山西省吕梁市文水县2024-2025学年数学九年级上学期开学质量检测模拟试题

这是一份山西省吕梁市文水县2024-2025学年数学九年级上学期开学质量检测模拟试题，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题均
有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，3），△OAB 沿 x 轴向右平移后 得到△O′A′B′，点 A 的对应点在直线 y  34 x 上一点，则点 B 与其对应点 B′间的距离为
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9
A． B．3
C．4
D．5
4
2、（4 分）如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，BC=1， CE=2，连接 BD，则 BD 的长为（ ）

B．2
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
（4 分）在平面直角坐标系中，若点

C．2
与点

D．
关于原点对称，则点
在( ) A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4、（4 分）如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔高度 y （单位：m ）关于上升时间 x （单位： min ）的函数图像.有下列结论：
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x 10 时，两个探测气球位于同一高度
x 10 时，乙气球位置高；
0  x 10时，甲气球位置高；
其中，正确结论的个数是（ ）
D． 3 个
线 ，
轴，分别过点 、
A．0 个
B．1个
5、（4 分）如图，点 在双曲
C． 2 个
上，点 在双曲线
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向 轴作垂线，垂足分别为 、 .若矩形
的面积是 ，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6、（4 分）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线 A 的全程是
25 千米，但交通比较拥堵，路线 B 的全程比路线 A 的全程多 7 千米，但平均车速比走路线 A 时能提高 60%，若走路线 B 的全程能比走路线 A 少用 15 分钟．若设走路线 A 时的平均 速度为 x 千米/小时，根据题意，可列分式方程( )
25 32 32 25
A．  ＝15 B．  15
x 1.6x 1.6x x
32 25 1 25 32 1
C．   D．  
1.6x x 4 x 1.6x 4
7、（4 分）下列根式中是最简根式的是（ ）

B．
A．

D． C．

b a
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8、（4 分）下列分解因式正确的是 ( )
A． a2 9  (a 3)2
C． a2  6a  9  (a  3)2
B． 4a  a2  a4 a D． a2  2a 1 aa  2 1
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
9、（4 分）直角三角形的两边长分别为 3 和 5,则第三条边长是 .
10、（4 分）若□ABCD 中，∠A=50°，则∠C= °．
11、（4 分）若 a   6 ，则 a  的值为 .1 1
a a
12、（4 分）如图，已知 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，CD 是斜边上的中线，BC=12，AC=5，那
么 CD= .
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ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD＝60°，AE＝2cm，AC+BD＝14cm，则△OBC
13、（4 分）▱
的周长是 cm．
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分）
14、（12 分）阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式 2x2+x+a 有一个因式是（x+2），求
另一个因式以及 a 的值
解：设另一个因式是（2x+b），
根据题意，得 2x2+x+a=(x+2)(2x+b)，
展开，得 2x2+x+a =2x2+(b+4)x+2b，
所以  ，解得  ，b  4 1 a  6
a  2b b  3
所以，另一个因式是（2x−3），a的值是−6.
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式 3x2 10x  m
有一个因式是（x+4），求另一
15、（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD，点 E个因式以及 m 的值.
为 AB 的中点，连结 DE
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（1）证明 DE∥CB；
（2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形．
16、（8 分）某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元．经市场预测，销售定价为 52 元 时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定价每减少 1 元，销售量净增 加 10 个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过 180 个，商店若将准备获利 2000 元， 则应进货多少个？定价为多少元？
17、（10 分）小聪从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然 后走回家，如图是小聪离家的距离 y （单位：km ）与时间 x （单位：min ）的图象。根据 图象回答下列问题：学校 班级 姓名 考场 准考证号
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（1）体育场离小聪家 km ；
（2）小聪在体育场锻炼了 min ；
（3）小聪从体育场走到文具店的平均速度是 km / min ；
（4）小聪在返回时，何时离家的距离是1.2km ？
18、（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE
（1）求证：CE=CF；
若点 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？
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B 卷（50 分）
一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
19、（4 分）把直线 y=﹣2x+1 沿 y 轴向上平移 2 个单位，所得直线的函数关系式为
DE 1
20、（4 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 翻折到点 E 处，如果  ，


