=9，即(x−2)2=9．
故选：C．
方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：依题意得：第一次降价的售价为：1500(1−x)，
则第二次降价后的售价为：1500(1−x)(1−x)=1500(1−x)2，
∴1500(1−x)2=980．
故选C．
本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是1−x而不是1+x．
5.【答案】B
【解析】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、ba=23⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、a−bb=13⇒a：b=4：3，故选项错误．
故选B．
根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
6.【答案】D
【解析】解：∵三角形的三条中位线的长分别是5cm、7cm、10cm，
∴三角形的三条边分别是10cm、14cm、20cm，
∴这个三角形的周长=10+14+20=44(cm)，
故选：D．
根据三角形中位线定理可分别求得三角形各边的长，从而可求得其周长．
此题主要考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为 2，2， 10，
A、因为三边分别为： 2， 5，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1， 2， 5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1， 5，2 2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分别为：2， 5， 13，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE/​/BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A′E=A′C=13AC，
∴EDBC=AEAC，
即ED6=13，
∴ED=2．
故选：B．
△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比．
9.【答案】 10
【解析】【分析】
此题考查了二次根式的乘除法运算，属于基础题，注意掌握 a⋅ b= ab．
根据 a⋅ b= ab进行运算即可．
【解答】
解：原式= 2×5= 10．
故答案为： 10．
10.【答案】−94
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个相等的实数根，
∴△=32+4k=9+4k=0，
解得：k=−94．
故答案为：−94．
11.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，
∵点E是BC边的中点，
即BE=CE，
∴OE=12AB，
∵OE=1，
∴AB=2．
故答案为：2．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．
此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
12.【答案】176cm
【解析】解：设小东的身高为x cm，
由题意得，160100=x100+10，
解得：x=176cm，
故答案为：176cm．
设小东的身高为xcm，根据三角形相似的性质得出同一时刻同一地点物体的高度和影长的比相等得出160100=x100+10，求解即可．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比例是解答此题的关键．
13.【答案】15
【解析】解：∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBC=DEEF=23，
∵DE=6，
∴EF=9，
∴DF=EF+DE=9+6=15．
故答案为：15．
直接利用平行线分线段成比例定理进而得出ABBC=DEEF，再将已知数据代入求出即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】 2
【解析】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2 2．
∴tan∠BAD′=BD′AB=2 22= 2．
故答案为： 2．
根据勾股定理求出BD的长，即BD′的长，根据三角函数的定义就可以求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，注意本题中BD′=BD．
15.【答案】解：原式=2×12+2×12+4×1
=6．
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
16.【答案】解：分解因式得：(2x−3)(x+2)=0，
可得2x−3=0或x+2=0，
解得：x1=1.5，x2=−2．
【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程利用因式分解法求出解即可．
17.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°．
∵c=30，
∴b=c⋅cs∠A=30×cs60°=30×12=15，a=c⋅sin∠A=30×sin60°=30× 32=15 3．
【解析】由题意得∠B=30°，结合锐角三角函数的定义可得b=c⋅csA=30×12=15，a=c⋅sinA=30× 32=15 3．
本题考查解直角三角形、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】(1)如图所示：△OA′B′，即为所求；
(2)16
【解析】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用△OA′B′所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
△OA′B′的面积为：6×8−12×4×8−12×2×4−12×4×6=16．
故答案为：16．
19.【答案】解：∵∠C=90°，AC=15，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 289=17，
∴sinA=BCAB=817；
csA=ACAB=1517；
tanA=BCAC=815．
【解析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
20.【答案】解：设修建的路宽为x米．
则列方程为20×30−(30x+20x−x2)=551，
解得x1=49(舍去)，x2=1．
答：修建的道路宽为1米．
【解析】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等．设路宽为x米，则道路面积为30x+20x−x2，所以耕地面积为551=20×30−(30x+20x−x2)，解方程即可．
21.【答案】解：(1)△ABE与△ADF相似．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∠AEB=∠DAF，
∴△ABE∽△DFA．
(2)∵△ABE∽△ADF
∴AEAD=ABDF，
∵在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，
∴AE=10
∴DF=AB⋅ADAE=6×1210=7.2．
答：DF的长为7.2．
【解析】(1)根据矩形的性质和DF⊥AE，可得∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，即可证明△ABE∽△DFA．
(2)利用△ABE∽△ADF，得AEAD=ABDF，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将已知数值代入即可求出DF的长．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、勾股定理和矩形的性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
22.【答案】解：由题意得，∠C=30°，∠ADB=60°，CD=12m，AB⊥BC，
∴在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABBD= 3，
设BD=x,AB= 3x，则BC=12+x，
在Rt△ACB中，tanC=ABBC= 33，
∴ 3x12+x= 33，
解得：x=6，
∴AB=6 3m，
答：建筑物AB的高度为6 3m．
【解析】先解Rt△ADB，由tan∠ADB=ABBD= 3得到BD=x,AB= 3x，则BC=12+x，再解Rt△ACB，得到 3x12+x= 33，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB=2CD，点E是AB的中点，
∴DC=EB．
又∵AB/​/CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∴ED/​/BC．
∴∠EDB=∠FBM．
又∵∠DME=∠BMF，
∴△EDM∽△FBM．
(2)解：由F为BC的中点，得到BC=2FB，
又四边形DCBE为平行四边形，得到DE=BC，
则DE=2FB，即FB：DE=1：2，
∴△FMB与△EMD的相似比为1：2，
即DM：MB=2：1，又BD=9，
设DM=2k，MB=k，
所以BD=BM+MD=k+2k=9，解得k=3，
则BM=3．
【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及比例的性质，要证明比例问题常常把各边放入两三角形中，利用相似解决问题，证明相似的方法有：两对对应边相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似等，此外学生在做第二问时要注意借助已证的结论．
(1)先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到ED/​/BC，于是得到∠EDB=∠FBM，又因为∠DME=∠BMF，从而可证明△EDM∽△FBM；
(2)由F为BC的中点，得到BC=2FB，又由(1)得到的四边形BCDE为平行四边形，可得对边BC=ED，等量代换可得DE=2FB，由(1)得到△FMB与△EMD的相似比为1：2，即得到DM：MB=2：1，设出DM=2k与MB=k，根据BD的长列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而得到BM的长．
24.【答案】解：(1)如图1中，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=90°，AD=5，BD=3，
∴AB= AD2−BD2=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，CD=AB=4，
当t=5时，点P在BC上，PB=1，
∴PC=4．
(2)①如图2中，当0∵PQ/​/BD，
∴PQBD=APAB，
∴PQ3=t4，
∴PQ=34t.
②如图3中，当5∵PQ/​/BD，
∴PQBD=CPCB，
∴PQ3=9−t5，
∴PQ=35(9−t)．
(3)①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，
∵QM/​/AB，
∴QMAB=DQAD，
∴24=DQ5，
∴DQ=52，
∴AQ=DQ，
∵PQ/​/BD，
∴AP=PB=2，
∴t=2．
②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时，
易知QM=QC=2，PB=PC=52，
此时t=4+52=132．
(4)①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2②如图7中，当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN时，4
【解析】(1)如图1中，利用勾股定理求出AB的长，t=5时，点P在线段BC上，易知PB=1，PC=4；
(2)分两种情形求解即可①如图2中，当0(3)分两种情形求解即可①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，求出AP.②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时；
(4)分两种情形分别求解即可①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题．