2024届广东省广州市华南师范大学附属中学高三数学模拟试卷（二）

这是一份2024届广东省广州市华南师范大学附属中学高三数学模拟试卷（二），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若全集U＝R，集合A＝{x|0≤x＜3}，B＝{x|1＜x＜4}UB＝（ ）
A．[0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
2．（5分）若复数（其中a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z﹣1在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
4．（5分）设函数f（x）＝sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
5．（5分）如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|＝|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|＝|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
A．{dn}是等差数列B．{Sn}是等差数列
C．{\;d4{n}^{2}$}是等差数列D．{\;S4{n}^{2}$}是等差数列
6．（5分）若关于x的方程有实数解，则a的值可以为（ ）
A．10B．eC．2D．
7．（5分）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，CI，DJ，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PKLG构成．设BC＝1，∠GPI＝∠IPK＝∠KPG＝θ≈109°28'（ ）（参考数据：，
A．B．C．D．
8．（5分）如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，记为B'；折痕l与AB交于点E．以点B为坐标原点建立坐标系，若曲线T是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的1B1C1D1的A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线T切于点P、Q、R．则梯形A1B1C1D1的面积最小值为（ ）
A．6B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知x，y为正实数，x+y＝2，则（ ）
A．xy的最大值为1
B．的最小值3
C．的最小值为
D．的最小值为
（多选）10．（6分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，P1C1上的两个动点，且PQ＝1，以A为顶点的三条棱长都是11AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，则（ ）
A．EF∥平面A1C1D
B．
C．三棱锥B﹣PQE的体积是定值
D．三棱锥A1﹣ABD的外接球的表面积是
（多选）11．（6分）已知直线l1是曲线f（x）＝lnx上任一点A（x1，y1）处的切线，直线l2是曲线g（x）＝ex上点B（y1，x1）处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x1+y1＝1时，l1∥l2
B．存在x1，使得l1⊥l2
C．若l1与l2交于点C时，且三角形ABC为等边三角形，则
D．若l1与曲线g（x）相切，切点为C（x2，y2），则x1y2＝1
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在的展开式中，x的系数为 ．
13．（5分）已知函数f（x）＝|csx+a|．给出下列四个结论：
①任意a∈R，函数f（x）的最大值与最小值的差为2；
②存在a∈R，使得对任意x∈R，f（x）+f（π﹣x）；
③当a≠0时，对任意非零实数x，；
④当a＝0时，存在T∈（0，π），x0∈R，使得对任意n∈Z，都有f（x0）＝f（x0+nT）．
其中所有正确结论的序号是 ．
14．（5分）已知向量，，||＝1，||＝2，均有|•|+|•，则•的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，直线y＝kx+b与椭圆＝1交于A，记△AOB的面积为S．
（Ⅰ）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
16．（15分）各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：．
（1）若{an}为等差数列，求a1；
（2）若，求{an}的前n项和Sn．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）求角A；
（2）射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值．
18．（17分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球
（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球，其中2个是黑球．采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）（X）的大小关系．
19．（17分）已知n≥4且n∈N*，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上．dAB表示点A，B间的距离，记集合τ（S）AB|∀A，B∈S，A≠B}．
