高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题18不等式选讲特训(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题18不等式选讲特训(原卷版+解析)，共35页。

1．【2022年全国甲卷理科23】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．
2．【2022年全国乙卷理科23】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：
(1)abc≤19；
(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12abc；
3．【2021年全国甲卷理科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．
4．【2021年全国乙卷理科23】已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集;
（2）若f(x)>−a，求a的取值范围．
5．【2020年全国1卷理科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．
（1）画出y=f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
6．【2020年全国2卷理科23】已知函数f(x)=x−a2+|x−2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式f(x)⩾4的解集；
（2）若f(x)⩾4，求a的取值范围.
7．【2020年全国3卷理科23】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．
8．【2019年新课标3理科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
9．【2019年全国新课标2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
10．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
11．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
12．【2018年新课标2理科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
13．【2018年新课标3理科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
14．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
15．【2017年新课标2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
16．【2017年新课标3理科23】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
17．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
18．【2016年新课标2理科24】已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
19．【2016年新课标3理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
20．【2015年新课标2理科24】设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则a+b＞c+d；
（2）a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
21．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
22．【2014年新课标2理科24】设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
23．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
24．【2013年新课标2理科24】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤13
（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．
模拟好题
1．已知函数fx=2x+a+x−1
(1)当a=4时，求不等式fx<6的解集：
(2)若fx≥a2−x−1对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围.
2．已知正数a，b，c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4．
(1)求证：0(2)求证：1ab+1bc+1ca2≥3ab+bc+ca．
3．已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|．
(1)解不等式f(x)>6；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x2+m在0,4上恒成立，求实数m的取值范围．
4．已知fx=x−4+2x+2−x−1的最小值m．
(1)求实数m值；
(2)若a+b+c=m3−3，证明a2+b2+c2≥43．
5．已知fx=x−2+x+12的最小值为m．
(1)求m的值；
(2)若正实数a,b,c满足a+b+c=m，证明：a2+2b2+c2≥52．
6．已知a，b，c均为正实数，且abc=1．证明：
(1)a3+b3+c3≥3；
(2)b6a3+1+c6b3+1+a6c3+1≥32．
7．已知fx=x+4−x−m.
(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，对于∀x∈R，a+b2+a+c2+b+c2≥fx恒成立，求实数m的取值范围．
8．已知函数fx=x+4a+mx−1a.
(1)当m=2,a=1，求不等式fx≤15的解集；
(2)当m=1时，证明：fx≥4.
9．已知函数fx=x+2−m，m∈R，且fx≤0的解集为−3,−1.
(1)求m的值；
(2)设a，b，c为正数，且a+b+c=m，求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.
10．已知函数fx=2x−m2+2x+1−2m.
(1)当m=3时，求不等式fx⩾10的解集；
(2)若fx⩾4恒成立，求实数m的取值范围.
11．已知函数fx=3x−1−x+3．
(1)求不等式fx≥14的解集；
(2)若方程kx=f(x)存在非零实数根，求实数k的取值范围．
12．已知函数fx=2x−a−ax−2.
(1)当a=−1时，求不等式fx<8的解集；
(2)当x∈1,2时，fx≥0，求a的取值范围.
13．已知函数fx=2x−3+3x−6+2a+2.
(1)当a=−1时，求不等式fx<2的解集；
(2)若关于x的不等式fx−x−2≤a2有实数解，求实数a的取值范围.
14．已知函数f(x)=|x−1|−2|x−3|．
(1)求不等式f(x)≥−2的解集；
(2)若存在x，使不等式a2−a15．已知函数fx=x−2+x−4，已知不等式fx≥kxk>0恒成立.
(1)求k的最大值k0；
(2)设a>0，b>0，求证：aa+2b+b2a+b≥13k0.
16．已知函数fx=x+a−x−1
(1)当a=2时，解不等式fx>2；
(2)若不等式f(x)<|x−4|对任意x∈0,2都成立，求实数a的取值范围.
17．已知函数fx=2x−1−x+1.
