2025届江苏省常州市武进区数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份2025届江苏省常州市武进区数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE,请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF,
这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）
A．小青B．小何C．小夏D．小雨
2、（4分）如图，点O(0，0)，A(0，1)是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A7的坐标是( )
A．(-8，0)B．(8，-8)C．(-8，8)D．(0，16)
3、（4分）下列各点中在函数y=2x+2的图象上的是（ ）
A．（1，-2）B．（-1，-1）C．（0，2）D．（2，0）
4、（4分）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
5、（4分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，顶点 C的坐标为（﹣3，4），反比例函数 y  的图象与菱形对角线 AO 交于 D 点，连接 BD，当 BD⊥x 轴时，k的值是（ ）
A．B．C．﹣12D．
6、（4分）当分式有意义时，字母x应满足（ ）
A．x≠1B．x＝0C．x≠－1D．x≠3
7、（4分）若等腰的周长是，一腰长为，底边长为，则与的函数关系式及自变量的取值范围是
A．B．
C．D．
8、（4分）把一元二次方程化为一般形式，正确的是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分解因式：______．
10、（4分）若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________．
11、（4分）如图，点是平行四边形的对角线交点，，是边上的点，且；是边上的点，且，若分别表示和的面积，则__________．
12、（4分）如图，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，已知背水坡CD的
坡度i＝1：2.4，CD长为13米，则河堤的高BE为 米．
13、（4分）如图矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=__．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
15、（8分）已知与成正比例，且当时，，则当时，求的值.
16、（8分）为了对某市区全民阅读状况进行调查和评估，有关部门随机抽取了部分市民进行每天阅读时间情况的调查，并根据调查结果制做了如下尚不完整的频数分布表（被调查者每天的阅读时间均在0﹣120分钟之内）
（1）被调查的市民人数为多少，表格中，m，n为多少；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某市区目前的常住人口约有118万人，请估计该市区每天阅读时间在60～120分钟的市民大约有多少万人？
17、（10分）计算：
（1）2﹣+；
（2）（3+）×（﹣5）
18、（10分）已知a、b、c满足(a﹣3)2|c﹣5|=1．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）分解因式：________.
20、（4分）化简的结果为___________
21、（4分）如图，以的两条直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分的面积为_____．
22、（4分）设甲组数：1，1，2，5的方差为S甲2，乙组数是：6，6，6，6的方差为S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是S甲2_____S乙2（选择“＞”、“＜”或“=”填空）．
23、（4分）下列4个分式：①；②；③ ；④，中最简分式有_____个．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：（1） ；
（2）
25、（10分）如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，证：四边形AECF是平行四边形.
26、（12分）如图在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
(1)求点B的坐标；
(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由；
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据平行四边形的性质可得OA=OC，CD∥AB，从而得∠ACE=∠CAF，可判断出小雨的结论正确，证明△EOC≌△FOA，可得OE=OF，判断出小青的结论正确，由△EOC≌△FOA继而可得出S四边形AFED=S四边形FBCE，判断出小夏的结论正确，由△EOC≌△FOA可得EC=AF，继而可得出四边形DFBE是平行四边形，从而可判断出四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，判断出故小何的结论错误即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，CD∥AB，
∴∠ACE=∠CAF，（故小雨的结论正确），
在△EOC和FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE=OF（故小青的结论正确），
∴S△EOC=S△AOF，
∴S四边形AFED=S△ADC=S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED=S四边形FBCE，（故小夏的结论正确），
∵△EOC≌△FOA，
∴EC=AF，∵CD=AB，
∴DE=FB，DE∥FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD=OB，EO⊥DB，
∴ED=EB，
∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，（故小何的结论错误），
故选B．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等，综合性较强，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
2、C
【解析】
根据正方形的性质，依次可求A2(2，0)，A3(2，2)，A4(0，-4)，A5(-4，-4)，A6(-8，0)，A7(-8，8)．
【详解】
解：∵O(0，0)，A(0，1)，
∴A1(1，1)，
∴正方形对角线OA1=，
∴OA2=2，
∴A2(2，0)，
∴A3(2，2)，
∴OA3=2，
∴OA4=4，
∴A4(0，-4)，A5(-4，-4)，A6(-8，0)，A7(-8，8)；
故选：C．
本题考查点的规律；利用正方形的性质，结合平面内点的坐标，探究An的坐标规律是解题的关键．
3、C
【解析】
把选项中的点的坐标分别代入函数解析式进行判断即可．
【详解】
A. 当x=1时,y=2×1+2=4≠-2,故点(1,-2)不在函数图象上；
B. 当x=-1时,y=2×（-1）+2=0≠-1,故点(-1,-1)不在函数图象上；
C. 当x=0时,y=2×0+2=2,故点(0,2)在函数图象上；
D. 当x=2时,y=2×2+2=6≠0,故点(2,0)不在函数图象上；
故选C.
