2025届广西贵港市港北区第四初级中学数学九上开学联考模拟试题【含答案】

这是一份2025届广西贵港市港北区第四初级中学数学九上开学联考模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列说法中错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等底等高三角形的面积相等
C．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D．如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有a2+b2=c2
2、（4分）用配方法解方程，经过配方，得到（）
A．B．C．D．
3、（4分）下列图形中，中心对称图形有
A．B．C．D．
4、（4分）2019年6月7日是端午节，某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子.下面的调查数据最值得关注的是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
5、（4分）如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6、（4分）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）菱形的对角线，，则该菱形的面积为（ ）
A．12.5B．50C．D．25
8、（4分）如图，点是边长为2的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）当x _________时，分式有意义．
10、（4分）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围为______．
11、（4分）已知点，关于x轴对称，则________.
12、（4分）计算（）•（）的结果是_____．
13、（4分）函数的自变量的取值范围是______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（1）先化简，再求值：÷（﹣），其中a2+3a﹣1＝1．
（2）若关于x的分式方程+1的解是正数，求m的取值范围．
15、（8分）已知：线段a，c．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠C＝90°
16、（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=30cm，BC=40cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．
（1）PQ=______；（用含t的代数式表示）
（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；①点C，N，M在同一条直线上；②点N落在BC边上；
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．
17、（10分）平衡车越来越受到中学生的喜爱，某公司今年从厂家以3000元/辆的批发价购进某品牌平衡车300辆进行销售，零售价格为4200元/辆，暑期将至，公司决定拿出一部分该品牌平衡车以4000元/辆的价格进行促销．设全部售出获得的总利润为y元，今年暑假期间拿出促销的该品牌平衡车数量为x辆，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）若以促销价进行销售的数量不低于零售价销售数量的 ，该公司应拿出多少辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最大？并求出最大利润．
18、（10分）如图①，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点在直线上，将沿射线方向平移，使点与点重合，得到（点、分别与点、对应），线段与轴交于点，线段，分别与直线交于点，．
（1）求点的坐标；
（2）如图②，连接，四边形的面积为__________（直接填空）；
（3）过点的直线与直线交于点，当时，请直接写出点的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一次函数的图像是由直线__________________而得．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为_____．（写出一个即可）
21、（4分）直角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长是________.
22、（4分）对于反比例函数，当时，的取值范围是__________．
23、（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为____cm．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重 合，CG与EF交于点p，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ的周长最小值是__
25、（10分）如图，在中，，，D是AC的中点，过点A作直线，过点D的直线EF交BC的延长线于点E，交直线l于点F，连接AE、CF．
（1）求证：①≌；②；
（2）若，试判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）若，探索：是否存在这样的能使四边形AFCE成为正方形？若能，求出满足条件时的的度数；若不能，请说明理由．
26、（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=AC，BD=DC，BE//DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；
（2）在图2中，画一个菱形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据三角性有关的性质可逐一分析选项，即可得到答案.
【详解】
A项正确，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；B项正确，等底等高三角形的面积相等；C项正确，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；D项错误如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则不一定是a2+b2=c2，有可能不是直角三角形.
本题考查了三角形的的性质、三角形的面积及勾股定理相关的知识，学生针对此题需要认真掌握相关定理，即可求解.
2、B
【解析】
按照配方法的步骤，先把常数项移到右侧，然后在两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可.
【详解】
x2+3x+1=0，
x2+3x=-1，
x2+3x+=-1+，
，
故选B.
本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法的步骤以及要求是解题的关键.
3、B
【解析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、A
【解析】
幼儿园最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【详解】
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故幼儿园最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选A．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5、C
【解析】
①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠B=60°，
∴AC=BC，
∴CD≠BC．
②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
③使得CD与DE重合，构成有两个角为锐角的是菱形，如图：
故计划可拼出①②③．
故选C．
6、B
【解析】
移项、方程两边同时加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式进行配方即可.
【详解】
移项,得：
配方,
即,
故选B.
考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数形式.
7、D
【解析】
根据菱形的面积公式求解即可.
【详解】
菱形的面积=AC·BD=×5×10=25
故选：D
本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，学生们熟练掌握即可.
8、B
【解析】
先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【详解】
解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，
即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、≠3
【解析】
解：根据题意得x-3≠0，即x≠3
故答案为：≠3
10、且
【解析】
当x≠﹣1时，解出x含a的表达式，令其小于零且不等于-1，直接解出即可.
【详解】
当x≠﹣1时,1x－a=0,x=＜0,解得a＜0,
且，解得a≠﹣1．
综上所述且．
故答案为:且．
本题考查解分式方程和解不等式,关键在于牢记分式有意义的条件,熟练掌握解方程的步骤．
11、
【解析】
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即可求出答案．
【详解】
解：∵点，关于x轴对称，
∴，
∴．
故答案为：．
此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标的变化规律．
12、－2
【解析】
利用平方差公式进行展开计算即可得.
【详解】
=
=-2，
故答案为：-2.
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
13、x>
【解析】
根据分式、二次根式有意义的条件，确定x的范围即可．
【详解】
依题意有2x-3＞2，
解得x>．
故该函数的自变量的取值范围是x>.
故答案为：x>.