（1）若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1．
①求二面角C﹣AD﹣B的余弦值：
②若S＝{A，B，C，D}，求τ（S）．
（2）证明：4card（τ（S））≥n﹣1．
参考公式：
2024年广东省广州市华南师大附中高考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若全集U＝R，集合A＝{x|0≤x＜3}，B＝{x|1＜x＜4}UB＝（ ）
A．[0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
【分析】利用集合的基本运算求解．
【解答】解：∵B＝{x|1＜x＜4}，∴∁UB＝{x|x≤7或x≥4}，
又∵A＝{x|0≤x＜2}，
∴A∩∁UB＝{0≤x≤1}．
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）若复数（其中a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z﹣1在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
复数（其中a∈R，
则，
∴复数，
∴复数z在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可
【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．
4．（5分）设函数f（x）＝sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断．
【解答】解：∵设函数f（x）＝sin2x+bsinx+c，
∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，
当b＝0时，f（x）＝sin5x+bsinx+c＝﹣cs7x+＝π，
当b≠0时，f（x）＝﹣+c，
∵y＝cs2x的最小正周期为π，y＝bsinx的最小正周期为2π，
∴f（x）的最小正周期为5π，
故f（x）的最小正周期与b有关，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
5．（5分）如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|＝|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|＝|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
A．{dn}是等差数列B．{Sn}是等差数列
C．{\;d4{n}^{2}$}是等差数列D．{\;S4{n}^{2}$}是等差数列
【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|＝a，|OB1|＝c，|AnAn+1|＝|An+1An+2|＝b，|BnBn+1|＝|Bn+1Bn+2|＝d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2＝2hn+1，由Sn＝d•hn，可得Sn+Sn+2＝2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列
【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|＝a，|OB1|＝c，
|AnAn+8|＝|An+1An+2|＝b，|BnBn+4|＝|Bn+1Bn+2|＝d，
由于a，c不确定n}不一定是等差数列，
{}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，
由三角形的相似可得＝＝，＝＝，
两式相加可得，＝＝8，
即有hn+hn+2＝2hn+3，
由Sn＝d•hn，可得Sn+Sn+7＝2Sn+1，
即为Sn+6﹣Sn+1＝Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．
6．（5分）若关于x的方程有实数解，则a的值可以为（ ）
A．10B．eC．2D．
【分析】关于x的方程有实数解，等价于函数y＝lgax与y＝ax图象有交点，当0＜a＜1时，函数y＝lgax与y＝ax图象有交点，当a＞1时，函数y＝lgax与y＝ax图象可能有0个或1个或2个交点，先利用导数求出y＝ax与y＝lgax相切时a的值，进而得到0个交点和2个交点时a的取值范围，观察4个选项求解即可．
【解答】解：关于x的方程有实数解ax与y＝ax图象有交点，
函数y＝lgax与y＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称，
当0＜a＜1时，函数y＝lgax与y＝ax图象有交点，
当a＞5时，函数y＝lgax与y＝ax图象可能有0个或1个或7个交点，
先求解y＝ax与y＝lgax相切的情况，
根据反函数的对称性，该切点一定在y＝x上，
假设切点横坐标为x0，
则，
由y＝ax可得y′＝lna•ax，
∴，
∴，
∴＝＝e＝x0＝，
∴lna＝，
∴a＝≈1.44，
当a＞时，没有交点时，有一个交点时，有两个交点，
观察5个选项可知，a的值可以为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了导数的几何意义，属于中档题．
7．（5分）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，CI，DJ，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PKLG构成．设BC＝1，∠GPI＝∠IPK＝∠KPG＝θ≈109°28'（ ）（参考数据：，
A．B．C．D．