（1）解不等式fx<2；
（2）若关于x的不等式fx+3x+118．已知f(x)=x+32+1−2x.
（1）解不等式f(x)≤72−x；
（2）令f(x)的最小值为M，正数a，b满足a+2b=M，求证：a2b2+2ab≥174.
19．已知函数f(x)=x+1+2x−1.
（Ⅰ）解不等式f(x)≤2x+2；
（Ⅱ）设函数f(x)的最小值为t，若a>0,b>0，且a+b=t，证明：a2a+1+b2b+1≥1.
20．已知函数fx=2x+3+x+12．
（1）求不等式fx≤4x+7的最小整数解m；
（2）在（1）的条件下，对任意a，b∈−m,+∞，若a+b=4，求W=b2a−1+a2b−1的最小值．
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）
专题18不等式选讲
真题汇总命题趋势
1．【2022年全国甲卷理科23】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c=1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，
即0由权方和不等式知1a+1c=12a+224c≥1+22a+4c=9a+4c≥3，
当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，
所以1a+1c≥3.
2．【2022年全国乙卷理科23】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：
(1)abc≤19；
(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12abc；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，
所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，
即abc12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．
(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，
所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc
ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc
当且仅当a=b=c时取等号．
3．【2021年全国甲卷理科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）a≥112
（1）可得f(x)=|x−2|={2−x,x<2x−2,x≥2，画出图像如下：
g(x)=|2x+3|−|2x−1|={−4,x<−324x+2,−32≤x<124,x≥12，画出函数图像如下：
（2）f(x+a)=|x+a−2|，
如图，在同一个坐标系里画出f(x),g(x)图像，
y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|个单位得到，
则要使f(x+a)≥g(x)，需将y=f(x)向左平移，即a>0，
当y=f(x+a)过A(12,4)时，|12+a−2|=4，解得a=112或−52（舍去），
则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位，∴a≥112.
4．【2021年全国乙卷理科23】已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集;
（2）若f(x)>−a，求a的取值范围．
【答案】（1）(−∞,−4]∪[2,+∞).（2）(−32,+∞).
（1）当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|，|x−1|+|x+3|表示数轴上的点到1和−3的距离之和，
则f(x)≥6表示数轴上的点到1和−3的距离之和不小于6，
当x=−4或x=2时所对应的数轴上的点到1，−3所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到1，−3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x≤−4或x≥2，
所以f(x)≥6的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞).
（2）依题意f(x)>−a，即|x−a|+|x+3|>−a恒成立，
|x−a|+|x+3|=|a−x|+|x+3|≥|a+3|，
当且仅当(a−x)(x+3)≥0时取等号，∴f(x)min=|a+3|,
故|a+3|>−a，
所以a+3>−a或a+3解得a>−32.
所以a的取值范围是(−32,+∞).
5．【2020年全国1卷理科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．
（1）画出y=f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）−∞,−76.
【解析】
（1）因为fx=x+3, x≥15x−1, −13（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数fx+1的图象，如图所示：
由−x−3=5x+1−1，解得x=−76．
所以不等式的解集为−∞,−76．
6．【2020年全国2卷理科23】已知函数f(x)=x−a2+|x−2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式f(x)⩾4的解集；
（2）若f(x)⩾4，求a的取值范围.
【答案】（1）xx≤32或x≥112；（2）−∞,−1∪3,+∞.
【解析】
（1）当a=2时，fx=x−4+x−3.
当x≤3时，fx=4−x+3−x=7−2x≥4，解得：x≤32；
当3当x≥4时，fx=x−4+x−3=2x−7≥4，解得：x≥112；
综上所述：fx≥4的解集为xx≤32或x≥112.
（2）fx=x−a2+x−2a+1≥x−a2−x−2a+1=−a2+2a−1=a−12（当且仅当2a−1≤x≤a2时取等号），
∴a−12≥4，解得：a≤−1或a≥3，
∴a的取值范围为−∞,−1∪3,+∞.
7．【2020年全国3卷理科23】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，
∴ab+bc+ca=−12a2+b2+c2.
∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12a2+b2+c2<0；
（2）不妨设max{a,b,c}=a，
由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，
∵a=−b−c,a=1bc，∴a3=a2⋅a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.
当且仅当b=c时，取等号，
∴a≥34，即max{a,b,c}⩾34.
8．【2019年新课标3理科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，
由柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，
可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥43，
即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43；
（2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，
可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2)23，
即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值为(a+2)23，
由题意可得(a+2)23≥13，
解得a≥﹣1或a≤﹣3．
9．【2019年全国新课标2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；
当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；
当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，
∴a的取值范围为：[1，+∞）
10．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【答案】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8ab•bc•ac=24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
11．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞12x，−1≤x≤1−2，x＜−1，
由f（x）＞1，
∴2x＞1−1≤x≤1或2＞1x＞1，
解得x＞12，
故不等式f（x）＞1的解集为（12，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜2a，
∴a＜2x
∵2x＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
12．【2018年新课标2理科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤−12，−1＜x＜2−2x+6，x≥2．
当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
13．【2018年新课标3理科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
【答案】解：（1）当x≤−12时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＝﹣3x，
当−12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，
当x≥1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，
则f（x）=−3x，x≤−12x+2，−12＜x＜13x，x≥1对应的图象为：
画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x＝0时，f（0）＝2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y＝ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
14．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，
g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞12，−1≤x≤1−2x，x＜−1，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17−12，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，17−12]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，17−12]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需12−a⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
15．【2017年新课标2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
【答案】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a⋅a5+b⋅b5）2＝（a3+b3）2≥4，
当且仅当ab5=ba5，即a＝b＝1时取等号，
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴(a+b)3−23(a+b)=ab，
由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab≤（a+b2）2，
∴（a+b）3﹣2≤3(a+b)34，
∴14（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
16．【2017年新课标3理科23】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=−3，x＜−12x−1，−1≤x≤23，x＞2，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=−x2+x−3，x≤−1−x2+3x−1，−1＜x＜2−x2+x+3，x≥2，
当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=12＞−1，
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=32∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（32）=−94+92−1=54；
当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=12＜2，
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；
综上，g（x）max=54，
∴m的取值范围为（﹣∞，54]．
17．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x−4，x≤−13x−2，−1＜x＜324−x，x≥32，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x＜32时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜13，
即有﹣1＜x＜13或1＜x＜32；
当x≥32时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或32≤x＜3．
综上可得，x＜13或1＜x＜3或x＞5．
则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，13）∪（1，3）∪（5，+∞）．
18．【2016年新课标2理科24】已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
【答案】解：（I）当x＜−12时，不等式f（x）＜2可化为：12−x﹣x−12＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜−12，
当−12≤x≤12时，不等式f（x）＜2可化为：12−x+x+12=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴−12≤x≤12，
