高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第3讲等差数列及其前n项和(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第3讲等差数列及其前n项和(知识点串讲)特训（学生版+解析），共11页。

【知识梳理】
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
【考点精炼】
考点一：定义辨析
例1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
【知识梳理】
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项.
4．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq \f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
5．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
【考点精炼】
考点二：等差数列的基本运算
例2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )
A．－1B．1
C．2D．－2
练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＝14，则S7＝( )
A．13B．35
C．49D．63
练习．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12B．－10
C．10D．12
练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )
A．30尺B．90尺
C．150尺D．180尺
等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
考点三：等差数列的判定与证明
例3、已知数列{an}中，a1＝eq \f(3,5)，an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq \f(1,an－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
[变式探究] 本例中，若将条件变为a1＝eq \f(3,5)，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．
练习 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．
已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
【知识梳理】
6．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
8.与等差数列各项的和有关的性质
1．若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2).
2．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
3．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．
(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
4．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).
【考点精炼】
考点四：等差数列的性质及前n项和的最值
一、等差数列的性质
例4、数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于( )
A．9B．10
C．11D．12
二、等差数列前n项和的性质
例5、(1)(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝( )
A．－1B．0
C．1D．3
(2)(2019·山东日照检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，eq \f(S2 014,2 014)－eq \f(S2 008,2 008)＝6，则S2 018＝________.
三、等差数列前n项和的最值
例6、等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
1．等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(易忽视n∈N*)
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm.
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
练习1 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(a6,a5)＝eq \f(9,11)，则eq \f(S11,S9)＝( )
A．1B．－1
C．2D．eq \f(1,2)
练习2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时n的值为( )
A．4B．5
C．6D．7
练习3 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________.
第3讲 等差数列及其前n项和
【知识梳理】
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
【考点精炼】
考点一：定义辨析
例1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
【知识梳理】
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项.
4．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq \f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
5．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
【考点精炼】
考点二：等差数列的基本运算
例2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )
A．－1B．1
C．2D．－2
【答案】D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2.]
练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＝14，则S7＝( )
A．13B．35
C．49D．63
【答案】C [∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a6＝14，∴S7＝eq \f(7,2)(a1＋a7)＝eq \f(7,2)(a2＋a6)＝eq \f(7,2)×14＝49.]
练习．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12B．－10
C．10D．12
【答案】B [设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×3－1,2)×d))＝2a1＋eq \f(2×2－1,2)×d＋4a1＋eq \f(4×4－1,2)×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. ]
练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )
A．30尺B．90尺
C．150尺D．180尺
【答案】B [由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中，a1＝5，a30＝1，∴S30＝eq \f(30×5＋1,2)＝90(尺)．]
等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
考点三：等差数列的判定与证明
例3、已知数列{an}中，a1＝eq \f(3,5)，an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq \f(1,an－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
【答案】(1)证明 因为an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，
bn＝eq \f(1,an－1)(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)
＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,an)))－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(an,an－1)－eq \f(1,an－1)＝1.
又b1＝eq \f(1,a1－1)＝－eq \f(5,2).
所以数列{bn}是以－eq \f(5,2)为首项，1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝n－eq \f(7,2)，则an＝1＋eq \f(1,bn)＝1＋eq \f(2,2n－7).
设f(x)＝1＋eq \f(2,2x－7)，
则f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))上为减函数．
所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.
[变式探究] 本例中，若将条件变为a1＝eq \f(3,5)，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
解 由已知可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋1，
即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝1，又a1＝eq \f(3,5)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是以eq \f(a1,1)＝eq \f(3,5)为首项，1为公差的等差数列，
∴eq \f(an,n)＝eq \f(3,5)＋(n－1)·1＝n－eq \f(2,5)，∴an＝n2－eq \f(2,5)n.
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．
练习 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．
已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解 (1)设{an}的公比为q.由题设可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6.))
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得
Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝－eq \f(2,3)＋(－1)neq \f(2n＋1,3).
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq \f(4,3)＋(－1)neq \f(2n＋3－2n＋2,3)
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)＋－1n\f(2n＋1,3)))＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
【知识梳理】
6．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
8.与等差数列各项的和有关的性质
1．若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2).
2．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
3．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．
(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
4．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).
【考点精炼】
考点四：等差数列的性质及前n项和的最值
一、等差数列的性质
例4、数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于( )
A．9B．10
C．11D．12
【答案】D [数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.]
二、等差数列前n项和的性质
例5、(1)(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝( )
A．－1B．0
C．1D．3
【答案】B [根据等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0.]
(2)(2019·山东日照检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，eq \f(S2 014,2 014)－eq \f(S2 008,2 008)＝6，则S2 018＝________.
【答案】6 054 [由等差数列的性质可得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列．
设其公差为d，则eq \f(S2 014,2 014)－eq \f(S2 008,2 008)＝6d＝6，∴d＝1.
故eq \f(S2 018,2 018)＝eq \f(S1,1)＋2 017d＝－2 014＋2 017＝3，
∴S2 018＝3×2 018＝6 054.]
三、等差数列前n项和的最值
例6、等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
解 设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－eq \f(1,8)a1<0.
法一(函数法)：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
＝na1＋eq \f(nn－1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)a1))
＝－eq \f(1,16)a1(n2－17n)＝－eq \f(1,16)a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(17,2)))2＋eq \f(289,64)a1，
因为a1>0，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
法二(通项变号法)：设此数列的前n项和最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋n－1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)a1))≥0，,a1＋n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)a1))≤0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n≤9，,n≥8，))即8≤n≤9，
又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
1．等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(易忽视n∈N*)
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm.
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
练习1 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(a6,a5)＝eq \f(9,11)，则eq \f(S11,S9)＝( )
A．1B．－1
C．2D．eq \f(1,2)
【答案】A [eq \f(S11,S9)＝eq \f(\f(11a1＋a11,2),\f(9a1＋a9,2))＝eq \f(11a6,9a5)＝eq \f(11,9)×eq \f(9,11)＝1.]
练习2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时n的值为( )
A．4B．5
C．6D．7
【答案】B [根据等差数列的性质可得a4＋a7＋a10＝3a7＝9，得a7＝3.S14－S3＝11a9＝77，解得a9＝7，所以等差数列的通项公式为an＝2n－11.当n＝6时，an>0；当n＝5时，an<0，所以使Sn取得最小值的n的值为5.]
练习3 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________.
【答案】6 [∵{an}是等差数列，∴S2m－1＝eq \f(a2m－1＋a1,2)×(2m－1)＝(2m－1)am＝10(2m－1)＝110，可得m＝6.]