【分析】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解．
【解答】解：因为ABCDEF是正六边形，
又BC＝1，
则，
即AC＝，
因为四边形PGHI为菱形，
连接PH，GI，
则PH⊥GI，
又GI∥AC且GI＝AC，
则，
设GI∩PH＝O，
则，，
则，
即，
则菱形PGHI的面积为×GI×PH＝＝，
则上顶的面积为．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义，重点考查了菱形的面积公式，属中档题．
8．（5分）如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，记为B'；折痕l与AB交于点E．以点B为坐标原点建立坐标系，若曲线T是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的1B1C1D1的A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线T切于点P、Q、R．则梯形A1B1C1D1的面积最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【分析】建立坐标系，设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y＝0和y＝1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设M（x，y），B1（x0，4），E（0，
显然直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y＝kx+b，
由题意得B与B1关于直线l对称，所以，
又BB5的中点（，6）在直线l上，故，①
因为，得（x，﹣b）+（x8，2﹣b），
所以，将代入①得，
由每次翻折后点B4都落在边AD上，所以0≤x0≤8，即0≤x≤2，
所以点M的轨迹方程，（6≤x≤2），
所以曲线T的方程为，（﹣2≤x≤8），
设梯形A1B1C6D1的面积为S，点P的坐标为，
根据等腰梯形和抛物线的对称性得，点Q的坐标为（0，
直线B1C5的方程为y＝1，
对于，则y′＝，
所以y′|x＝t＝，所以直线A1B1的方程为，
即：，
令y＝2，得，所以，
令y＝2，得，所以，
所以，当且仅当，即时，
因为，所以时3B1C1D5的面积最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的方程和性质，考查了直线与抛物线的综合，考查了数形结合思想/方程思想及转化思想，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知x，y为正实数，x+y＝2，则（ ）
A．xy的最大值为1
B．的最小值3
C．的最小值为
D．的最小值为
【分析】根据题意利用不等式，判断出A项的正误；由，结合基本不等式判断出B项的正误；令a＝x+1，b＝y+2代入原式，结合“1的代换”与基本不等式加以计算，可判断出C项的正误；由，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的最小值问题，由此判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，因为x＞0，所以，故A项正确；
对于B，因为x＞0，所以，故B项正确；
对于C，令a＝x+1，则a+b＝x+y+8＝5，b＞2），
所以
＝，当且仅当，，即，，故C项不正确；
对于D，＝，
令t＝xy，由A项知，则，（2＜t≤1），
所以当时，取得最小值为．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
（多选）10．（6分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，P1C1上的两个动点，且PQ＝1，以A为顶点的三条棱长都是11AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，则（ ）
A．EF∥平面A1C1D
B．
C．三棱锥B﹣PQE的体积是定值
D．三棱锥A1﹣ABD的外接球的表面积是
【分析】连接AC，四边形ACC1A1为平行四边形可得AC∥A1C1，再由线面平行的判定定理可判断A；对两边平方求值可判断B；根据A1C1、EF之间的距离为定值，B点到平面A1C1FE的距离为定值可判断C；A1在底面ABD的射影M是△ABD的中心，三棱锥A1﹣ABD外接球的球心设为O，设外接球的半径为R，利用、解得R，求出表面积可判断D．
【解答】解：对于A，连接AC，四边形ACC1A1为平行四边形，
所以AC∥A5C1，
所以A1C8∥EF，因为EF⊄平面A1C1D，A6C1⊂平面A1C8D，
所以EF∥平面A1C1D，故A正确；
对于B，因为∠A8AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，由，
得，
所以，可得；
对于C，因为A1C4∥EF，所以A1C1、EF之间的距离为定值，即为△EPQ的高，
又PQ＝5，所以S△EPQ为定值，且B点到平面A1C1FE的距离为定值，
所以三棱锥B﹣PQE的体积是定值，故C正确；
对于D，因为以A为顶点的三条棱长都是61AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，
所以A2在底面ABD的射影M是△ABD的中心，连接AM，
且三棱锥A1﹣ABD外接球的球心在AM上，设为O，
设外接球的半径为R，则A1O＝AO＝R，
，
所以，
，
即，
解得，
