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广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期模拟（二）数学试题
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本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 命题“，使得”的否定形式是
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
4. 设函数，则的最小正周期
A. 与b有关，且与c有关
B. 与b有关，但与c无关
C. 与b无关，且与c无关
D. 与b无关，但与c有关
5. 如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若
A. 是等差数列
B. 是等差数列
C. 是等差数列
D. 等差数列
6. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A. 10B. C. 2D.
7. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
8. 如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（ ）
A 6B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知为正实数，，则（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值3
C. 的最小值为D. 的最小值为
10. 在平行六面体中，分别是中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ）
A 平面B.
C. 三棱锥的体积是定值D. 三棱锥的外接球的表面积是
11. 已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，
B. 存在，使得
C. 若与交于点时，且三角形为等边三角形，则
D. 若与曲线相切，切点为，则
三、填空题：本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在的展开式中，的系数为__________.
13. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________.
14. 已知向量，若对任意单位向量，均有,则最大值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，直线与椭圆 交于 两点，记 的面积为 ．
（I）求在， 的条件下， 的最大值；
（II）当， 时，求直线 的方程．
16. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
（1）若为等差数列，求；
（2）若，求的前项和．
17. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
18. 口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
19. 已知且，设是空间中个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点，间的距离，记集合
（1）若四面体满足：，，且
①求二面角的余弦值：
②若，求
（2）证明：
参考公式：
本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 命题“，使得”的否定形式是
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
4. 设函数，则的最小正周期
A. 与b有关，且与c有关
B. 与b有关，但与c无关
C. 与b无关，且与c无关
D. 与b无关，但与c有关
5. 如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若
A. 是等差数列
B. 是等差数列
C. 是等差数列
D. 等差数列
6. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A. 10B. C. 2D.
7. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
8. 如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（ ）
A 6B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知为正实数，，则（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值3
C. 的最小值为D. 的最小值为
10. 在平行六面体中，分别是中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ）
A 平面B.
C. 三棱锥的体积是定值D. 三棱锥的外接球的表面积是
11. 已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，
B. 存在，使得
C. 若与交于点时，且三角形为等边三角形，则
D. 若与曲线相切，切点为，则
三、填空题：本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在的展开式中，的系数为__________.
13. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________.
14. 已知向量，若对任意单位向量，均有,则最大值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，直线与椭圆 交于 两点，记 的面积为 ．
（I）求在， 的条件下， 的最大值；
（II）当， 时，求直线 的方程．
16. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
（1）若为等差数列，求；
（2）若，求的前项和．
17. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
18. 口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
19. 已知且，设是空间中个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上，表示点，间的距离，记集合
（1）若四面体满足：，，且
①求二面角的余弦值：
②若，求
（2）证明：
参考公式：
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