那么 ADAB  . AC 3
21、（4 分）过某矩形的两个相对的顶点作平行线，再沿着平行线剪下两个直角三角形，剩 余的图形为如图所示的▱ABCD，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则原来矩形的面积是 ．
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22、（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，E 是 AB 的中点，CF 平分∠DCE，交 AD 于 F，则 AF 的长为 ．
x  2  0
23、（4 分）若不等式组  无解，则 a 的取值范围是 ．
3  x  a
二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分）
24、（8 分）如图，某学校有一块长为 30 米，宽为 10 米的矩形空地，计划在其中修建两块 相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
1 若设计人行通道的宽度为 2 米，那么修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米？
2若要修建的两块矩形绿地的面积共为 216 平方米，求人行通道的宽度．
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点C, 动点 D 沿
D 作 x 轴的垂线，交
处，设点 D 的运动时间为t 秒．
25、（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 AB：y＝ x＋4 交 x 轴于点 A，
交 y 轴于点 B．直线 CD：y＝－ x－1 与直线 AB 相交于点 M，交 x 轴于点 C，交 y 轴于1
3
点 D．
(1)直接写出点 B 和点 D 的坐标．
若点 P 是射线 MD 的一个动点，设点 P 的横坐标是 x，△PBM 的面积是 S，求 S 与 x 之 间的函数关系，并指出 x 的取值范围．
当 S＝10 时，平面直角坐标系内是否存在点 E，使以点 B，E，P，M 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，共有几个这样的点？请求出其中一个点的坐标（写出求解过程）；若
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不存在，请说明理由．
26、（12 分）如图，抛物线 y  ax2  bx  3与 x 轴交于两点 A30,  和 B 1,0,与 y 轴交于
ABC 的边 AB 以每秒 2个单位长度的速度由起点 A向终点 B 运动，过点
ABC 的另一边 AC 于点 E, 将
ADE 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 F
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（1）求抛物线的解析式；
（2）N 为抛物线上的点(点 N 不与点 C 重合)且满足 SNAB  S ABC 直接写出 N 点的坐标；
（3）是否存在某一时刻t ，使 存在，请说明理由．EFC 的面积最大，若存在，求出t 的值和最大面积；若不
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参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有 一项符合题目要求）
1、C
【解析】
试题分析：如图，连接 AA′、BB′，
∵点 A 的坐标为（0，3），△OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点 A′的纵坐标是 3。学校 班级 姓名 考场 准考证号
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3 3
又∵点 A 的对应点在直线 y  x 上一点，∴3  x ，解得 x=4。
4 4
∴点 A′的坐标是（4，3）。
∴AA′=4。
∴根据平移的性质知 BB′=AA′=4。 故选 C。
2、D 【解析】
作 DF⊥CE 于 F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可． 【详解】
过 D 作 DF⊥CE 于 F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1， 在直角三角形 CDF 中，根据勾股定理，得：DF2=CD2-CF2=22-12=3， 在直角三角形 BDF 中，BF=BC+CF=1+1=2，



根据勾股定理得：BD=   ， 故选 D.
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本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理 是解题的关键.
3、C 【解析】
直接利用关于关于原点对称点的性质得出 m，n 的值，进而得出答案． 【详解】
解：∵点 M（m，n）与点 Q（−2，3）关于原点对称，
∴m＝2，n＝−3，学校 班级 姓名 考场 准考证号
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则点 P（m＋n，n）为（−1，−3），在第三象限． 故选：C．
此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确得出 m，n 的值是解题关键．
4、D 【解析】
根据图象进行解答即可． 【详解】
解：①当 x=10 时，两个探测气球位于同一高度，正确；
②当 x＞10 时，乙气球位置高，正确；
③当 0≤x＜10 时，甲气球位置高，正确； 故选：D．
本题考查了一次函数的应用、解题的关键是根据图象进行解答．
5、A 【解析】
首先得出矩形 EODA 的面积为：4，利用矩形 ABCD 的面积是 8，则矩形 EOCB 的面积为： 4+8=1，再利用 xy=k 求出即可．
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【详解】
过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E，
∵点 A 在双曲线 上，
∴矩形 EODA 的面积为：4，
∵矩形 ABCD 的面积是 8，
∴矩形 EOCB 的面积为：4+8=1， 则 k 的值为：xy=k=1．学校 班级 姓名 考场 准考证号
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故选 A．
此题主要考查了反比例函数关系 k 的几何意义，得出矩形 EOCB 的面积是解题关键．
6、D 【解析】
解：设走路线 A 时的平均速度为 x 千米/小时，根据题意得： ﹣ = ．故选 D．
25 32 1
1.6x 4
7、B 【解析】
试题解析：A 选项中，被开方数中含 b2，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；