可得三棱锥A3﹣ABD的外接球的表面积是，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查线面平行的判定以及几何体体积、表面积的计算，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知直线l1是曲线f（x）＝lnx上任一点A（x1，y1）处的切线，直线l2是曲线g（x）＝ex上点B（y1，x1）处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x1+y1＝1时，l1∥l2
B．存在x1，使得l1⊥l2
C．若l1与l2交于点C时，且三角形ABC为等边三角形，则
D．若l1与曲线g（x）相切，切点为C（x2，y2），则x1y2＝1
【分析】分别求得A，B处的切线的斜率和方程，由两直线平行、垂直的条件可判断A，B；求得C的坐标，结合等边三角形的定义和两点的距离公式，解方程可判断C；求得C处切线的斜率，结合切线l1，可判断D．
【解答】解：由题意可得A，B两点关于直线y＝x对称，
f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，可得切线的斜率为，x1＞0，切线的方程为y﹣lnx5＝（x﹣x6），
即为l1：y＝x+lnx1﹣1；
g（x）＝ex的导数为g′（x）＝ex，可得切线的斜率为＝＝x1，切线的方程为y﹣x6＝x1（x﹣lnx1），
即为l5：y＝x1x+x1﹣x6lnx1；
当x1+y7＝1，即x1+lnx5＝1，由y＝x+lnx在（0，
且x＝4时，y＝11＝8，则l1：y＝x﹣1，l5：y＝x+1，即l1∥l6，故A正确；
由x1•＝1，故B错误；
由l1与l7交于点C时，且三角形ABC为等边三角形，
即有C（，），
又A（x1，lnx7），B（lnx1，x1），可得|AB|＝|AC|＝|BC|，
即有8（x1﹣lnx1）6＝[﹣x4]2+[﹣lnx1]2，
化简可得（x6﹣lnx1）2（﹣4x8+1）＝0．
设y＝x﹣lnx，导数为y′＝2﹣，y′＞0；
当4＜x＜1时，y′＜0，
则y＝x﹣lnx在x＝8处取得最小值，且为1，
所以﹣4x1+5＝0，解得x1＝4±，故C错误；
若l1与曲线g（x）相切，切点为C（x4，y2），
可得＝，而y2＝，即x1y2＝3，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，以及两直线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在的展开式中，x的系数为 ﹣5 ．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝（）3﹣r（）r＝（﹣1）r，
令＝1，
∴x的系数为﹣＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是基础题．
13．（5分）已知函数f（x）＝|csx+a|．给出下列四个结论：
①任意a∈R，函数f（x）的最大值与最小值的差为2；
②存在a∈R，使得对任意x∈R，f（x）+f（π﹣x）；
③当a≠0时，对任意非零实数x，；
④当a＝0时，存在T∈（0，π），x0∈R，使得对任意n∈Z，都有f（x0）＝f（x0+nT）．
其中所有正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】取a＝0可判断①，取a＝1化简后可判断②，先化简，取x＝π可判断③，取T＝可判断④．
【解答】解：对于①，当a＝0时f（x）＝|csx|，最小值为0，故①错误；
对于②，当a＝3时，f（π﹣x）＝|cs（π﹣x）+1|＝|1﹣csx|＝8﹣csx，
因此对任意x∈R，f（x）+f（π﹣x）＝2＝2a；
对于③，，
，当x＝π时；
对于④，当a＝8时f（x）＝|csx|，
当T＝，x0＝，都有f（x0）＝f（x0+nT）＝，
所以存在T∈（0，π），x3∈R，使得对任意n∈Z0）＝f（x0+nT），故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
14．（5分）已知向量，，||＝1，||＝2，均有|•|+|•，则•的最大值是 ．
【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．
【解答】解：由绝对值不等式得≥|••|≥|•+•+）•|，
于是对任意的单位向量，均有|（+|≤，
∵|（+）|4＝||2+||2+6•＝5+2•，
∴|（+）|＝，
因此|（+）•≤，
则•≤，
下面证明：•可以取得，
（1）若|•|+|••+•|，则显然满足条件．
（2）若|•|+|••﹣•|，此时|﹣|3＝||2+||2﹣3•＝5﹣1＝7，
此时|﹣|＝2于是|••|＝|•﹣•，符合题意，
综上•的最大值是，
设＝，＝，＝，
则＝+，＝﹣，
|•|+|•|+||≤||，
由题设当且仅当与同向时，此时（+）2取得最大值5，
由于|+|2+|﹣|）2＝6（||2+||2）＝10，
于是（﹣）2取得最小值4，
则•＝，
•的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，直线y＝kx+b与椭圆＝1交于A，记△AOB的面积为S．
（Ⅰ）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
【分析】（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．
（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．
【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），
由，解得，
所以＝≤b2+1﹣b6＝1．
当且仅当时，S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由
得，①
Δ＝4k8﹣b2+1，
＝．②
设O到AB的距离为d，则，
又因为，
所以b6＝k2+1，代入②式并整理，得，
解得，，代入①式检验，