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式.
4、A
【解析】
利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长．
【详解】
在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC=2∠FBD．
在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF=∠DFB，
∴FD=BD=BC=×6=1．
故选：A．
考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
5、B
【解析】
先利用勾股定理计算出OC=5，再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5，AC∥OB，则B（-5，0），A（-8，4），接着利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-x，则可确定D（-5，），然后把D点坐标代入y=中可得到k的值．
【详解】
∵C(−3,4)，
∴OC==5，
∵四边形OBAC为菱形，
∴AC=OB=OC=5,AC∥OB，
∴B(−5,0),A(−8,4)，
设直线OA的解析式为y=mx，
把A(−8,4)代入得−8m=4,解得m=−，
∴直线OA的解析式为y=-x，
当x=−5时,y=-x =,则D(−5,)，
把D(−5,)代入y=，
∴k=−= .
故选B.
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质.
6、A
【解析】
分式有意义，分母不为零．
【详解】
解：当，即时，分式有意义；
故选：A．
本题考查了分式有意义的条件．（1）若分式无意义，则分母为零；（2）若分式有意义，则分母不为零．
7、C
【解析】
根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式.
【详解】
依题意，，
根据三角形的三边关系得，
，得，
，得，
得，，
故与的函数关系式及自变量的取值范围是：，
故选．
本题考查了一次函数的应用，涉及了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围．
8、D
【解析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
【详解】
由得
故选：D
本题考查了一元二次方程的一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据因式分解的定义:将多项式和的形式转化为整式乘积的形式;先提公因式,再套用完全平方公式即可求解.
【详解】
,
=,
=,
故答案为:.
本题主要考查因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
10、1
【解析】
先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解．
【详解】
由题意可知，（1+a+7+8+3）÷5=5，
a=3，
这组数据从小到大排列3，3，1，7，8，
所以，中位数是1．
故答案是：1．
考查平均数与中位数的意义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
11、3：1
【解析】
根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得，，再由点O是▱ABCD的对角线交点，根据平行四边形的性质可得S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，从而得出S1与S1之间的关系．
【详解】
解：∵，，
∴S1＝S△AOB，S1＝S△BOC．
∵点O是▱ABCD的对角线交点，
∴S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，
∴S1：S1＝：＝3：1，
故答案为：3：1．
本题考查了三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出，是解答本题的关键．
12、1
【解析】
在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．
解：作CF⊥AD于F点，
则CF=BE，
∵CD的坡度i=1：2.4=CF：FD，
∴设CF=1x，则FD=12x，
由题意得CF2+FD2=CD2
即：（1x）2+（12x）2=132
∴x=1，
∴BE=CF=1
故答案为1．
本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用．
13、
【解析】
试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
试题解析：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，
由勾股定理，AB=．
【考点】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形；4.直角三角形斜边上的中线；5.勾股定理．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、C1的坐标为：（﹣3，﹣2）
【解析】
直接利用关于原点对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案．
【详解】
如图所示：△A1B1C1，即为所求，点C1的坐标为：（﹣3，﹣2）．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
15、12.
【解析】
利用正比例函数的定义，设y=k（x-2），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；再将x=5代入已求解析式，从而可求出y的值.
【详解】
设，
把代入得
，
解得，
∴，
即，
当时，
.