B 选项中， 的被开方数不能因式分解，不含开方开的尽的因式，是最简二次根式，
故本选项正确；
C 选项中，被开方数含分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
2D 选项中，被开方数含能开得尽方的因数a b ，所以它不是最简二次根式，故本选项错
误. 故选 B.
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8、C 【解析】
根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可. 【详解】
2a 9  a 3）（a 3，分解因式不正确；
24a  a  a 4  a ，分解因式不正确；
a2  6a  9  (a  3)2
，分解因式正确；
22
a  2a 1  a 1 ，分解因式不正确.
故选：C
本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解的方法.
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）学校 班级 姓名 考场 准考证号
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9、4 或
【解析】
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分 5 是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨 论．
【详解】
∵直角三角形的两边长分别为 3 和 5，

∴①当 5 是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为 x，则 x= =4；

，
5 是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为 x，则 x= =

综上所述，第三边的长为 4 或 ，

故答案为：4 或 .
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于 斜边长的平方是解答此题的关键．注意分类讨论思想的运用.
10、50
【解析】
因为平行四边形的对角相等,所以∠C=50°,故答案为: 50°.
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11、± .
【解析】
由a  1  可得(a  1)2  6 ，化简即可得到a2  1  8，再计算(a  1)2 10 ，即可
a a a2 a
求得a  1a =± .
【详解】
∵a  1  ，
a
∴(a  1a)2  6 ，
∴a2  1a2  8 ，
∴(a  )  a  2   8  2 10 ，2
2
2
1 1
a a
∴a  1a =± .学校 班级 姓名 考场 准考证号
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故答案为：± .
2本题考查了完全平方公式的变形应用，正确求得a  1a2  8 是解决问题的关键.
12、6.5
【解析】
【分析】根据勾股定理求 AB，根据直角三角形斜边上的中线性质求 CD.