故直线AB的方程是或或，或．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
16．（15分）各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：．
（1）若{an}为等差数列，求a1；
（2）若，求{an}的前n项和Sn．
【分析】（1）由等差数列的定义和数列的裂项相消求和，结合恒等式可得首项；
（2）分别求得a2，a3，再将n换为n﹣1，两式相减可得an+1﹣an＝2，再由等差数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则＝（﹣），
由，
可得（﹣+﹣+...+﹣﹣＝1﹣，
则a5d＝1，d＝26＝；
（2）令n＝3，可得，又，解得a2＝﹣3，
再令n＝6，可得+，解得a3＝﹣1．
当n≥5时，由，可得+＝3﹣，
相减可得＝1﹣）＝（﹣），
则an+1﹣an＝2，
又a7﹣a1≠2，a4﹣a2＝2，
则{an}从第二项起是公差为6的等差数列，可得Sn＝a1+（a2+a2+...+an）＝﹣﹣4（n﹣1）+2﹣6n+．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）求角A；
（2）射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值．
【分析】（1）由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得所求值；
（2）由三角形的面积公式和基本不等式，化简整理可得所求最小值．
【解答】解：（1）由2b+c＝2acsC，运用正弦定理得8sinB+sinC＝2sinAcsC，
而sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
可得2csAsinC+sinC＝6，
∵sinC＞0，
∴，
∴．
（2）由和AB⊥AE．
由S△ABC＝S△AEB+S△AEC，
可得．
又AE＝2，
可得，即．
由基本不等式可得c+b≥2，
当且仅当，即时，等号成立，
由bc≥8，
，
则△ABC的面积的最小值为．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式，以及三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（17分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球
（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球，其中2个是黑球．采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）（X）的大小关系．
【分析】（1）依题意，X的可能取值有4，5，6，7，求出相应的概率，再利用期望公式求解即可；
（2）依题意，Y的可能取值有4，5，6，7，求出相应的概率，再利用期望公式求出E（Y），结合期望的实际意义作答即可．
【解答】解：（1）依题意，X的可能取值有4，5，7，7，
P（X＝4）＝＝，P（X＝4）＝＝×＝10×＝＝，
∴E（X）＝3×＝＝6.4；
（2）依题意，Y的可能取值有3，5，6，6，
P（Y＝4）＝＝，P（Y＝5）＝+＝×＝，
P（Y＝4）＝＝，
∴E（Y）＝4×＝6，
E（X）＞E（Y），说明将球由题意分装在两个口袋中．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及期望的实际应用，属于中档题．
19．（17分）已知n≥4且n∈N*，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上．dAB表示点A，B间的距离，记集合τ（S）AB|∀A，B∈S，A≠B}．
（1）若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1．
①求二面角C﹣AD﹣B的余弦值：
②若S＝{A，B，C，D}，求τ（S）．
（2）证明：4card（τ（S））≥n﹣1．
参考公式：
【分析】（1）①建立空间直角坐标系，求出平面CAD与平面BAD的法向量，利用向量夹角公式即可求解；
②根据条件AB＝BC＝CD＝1，得出，，即可求解；
（2）设card（r（S））＝k，r（S）＝{d1，d2，……，dk}，从两个方面结合参考公式给出证明即可．
【解答】解：（1）以C为原点，方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，5），0，0），4，0），1，5），
，，，，
①设平面CAD的法向量＝（x，y，
则，即，取，
设平面BAD的法向量为，
则，即，取，
所以，
即二面角C﹣AD﹣B的余弦值为；
②AB＝BC＝CD＝1，，，
所以；
（2）设card（r（S））＝k，r（S）＝{d1，d2，……，dk}，下证，
设S中任意不同的两点的个距离中i的有xi个，i＝8，2，…，k，
则，
记S中n个不同点分别为A1，A7，……，An，设到点Aj的距离等于di的点的个数为xij个，（i＝1，2，…，k，5，…，n），
则xi1+xi2+……+xin＝7xi，（i＝1，2，…，k），
所以（xi3+xi2+……+xin）+（x21+x22+…+x2n）+…+（xk7+xk2+……+xkn）+（xk1+xk6+…+xkn）＝，
考虑由S中的点构成的满足dAB＝dAC的点组（A，B，C）的个数N（S），
一方面，当A取Aj（j＝1，5，…，n）时个，故有N（S），
另一方面，因为S中任意四个点不共面，C），故有 ①，
所以＝＝
＝，
结合①得⇒．
【点评】本题考查空间向量的应用以及组合数的应用，属于难题．
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