当x＞12时，不等式f（x）＜2可化为：−12+x+x+12＜2，
解得：x＜1，
∴12＜x＜1，
综上可得：M＝（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
19．【2016年新课标3理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，
|x−12|+|x−a2|≥3−a2，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a﹣1|≥3−a2＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
20．【2015年新课标2理科24】设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则a+b＞c+d；
（2）a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【答案】证明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2ab，
（c+d）2＝c+d+2cd，
由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，
则ab＞cd，
即有（a+b）2＞（c+d）2，
则a+b＞c+d；
（2）①若a+b＞c+d，则（a+b）2＞（c+d）2，
即为a+b+2ab＞c+d+2cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
则有（a+b）2＞（c+d）2．
综上可得，a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
21．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a+1b=ab，
∴ab=1a+1b≥21ab，∴ab≥2，
当且仅当a＝b=2时取等号．
∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42，当且仅当a＝b=2时取等号，
∴a3+b3的最小值为42．
（Ⅱ）∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab，当且仅当2a＝3b时，取等号．
而由（1）可知，26ab≥212=43＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
22．【2014年新课标2理科24】设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a|＝a+1a≥2a⋅1a=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜5+212．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+1a＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得1+52＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（1+52，5+212）．
23．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=−5x，x＜12−x−2，12≤x≤13x−6，x＞1，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，
故x≥a﹣2对x∈[−a2，12]都成立．
故−a2≥a﹣2，
解得a≤43，
故a的取值范围为（﹣1，43]．
24．【2013年新课标2理科24】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤13
（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．
【答案】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：
a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤13．
（Ⅱ）因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，
故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+b+c），即a2b+b2c+c2a≥a+b+c．
所以a2b+b2c+c2a≥1．
模拟好题
1．已知函数fx=2x+a+x−1
(1)当a=4时，求不等式fx<6的解集：
(2)若fx≥a2−x−1对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)（-3，1）
(2)−1≤a≤2
【解析】
(1)当a=4时，f(x)<6化为2x+4+x−1<6
当x<−2时，不等式化为−2x−4−x−1<6，解得−3当−2≤x≤1时，不等式化为2x+4−x−1<6，解得−2≤x<1；
当x>1时，不等式化为2x+4+x−1<6，无解，
综上所述：当a=4时，不等式f(x)<6的解集为（—3，1）
(2)由fx≥a2−|x−1得a2≤|2x+a|+|2x−2|，
因为|2x+a|+|2x−2|≥|2x+a−2x−2|=|a+2|（当且仅当2x+a2x−2≤0时，等号成立），又因为a2≤|2x+a|+|2x−2|对任意的x∈R恒成立，所以a2≤|a+2|，
当a+2≤0，即a≤−2时，有a2≤−a−2，即a2+a+2≤0，此不等式无解：
当a+2>0，即a>−2时，有a2≤a+2，田a2−a−2≤0，解得−1≤a≤2
综上所述：a的取值范围为−1≤a≤2..
2．已知正数a，b，c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4．
(1)求证：0(2)求证：1ab+1bc+1ca2≥3ab+bc+ca．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)证明详见解析.
【解析】
(1)证明：∵a3b3+b3c3+c3a3≥33a6b6c6=3a2b2c2，
当且仅当a=b=c时，等号成立，
设abc=x，∴a3b3+b3c3+c3a3+abc=4≥3(abc)2+abc，
即3x2+x−4≤0，解得−43≤x≤1，
∵a，b，c为正数，∴abc>0，
∴0(2)∵1ab+1bc+1ca=a+b+cabc,
由（1）可得，00,
∴(1ab+1bc+1ca)2≥(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时，等号成立.
∴(1ab+1bc+1ca)2≥3(ab+bc+ca)，当且仅当a=b=c时，等号成立.
3．已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|．
(1)解不等式f(x)>6；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x2+m在0,4上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)−∞,−52∪72,+∞
(2)(−∞,−9]
【解析】
(1)由|x+1|+|x−2|>6得x<−1,−x−1−x+2>6或−1≤x≤2,x+1−x+2>6或x>2,x+1+x−2>6,
解得x<−52或x∈∅或x>72，∴不等式的解集为−∞,−52∪72,+∞．
(2)由题意知，当x∈[0,4]时，|x+1|+∣x−2|≥x2+m恒成立．
若0≤x<2，则x+1+2−x≥x2+m，即m≤−x2+3恒成立，
此时，−1<−x2+3≤3，故m≤−1；
若2≤x≤4，则x+1+x−2≥x2+m，即m≤−x2+2x−1恒成立，此时，−x2−2x−1=−(x−1)2在[2,4]上的最小值为−9，故m≤−9．
综上所述，m的取值范围是(−∞,−9]．
4．已知fx=x−4+2x+2−x−1的最小值m．
(1)求实数m值；
(2)若a+b+c=m3−3，证明a2+b2+c2≥43．
【答案】(1)m=3
(2)证明见解析
【解析】
(1)由题意，函数fx=x−4+2x+2−x−1，
当x<−1时，可得fx=4−x−2x−2+x−1=1−2x，可得fx>f−1>3；
当−1≤x<1时，可得fx=4−x+2x+2+x−1=5+2x，可得fx≥f−1=3；
当1≤x<4时，可得fx=4−x+2x+2+1−x=7，可得fx≥7；
当x≥4时，可得fx=x−4+2x+2+1−x=2x−1，可得fx≥f4=7，
所以函数fx的最小值为3.