【详解】由勾股定理可得：AB=
13 ,
因为，CD 是斜边上的中线，
所以，CD= AB  13  6.51 1
2 2
故答案为 6.5
【点睛】本题考核知识点：勾股定理，直角三角形斜边上的中线. 解题关键点：熟记勾股定 理，直角三角形斜边上中线的性质.
13、1． 【解析】
首先根据平行四边形基本性质，AE⊥BD，∠EAD=60°，可得∠ADE=30°，然后再根据直角 三角形的性质可得 AD=2AE=4cm，再根据四边形 ABCD 是平行四边形可得 AO=CO，
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BO=DO，BC=AD=4cm，进而求出 BO+CO 的长，然后可得△OBC 的周长．
【详解】
∵AE⊥BD,∠EAD=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE=4cm，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，BC=AD=4cm，
∵AC+BD=14cm，
∴BO+CO=7cm，
∴△OBC 的周长为：7+4=1(cm)， 故答案为 1
本题考查平行四边形的基本性质，解题关键在于根据直角三角形的性质得出 AD=2AE=4cm
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三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分）
14、另一个因式是（3x-2）， m 的值是-8 【解析】
设另一个因式为（3x+b），然后列方程组求解即可． 【详解】
设另一个因式是（3x+b），
根据题意，得 3x2+10x+m=(x+4)(3x+b)， 展开，得 3x2+10x+m =3x2+(b+12)x+4b，
b 12 10 m  8
所以  ，解得  ，
m  4b b  2
所以，另一个因式是（3x-2）， m 的值是-8.
本题考查了解二元一次方程组与因式分解，解题的根据是熟练的掌握解二元一次方程组与因 式分解的相关知识点.
15、（1）见解析
（2）当AC  12 AB 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形．
【解析】
（1）首先连接 CE，根据直角三角形的性质可得 CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质
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可得 AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150° 可证明 DE∥CB．
（2）当AC  12 AB 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形．若四边形 DCBE 是平行 四边形，则 DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出答案． 【详解】
解：（1）证明：连结 CE，
∵点 E 为 Rt△ACB 的斜边 AB 的中点，
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∴CE= 12 AB=AE．
∵△ACD 是等边三角形，∴AD=CD．
AD  DC 在△ADE 与△CDE 中，{DE  DE ，
AE  CE
∴△ADE≌△CDE（SSS）
∴∠ADE=∠CDE=30°
∵∠DCB=150°
∴∠EDC+∠DCB=180°
∴DE∥CB
（2）∵∠DCB=150°，若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
AC AC 1
在 Rt△ACB 中，sinB= ，即 sin30°= 
AB AB 2
∴AC  12 AB 或 AB=2AC．
∴当AC  12 AB 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形．
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是
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掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
16、该商品每个定价为 1 元，进货 100 个.
【解析】
利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与 x 的关系式，求出即可． 解：设每个商品的定价是 x 元，
由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，
整理，得 x2﹣110x+3000=0， 解得 x1=50，x2=1．
当 x=50 时，进货 180﹣10（50﹣52）=200 个＞180 个，不符合题意，舍去； 当 x=1 时，进货 180﹣10（1﹣52）=100 个＜180 个，符合题意．
答：当该商品每个定价为 1 元时，进货 100 个．
1
17、（1）2.5；（2）15；（3） .（4）69 分钟.
15学校 班级 姓名 考场 准考证号
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【解析】
（1）观察函数图象，即可解答；
（2）观察函数图象即可解答；
（3）根据速度=路程÷时间，根据函数图象即可解答
（4）设直线 DE 的解析式为 y  kx  b ，把 D,E 的坐标代入即可解答 【详解】
1
（1）2.5；（2）15；（3） .
15
（4）设直线 DE 的解析式为 y  kx  b .
由题意可知点 D60,1.5，点 E 105,0，
 1
60k  b 1.5 k   1
 ，解得：  30 ，∴ y   x  3.5 .
105k  b  0 b  3.5 30
当 y 1.2 时，1.2   130 x  3.5 ，
解得： x  69 .
答：在 69 分钟时距家的距离是1.2km .
此题考查函数图象，解题关键在于看懂图中数据
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18、（1）见解析（2）成立 【解析】
试题分析：（1）由 DF=BE，四边形 ABCD 为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出 CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45° 所以可
得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即 EG=FG=GD+DF．又因为 DF=BE，所以 可证出 GE=BE+GD 成立．
试题解析：（1）在正方形 ABCD 中，
BC＝CD
{B＝CDF
BE＝DF
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．学校 班级 姓名 考场 准考证号
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（2）GE=BE+GD 成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． CE＝CF
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
19、y=-2x+1
【解析】
试题分析：由题意得：平移后的解析式为：y=﹣2x+1+2=﹣2x+1． 故答案是 y=﹣2x+1．
考点：一次函数图象与几何变换．

20、
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【解析】
根据折叠的性质及相似三角形的判定与性质及勾股定理即可求解. 【详解】
∵将矩形 ABCD沿对角线 AC 折叠，使点 B 翻折到点 E 处，
∴∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD，
∵矩形 ABCD 的对边 AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠DAC，
设 AD 与 CE 相交于 F，则 AF=CF，
∴AD-AF=CE-CF,即 DF=EF，
AF CF∴
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DF  EF
又∠AFC=∠DFE，
∴△ACF∽△DEF，
DF EF DE 1∴   
AF CF AC 3
设 DF=x,则 AF=FC=3x,

在 Rt△CDF 中，CD=  2
2x  AB
又 BC=AD=AF+DF=4x，∴
AD  AD  BC 
AB AB AB 2 4x  2
2x
此题主要考查相似三角形与矩形的应用，解题的关键是熟知勾股定理、矩形的性质及相似三 角形的判定与性质.