本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
16、（1）1000，100，0.05；（2）根据（1）补图见解析；（3）估计该市区每天阅读时间在 60～120分钟的市民大约有17.7万人．
【解析】
（1）根据0≤x＜30的频数和频率先求出总人数，用总人数乘以60≤x＜90的频率求出m，用90≤x≤120的频数除以总人数求出n；
（2）根据（1）求出的总人数，补全统计图即可；
（3）用常住人口数乘以阅读时间在60～120 分钟的人数的频率即可得出答案．
【详解】
（1）根据题意得：被调查的市民人数为＝1000（人），
m＝1000×0.1＝100，
n＝＝0.05；
（2）根据（1）补图如下：
（3）根据题意得：118×（0.1+0.05）＝17.7（万人）
估计该市区每天阅读时间在 60～120分钟的市民大约有17.7万人．
故答案为（1）1000，100，0.05；（2）根据（1）补图见解析；（3）估计该市区每天阅读时间在 60～120分钟的市民大约有17.7万人．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
17、（1）3（2）－2－13
【解析】
（1）先化简，再合并同类项即可求解．
（2）利用二次根式的乘除法运算即可．
【详解】
（1）2﹣+＝6－4＋＝3
（2）（3+）×（﹣5）＝3－15＋2－5＝－2－13
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
18、（1）a=3，b=4，c=5；（2）能构成三角形，且它的周长=2．
【解析】
（1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案；
（2）根据勾股定理的逆定理即可证明三角形是直角三角形，再计算周长即可.
【详解】
（1）∵，
又∵(a﹣3)2≥1，，|c﹣5|≥1，
∴a﹣3=1，b﹣4=1，c﹣5=1，
∴a=3，b=4，c=5；
（2）∵32+42=52，
∴此△是直角三角形，
∴能构成三角形，且它的周长l=3+4+5=2．
此题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，勾股定理的逆定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、.
【解析】
首先提取公因式3ab，再运用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】
解：=
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式．掌握完全平方公式的特点：两个平方项，中间一项是两个底数的积的2倍，难点在于要进行二次因式分解．
20、
【解析】
根据二次根式的性质即可化简.
【详解】
依题意可知m＜0，
∴=
此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟知二次根式的性质.
21、
【解析】
根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，即可得到结论．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，
S阴影=（AC2+BC2）=×25=，
故答案为．
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
22、＞
【解析】
根据方差的意义进行判断．
【详解】
因为甲组数有波动，而乙组的数据都相等，没有波动，
所以s甲1＞s乙1．
故答案为：＞．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
23、①④
【解析】
根据最简分式的定义逐式分析即可.
【详解】
①是最简分式；②=，不是最简分式 ；③=，不是最简分式；④是最简分式.
故答案为2.
本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）10 ；（2）
【解析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，即可解答.
【详解】
（1）原式= ；
（2）
=
= ；
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
25、答案见解析
【解析】
首先连接AC交EF于点O，由平行四边形ABCD的性质，可知OA=OC，OB=OD，又因为BE=DF，可得OE=OF，即可判定AECF是平行四边形.
【详解】
证明：连接AC交EF于点O；
∵平行四边形ABCD
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF，
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形.
此题主要考查平行四边形的判定定理，关键是找出对角线互相平分，即可解题.
26、 (1)点B的坐标为B(3，)；(2)∠ABQ＝90°，始终不变，理由见解析；(3)P的坐标为(﹣3，0)．
【解析】
（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2 ，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的负半轴上，再根据全等三角形的性质即可得出结果
【详解】
(1)如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，
∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝，OC＝＝3，
∴点B的坐标为B(3，)；
(2)∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠QAB，
在△APO与△AQB中，，
∴△APO≌△AQB(SAS)，
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；
(3)如图2，∵点P在x轴负半轴上，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ＝3，
由(2)可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝3，
∴此时P的坐标为(﹣3，0)．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用三角形全等的性质解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
阅读时间x（分钟）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x≤120
频数
450
400
m
50
频率
0.45
0.4
0.1
n