(2)解：由m=3，可得a+b+c=m3−3=33−3=−2，
所以4=a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+b2+c2，
当且仅当a=b=c=−23时取等号，所以a2+b2+c2≥43.
5．已知fx=x−2+x+12的最小值为m．
(1)求m的值；
(2)若正实数a,b,c满足a+b+c=m，证明：a2+2b2+c2≥52．
【答案】(1)52
(2)证明见解析
【解析】
(1)fx= x−2+x+12≥x−2−x+12=52，
当且仅当−12≤x≤2时等号成立，∴m=52.
(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=52,由柯西不等式得：
a2+2b2+c2⋅12+222+12≥a+b+c2，
∴a2+2b2+c2≥52，当且仅当a=2b=c =1时取等号.
6．已知a，b，c均为正实数，且abc=1．证明：
(1)a3+b3+c3≥3；
(2)b6a3+1+c6b3+1+a6c3+1≥32．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)∵a，b，c都为正整数，且abc=1．
∴a3+b3+c3≥33a3b3c3=3，
当且仅当a=b=c=1时“=”成立．
(2)法一：由题意得b6a3+1+14a3+1≥b3,⋯①c6b3+1+14b3+1≥c3,⋯②a6c3+1+14c3+1≥a3,⋯③
①+②+③，得b6a3+1+c6b3+1+a6c3+1≥34a3+b3+c3−34≥94−34=32，
当且仅当a=b=c=1时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得b6a3+1+c6b3+1+a6c3+1a3+1+b3+1+c3+1≥a3+b3+c32．
令t=a3+b3+c3≥3，
则b6a3+1+c6b3+1+a6c3+1≥a3+b3+c32a3+b3+c3+3=t2t+3=t+3+9t+3−6．
令gt=t+3+9t+3−6，则gt在3,+∞上单调递增．
∴gt≥32，即b6a3+1+c6b3+1+a6c3+1≥32．
7．已知fx=x+4−x−m.
(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，对于∀x∈R，a+b2+a+c2+b+c2≥fx恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)xx<0
(2)−16,8
【解析】
(1)若m=2，则fx=x+4−x−2<2，
当x≥2，x+4−x−2<2时，无解；
当−4当x≤−4时−x−4−2−x=−6<2，解得x≤−4.
综上所述：m=2时，fx(2)由a+b2+a+c2+b+c2≥4ab+4ac+4bc =4ab+ac+bc，
又因为abc=1，所以4ab+ac+bc≥4×3×3ab⋅ac⋅bc=12，
当且仅当a=b=c，ab=bc=ac时，即a=b=c=1等号成立，
所以a+b2+a+c2+b+c2的最小值为12；
因为∀x∈R，a+b2+a+c2+b+c2≥fx恒成立．
即fx=x+4−x−m≤4+m≤12．
当且仅当x+4x−m≥0时等号成立，解得−16≤m≤8；
故实数m的取值范围为−16,8.
8．已知函数fx=x+4a+mx−1a.
(1)当m=2,a=1，求不等式fx≤15的解集；
(2)当m=1时，证明：fx≥4.
【答案】(1)−173,133
(2)证明见解析
【解析】
(1)当m=2,a=1时，f(x)=|x+4|+2|x−1| =3x+2,x≥16−x,−4当x≥1时，fx≤15化为3x+2≤15，解得1≤x≤133；
当−4当x≤−4时，fx≤15化为−3x−2≤15，解得−173≤x≤−4，
所以fx≤15的解集为−173,133；
(2)当m=1时，
fx=x+4a+x−1a≥x+4a−x−1a=4a+1a=4a+1a≥24a⋅1a=4
当且仅当x+4a与x−1a异号，且4a=1a，即a=±12时，等号成立.