21、16 或 21
【解析】
分两种情况，由含 30°角的直角三角形的性质求出原来矩形的长和宽，即可得出面积． 【详解】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
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∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4， 分两种情况：
边形 BEDF 是原来的矩形，如图 1 所示：
则∠E＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AE＝ 12 AB＝2，BE＝ AE＝2 ，
∴DE＝AE+AD＝8，
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∴矩形 BEDF 的面积＝BE×DE＝2 ×8＝16 ；
②四边形 BGDH 是原来的矩形，如图 2 所示：
同①得：CH＝ 12 BC＝3，BH＝ CH＝3
∴DH＝CH+CD＝7，


∴矩形 BGDH 的面积＝BH×DH＝3 ×7＝21 ；


综上所述，原来矩形的面积为 16 或 21 ；


故答案为：16 或 21 ．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、含 30°角的直角三角形的性质，熟练掌握矩 形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
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找出正方形面积等于正方形内所有三角形面积的和求这个等量关系，列出方程求解，求得 DF，根据 AF=a-DF 即可求得 AF．
作 FH⊥CE，连接 EF，
∵∠FHC=∠D=90°，∠HCF=∠DCF，CF=CF
∴△CHF≌△CDF，学校 班级 姓名 考场 准考证号
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又∵S 正方形 ABCD=S△CBE+S△CDF+S△AEF+S△CEF，
设 DF=x，则 a2=  a  a   x a   a (a  x)  CE•FH1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
5 1

22、 3-2 5 a 【解析】
【详解】

∵FH=DF，CE=

∴整理上式得：2a-x=

计算得：x= a．
2

AF=a-x= 3-2 5 a．

故答案为 3-2 5 a．
23、 a  1 【解析】
的不等式求解即可．

BC2  BE2 ， 5 x，
本题考查了转换思想，考查了全等三角形的证明，求 AF，转化为求 DF 是解题的关键．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据大大小小找不到（无解）列出关于 a
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【详解】
x  2＞0①

3  x＞a②
由①得，x＞2， 由②得，x＜3-a，
∵不等式组的无解，
∴3-a≤2，
∴a≥1．
故答案为:a≥1．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解 集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分）
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24、（1）修建的两块矩形绿地的面积共为 144 平方米，（2）人行通道的宽度为 1 米． 【解析】
1 根据题意得：两块矩形绿地的长为30  23  24( 米 ) ，宽为10  2 2  6( 米 ) ，可求 得面积；
2设人行通道的宽度为x 米，则两块矩形绿地的长为30 3x( 米) ，宽为10  2x( 米 ) ，
根据题意得：30 3x10  2x  216 ，解方程可得. 【详解】
解： 1 根据题意得：
两块矩形绿地的长为30  23  24( 米 ) ， 宽为10  2 2  6( 米 ) ，
面积为 246 144( 米 2) ，
答：修建的两块矩形绿地的面积共为 144 平方米，
2 设人行通道的宽度为 x 米，
则两块矩形绿地的长为30 3x( 米 ) ，
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宽为10 2x( 米 ) ，
根据题意得：30 3x10 2x  216 ，
解得： x1 14( 舍去 ) ， x2 1， 答：人行通道的宽度为 1 米．
本题考核知识点：一元二次方程应用. 解题关键点：根据题意列出方程.
25、（1）B（0，4），D（0，－1）；（2） s   x （ x  5）；（3）存在，共有 3 个，E25 5
24 28
5 5
【解析】
（1）利用 y 轴上的点的坐标特征即可得出结论．
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（2）先求出点 M 的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论．
（3）分三种情况，根据题意只写出其中一个求解过程即可，利用对角线互相平分的四边形 是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论．
3 3
）、（－6，－4）和( , )
y  23 x  4
（2）在解方程组 
y   x 1
【详解】
解得 y  4
2 2
2 2
（1）将 x=0 代入 y＝ x＋4，y＝
3 3

0 ＋4

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将 y=0 代入 y＝－ 1 x－1，y＝－ 1 0 －1
解得 y  1
∴B（0，4），D（0，－1）
1

 3
得 M 点的坐标是(5, 23) ，
∵BD＝5，
当 P 点在 y 轴左侧时，如图（1）： s  sBDM  sPBD  55 5(x)   x ；1 1 25 5
2 2 2 2
当 P 点在 y 轴右侧时，如图（2）： s  sBDM  sPBD  55 5x   x ．1 1 25 5
2 2 2 2
总之，所求的函数关系式是 s   x （ x  5）25 5
2 2
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（3）存在，共有 3 个．
当 S＝10 时，求得 P 点为（－1， 23 ），若平行四边形以 MB、MP 为邻边，如图，BE∥MD， PE∥MB，可设直线 BE 的解析式为 y   1 x  b ，将 B 点坐标代入得b  4，所以 BE 的解
3
 1
1 2 3y   x  4
析式为 y   x  4 ；同样可求得 PE 的解析式为 y  x ，解方程组 
2
3 3
y  x
 3
8
得 E 点为（4，3 ）
24 28[{备注：同理可证另外两个点，另两个点的坐标为（－6，－4）和( , )}
5 5
本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质、三角形的面积公式、对角线互相平 分的四边形是平行四边形、线段的中点坐标的确定方法是解题的关键．
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26、（1） y   x  x  3 ；（2）（-5，1）或（ ，-1）或（ ，-1）；（1）1 2 5 5+ 73 5  73
2 2 2 2
3 9
4 4存在， t 
【解析】
程组即可得到结论；
时， SV EFC 有最大值为 ．
（1）把 A（-1，0），B（1，0）代入 y=ax2+bx+1，得到关于 a、b 的二元一次方程组，解方
（2）由抛物线解析式求出 C（0，1），根据同底等高的两个三角形面积相等，可知 N 点纵 坐标的绝对值等于 1，将 y=±1 分别代入二次函数解析式，求出 x 的值，进而得到 N 点的坐
标；
（1）由于点 D 在 y 轴的右侧时，过点 D 作 x 轴的垂线，无法与
ABC 的另一边 AC 相交，
所以点 D 在 y 轴左侧，根据题意求出直线 AC 的解析式及 E，D，F 的坐标，然后根据三角 形面积求得 SV EFC 与 t 的函数关系式，然后利用二次函数的性质求最值即可．学校 班级 姓名 考场 准考证号
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解：（1）把 A（-1，0），B（1，0）代入 y=ax2+bx+1 中，得9a 3b  3  0

【详解】
a  b  3  0





 2 1
a  
，解得  ， b  
2
5
∴抛物线的解析式为： y   x  x  3 ，1 2 5
2 2
1 2 5
（2）∵抛物线 y   x  x  3 与 y 轴交于点 C，∴C（0，1）．
2 2
∵N 为抛物线上的点(点 N 不与点 C 重合)且 S△NAB=S△ABC，
∴设 N（x，y），则|y|=1．
把 y=1 代入 y   x  x  3 ，得  x  x  3=3，解得 x=0 或-5，1 2 5 1 2 5
2 2 2 2
x=0 时 N 与 C 点重合，舍去，
∴N（-5，1）；

1 2 5 1 2 5 5  73把 y=-1 代入 y   x  x  3 ，得  x  x  3=  3 ，解得 x 
2 2 2 2 2
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∴N（ ，-1）或（ ，-1）．5+ 5 
2 2


综上所述，所求 N 点的坐标为（-5，1）或（ ，-1）或（ ，-1）；5+ 5 
2 2
（1）存在．
由题意可知，∵过点 D 作 x 轴的垂线，交
∴点 D 必在 y 轴的左侧．ABC 的另一边 AC 于点 E
∵AD=2t，
∴由折叠性质可知 DF=AD=2t，
∴OF=1-4t，
∴D（2t-1，0），3k  b  0
∵设直线 AC 的解析式为：y  kx  b ，将 A（-1，0）和 （0，1）代入解析式得  ，
b  3C
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解得 k 1
b  3
∴直线 AC 的解析式为： y = x + 3
∴E（2t-1，2t）．
∴S EFC  S AOC  S AFE  S FOC  1 33  1 4t  2t  13(3  4t)2 2 2
3 92
2
 4t  6t  4(t  ) 
4 4
∵-4＜0
3 9 时， SV EFC 有最大值为 ．
t 
4 4
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线、抛物线的解析式，二次函数的
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性质，三角形的面积等知识．利用数形结合是解题的关键．
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