9．已知函数fx=x+2−m，m∈R，且fx≤0的解集为−3,−1.
(1)求m的值；
(2)设a，b，c为正数，且a+b+c=m，求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.
【答案】(1)1
(2)32
【解析】
(1)由fx≤0，得x+2≤m，所以m≥0−m−2≤x≤m−2，
又fx≤0的解集为−3,−1，
所以−m−2=−3m−2=−1，解得m=1.
(2)由（1）知a+b+c=1
由柯西不等式得
(3a+1+3b+1+3c+1)2≤((3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2)⋅(12+12+12)，
所以(3a+1+3b+1+3c+1)2≤(3(a+b+c)+3)×3=18，
所以3a+1+3b+1+3c+1≤32，
当且仅当3a+1=3b+1=3c+1，即a=b=c=13时等号成立.
故3a+1=3b+1=3c+1的最大值为32.
10．已知函数fx=2x−m2+2x+1−2m.
(1)当m=3时，求不等式fx⩾10的解集；
(2)若fx⩾4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1){x∣x⩽1或x⩾6}
(2)−∞,−1∪3,+∞
【解析】
(1)解：当m=3时，fx=2x−9+2x−5=14−4x,x⩽524,52当x≤52时，令14−4x≥10，解得x≤1.
当52当x≥92时，令4x−14≥10，解得x≥6.
因此，不等式fx≥10的解集为{x|x≤1或x≥6}.
(2)解：因为fx⩾4恒成立，所以f(x)min⩾4.
因为fx=2x−m2+2x+1−2m⩾2x−m2−2x+1−2m=m2−2m+1=(m−1)2
当且仅当2m−1≤x≤m2时取等号，
所以(m−1)2⩾4，解得m⩾3或m⩽−1.
所以实数m的取值范围是−∞,−1∪3,+∞.
11．已知函数fx=3x−1−x+3．
(1)求不等式fx≥14的解集；
(2)若方程kx=f(x)存在非零实数根，求实数k的取值范围．
【答案】(1)(−∞,−4]∪[10,+∞)
(2)[−4,2)∪(2,4]
【解析】
(1)由题意f(x)={−2x+6−4x2x−6 x≤−3−3又f(x)≥14，所以{x≤−3−2x+6≥14或{−3解得x≤−4或x≥10，
即不等式f(x)≥14的解集为(−∞,−4]∪[10,+∞)．
(2)由题得方程k|x|=3|x−1|−|x+3|存在非零实数根．
所以k=3|x−1|−|x+3||x|=|3x−3|−|3x+1|存在非零实数根，
又||3x−3|−|3x+1||≤|(3x−3)−(3x+1)|=4，
当且仅当(3x−3)(3x+1)≥0，即0又3x≠0，则|3x−3|−|3x+1|≠2，
所以−4≤|3x−3|−|3x+1|≤4且|3x−3|−|3x+1|≠2，
所以−4≤k≤4且k≠2，
综上，实数k的取值范围是[−4,2)∪(2,4]．
12．已知函数fx=2x−a−ax−2.
(1)当a=−1时，求不等式fx<8的解集；
(2)当x∈1,2时，fx≥0，求a的取值范围.
【答案】(1)−73,3
(2)−∞,1
【解析】
(1)当a=−1时，fx=2x+1+x−2；
当x≤−12时，fx=−2x−1+2−x=−3x+1<8，解得：x>−73，∴−73当−12当x≥2时，fx=2x+1+x−2=3x−1<8，解得：x<3，∴2≤x<3；
综上所述：不等式fx<8的解集为−73,3.
(2)当x∈1,2时，fx=2x−a−a2−x=2x−a−2a+ax≥0，即2x−a≥a2−x；
①当2x−a≥0时，2x−a≥a2−x，即a+2x−3a≥0恒成立；
∴2−a≥0a+2−3a≥0−a+4≥0，解得：a≤1；
②当2x−a<0时，a−2x≥a2−x，即a−2x−a≥0恒成立；
∴a>4a−2−a≥02a−2−a≥0，不等式组解集为∅；
综上所述：实数a的取值范围为−∞,1.
13．已知函数fx=2x−3+3x−6+2a+2.
(1)当a=−1时，求不等式fx<2的解集；
(2)若关于x的不等式fx−x−2≤a2有实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)75,115
(2)−∞,−1∪3,+∞
【解析】
(1)由题意得，2x−3+3x−6<2，
当x<32时，不等式化为3−2x+6−3x<2.解得x>75，∴75当32≤x≤2时，不等式化为2x−3+6−3x<2.解得x>1，∴32≤x≤2；
当x>2时，不等式化为2x−3+3x−6<2，解得x<115，∴2综上，不等式fx<2的解集为75,115.
(2)由题意得，a2−2a−2≥2x−3+2x−4有实数解，
∵2x−3+2x−4≥2x−3−2x−4=1，∴a2−2a−2≥1，
解得：a≤−1或a≥3，即a的取值范围是−∞,−1∪3,+∞.
14．已知函数f(x)=|x−1|−2|x−3|．
(1)求不等式f(x)≥−2的解集；
(2)若存在x，使不等式a2−a【答案】(1)53,7
(2)(−1,2)
【解析】
(1)f(x)=x−5,x<13x−7,1≤x≤3−x+5,x>3，
由f(x)≥−2可得x<1时无解，
1≤x≤3时，解得：53≤x≤3，
x>3时，解得3综上，解集为53,7.
(2)由已知：存在x，使不等式a2−a<|x−1|−|x−3|成立，
即a2−a<(|x−1|−|x−3|)max，
又∵|x−1|−|x−3|≤|(x−1)−(x−3)|=2（当且仅当x≥3时取“=”号），
∴a2−a<2，∴−1∴实数a的取值范围为(−1,2)．
15．已知函数fx=x−2+x−4，已知不等式fx≥kxk>0恒成立.
(1)求k的最大值k0；
(2)设a>0，b>0，求证：aa+2b+b2a+b≥13k0.
【答案】(1)k0=12
(2)证明见解析
【解析】
(1)当x≤2时，fx=2−x+4−x=6−2x；当2由此可得fx图象如下图所示，
∵fx≥kxk>0恒成立，则由图象可知：当y=kx过点4,2时，k取得最大值k0，
∴k0=12.
(2)由（1）知：只需证明aa+2b+b2a+b≥23；
令m=a+2b>0n=2a+b>0，解得：a=2n−m3b=2m−n3，
aa+2b+b2a+b=2n−m3m+2m−n3n=132nm+2mn−2≥1322nm⋅2mn−2=23（当且仅当2nm=2mn，即m=n时取等号），
∴aa+2b+b2a+b≥23，即aa+2b+b2a+b≥13k0.
16．已知函数fx=x+a−x−1
(1)当a=2时，解不等式fx>2；
(2)若不等式f(x)<|x−4|对任意x∈0,2都成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)12,+∞
(2)−4,1
【解析】
(1)当a=2时，fx=x+2−x−1,
f(x)>2⇔x≥13>2，或x≤−2−3>2，或−22
从而，原不等式的解集为12,+∞
(2)当x∈[0,2]时，f(x)<|x−4|恒成立，即|x+a|−|x−1|<4−x恒成立
①当1⩽x⩽2时，有|x+a|<3恒成立，即−3∵1⩽x⩽2，故−4②当0⩽x<1时，有|x+a|<5−2x恒成立，
即2x−5∵0⩽x<1，故−4⩽a⩽2.
综上所述，所求实数a的取值范是−4,1.
17．已知函数fx=2x−1−x+1.
（1）解不等式fx<2；
（2）若关于x的不等式fx+3x+1【答案】（1）{x|−23【解析】
（1）由题意可得f(x)=−x+2, x≤−1−3x, −1当x≤−1时，−x+2<2，得x>0，无解；
当−1−23，即−23当x≥12时，x−2<2，得x<4，即12≤x<4.
所以不等式的解集为{x|−23（2）f(x)+3x+1=2x−1−x+1+3x+1=2x−1+2x+1=2x−1+2x+2≥3，
则由题可得a2−2a>3，解得：a<−1或a>3.
所以a的取值范围是−∞,−1∪3,+∞
18．已知f(x)=x+32+1−2x.
（1）解不等式f(x)≤72−x；
（2）令f(x)的最小值为M，正数a，b满足a+2b=M，求证：a2b2+2ab≥174.
【答案】（1）x−2≤x≤34；（2）证明见解析.
【解析】
（1）当x<−32时，f(x)=−x−32−2x+1=−3x−12≤72−x，得−2≤x<−32；
当−32≤x≤12时，f(x)=x+32−2x+1=−x+52≤72−x，得−32≤x≤12；
当x>12时，f(x)=x+32+2x−1=3x+12≤72−x，得12综上，原不等式的解集为x−2≤x≤34．
（2）由（1）可知，当x<−32时，f(x)=−3x−12>4；
当−32≤x≤12时，f(x)=−x+52≥2；当x>12时，f(x)=3x+12>2．
故f(x)的最小值M=2，则a+2b=2．
于是2=a+2b≥22ab，则0a2b2+2ab=a2b2+18ab+18ab+74ab ≥33a2b2⋅18ab⋅18ab+74ab =34+74ab ≥34+74×2=174．
当且仅当ab=12即a=1，b=12时取“=”
所以，a2b2+2ab≥174．
19．已知函数f(x)=x+1+2x−1.
（Ⅰ）解不等式f(x)≤2x+2；
（Ⅱ）设函数f(x)的最小值为t，若a>0,b>0，且a+b=t，证明：a2a+1+b2b+1≥1.
【答案】（Ⅰ）x13≤x≤3；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）不等式等价于x≤−1−3x+1≤2x+2或−1解得x∈∅或13≤x<1或1≤x≤3.
所以不等式f(x)≤2x+2的解集为x13≤x≤3.
（Ⅱ）法一：由fx=−3x+1,x≤−1−x+3,−1即a+b=2.
法二：f(x)=x+1+2x−1=x+1+x−1+x−1≥x+1−x+1+1−1=2，
当且仅当x=1时，取得等号，则f(x)的最小值为2，即a+b=2.
法一：a2a+1+b2b+1=a2(b+1)+b2(a+1)(a+1)(b+1)=ab(a+b)+a2+b2ab+(a+b)+1
=(a+b)2ab+3=4ab+3≥4a+b22+3=1
当且仅当a=b=1，不等式取得等号，所以a2a+1+b2b+1≥1.
法二： 由柯西不等式可得：a2a+1+b2b+1=a+1+b+14a2a+1+b2b+1≥14(a+b)2=1.
当且仅当a=b=1，不等式取得等号，所以a2a+1+b2b+1≥1.
20．已知函数fx=2x+3+x+12．
（1）求不等式fx≤4x+7的最小整数解m；
（2）在（1）的条件下，对任意a，b∈−m,+∞，若a+b=4，求W=b2a−1+a2b−1的最小值．
【答案】（1）m=−1；（2）8
【解析】
（1）当x≤−32时，原不等式化为−3x−72≤4x+7，解得x≥−32，所以x=−32；
当−32当x>−12时，原不等式化为3x+72≤4x+7，解得x≥−72，所以x>−12．
综上，原不等式的解集为−32,+∞．
所以最小整数解m=−1．
（2）由（1）知a，b∈1,+∞，又a+b=4，
所以W=b2a−1+a2b−1=a3+b3−a2−b2a−1b−1 =a+ba2−ab+b2−a+b2−2abab−a+b+1
=a+ba+b2−3ab−a+b2−2abab−a+b+1 =416−3ab−16−2abab−3
=48−10abab−3 =−10+18ab−3．
∵a>1，b>1，∴a−1b−1=ab−3>0，
又ab≤a+b24=4，当且仅当a=b=2时等号成立，
∴0