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．二次根式有意义，被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+23中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-2．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）m＞1且m≠2．
【解析】
（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+2a-1=1，即a2+2a=1整体代入可得；
（2）解分式方程得出x=m-1，由分式方程的解为正数得m-1＞1且m-1≠2，解之即可．
【详解】
（1）原式＝÷＝•＝＝，
当a2+2a﹣1＝1，即a2+2a＝1时， 原式＝＝．
（2）解方程＝+1，得：x＝m﹣1，根据题意知m﹣1＞1且m﹣1≠2，解得：m＞1且m≠2．
本题考查分式的混合运算、解分式方程，解题关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15、详见解析
【解析】
过直线m上点C作直线n⊥m，再在m上截取CB＝a，然后以B点为圆心，c为半径画弧交直线n于A，则△ABC满足条件．
【详解】
解：如图，△ABC为所作．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
16、（1）4t；（2）①，②；（3）秒或秒或秒．
【解析】
（1）先求出AB=50，sinA==，csA==，进而求出AQ=3t，PQ=4t，即可得出结论；
（2）先判断出PN=QM=PQ=4t，
①求出CD=24，AD=18，进而判断出AQ+QM=AD=18，建立方程即可得出结论；
②判断出∠APQ=∠PNC，进而得出△AQP∽△PCN，建立方程即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=50，
∴sinA==，csA==
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，
由运动知，AP=5t，
在Rt△AQP中，AQ=AP•csA=×5=3t，PQ=AP•sinA=4t，
故答案为：4t；
（2）由（1）知，AQ=3t，PQ=4t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=QM=PQ=4t，
①如图1，
由（1）知，AB=50，
过点C作CD⊥AB于D，
∴AB•CD=AC•BC，
∴CD=24，
在Rt△ADQ中，AD==18，
∵点C，N，M在同一条直线上，
∴点M落在点D，
∴AQ+QM=AD=18，
由（1）知，QM=PQ=4t，AQ=3t，
∴4t+3t=18，
∴t=；
②点N落在BC上时，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∵∠QPN=90°
∴∠CPN+∠APQ=90°，
∴∠APQ=∠PNC，
∵∠AQP=∠PCN，
∴△AQP∽△PCN，
∴，
∴，
∴t=；
（3）当PC=PN时，30-5t=4t，
∴t=，
当PC=NC时，如图2，过点C作CF⊥PN于F，延长CF交AB于D，
∴PF=PN=2t，
∴QD=2t，
根据勾股定理得，AQ==3t，
∴AD=AQ+QD=5t=18，
∴t=，
当PN=NC时，如图3，过点N作NG⊥AC于G，
∴PG=PC=，
易知，△PNG∽△APQ，
∴，
∴，
∴t=，
即：当△PCN是等腰三角形时，秒或秒或秒．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
17、（1）y＝﹣200x+360000（0≤x≤300）；（2）公司应拿出60辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最大，最大利润为348000元．
【解析】
(1)根据“利润=售价-成本”结合“总利润=促销部分的利润+正常零售的利润”列式进行计算即可得；
(2)根据以促销价进行销售的数量不低于零售价销售数量的列出关于x的不等式，然后求出x的取值范围，继而根据一次函数的性质进行求解即可.
【详解】
(1)根据题意得：
y＝(4000﹣3000)x+(4200﹣3000)(300﹣x)＝﹣200x+360000(0≤x≤300)；
(2)根据题意得：x≥(300-x)，
解得x≥60，
由(1)可知，y＝﹣200x+360000，
∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝60时，y的值增大，最大值为：﹣200×60+360000＝348000(元)，
答：公司应拿出60辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最大，最大利润为348000元．
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，找准各量间的数量关系是解题的关键.
18、（1）C（-1,6）；（2）24；（3）点N的坐标为（，）或（， ）；
【解析】
（1）先求出点E的坐标，根据平移得到OA=CE=4，即可得到点C的坐标；
（2）根据图象平移得到四边形的面积等于的面积，根据面积公式计算即可得到答案；
（3）根据直线特点求出，tan∠NCE=tan∠POB=，再分两种情况：点N在CE的上方或下方时，分别求出直线CN的解析式得到点N的坐标即可.
【详解】
（1）∵点在直线上，
∴m=6，
∴E（3,6），
由平移得CE=OA=4，
∴点C的坐标是（-1,6）；
（2）由平移得到四边形的面积等于的面积，
∴，
故答案为：24；
（3）由直线y=2x得到：tan∠POB=，
当时，tan∠NCE=tan∠POB=，
①当点N在CE上方时，直线CE的表达式为：，
低昂点C的坐标代入上式并解得：b=，
∴直线CN的表达式是y=x+，
将上式与y=2x联立并解得：x=，y=，
∴N（，）；
②当点N在CE下方时，直线CE的表达式为：y=-x+，
同理可得：点N（， ）；
综上，点N的坐标为（，）或（， ）.
此题考查函数图象上的点坐标，平行四边形的面积公式，平移的性质，求函数解析式，根据解析式求角的三角函数值，综合掌握各知识点是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、向上平移五个单位
【解析】
根据“上加下减”即可得出答案．
【详解】
一次函数的图像是由直线向上平移五个单位得到的，
故答案为：向上平移五个单位．
本题考查一次函数图象的平移，熟记“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
20、1
【解析】
【分析】由直线y=1x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．
【详解】∵直线y=1x与线段AB有公共点，
∴1n≥3，
∴n≥，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．
21、4或
【解析】
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【详解】
∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x==4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x==，
综上所述，第三边的长为4或，
故答案为：4或.
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．注意分类讨论思想的运用.
22、﹣3＜y＜1
【解析】
先求出x＝﹣1时的函数值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】
解：当x＝﹣1时，
，
∵k＝3＞1，
∴图象分布在一、三象限，在各个象限内，y随x的增大而减小，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，且y＜1，
∴y的取值范围是﹣3＜y＜1．
故答案为：﹣3＜y＜1．
本题主要考查反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠1），当k＞1时，在各个象限内，y随x的增大而减小；当k＜1时，在各个象限内，y随x的增大而增大．
23、2.1
【解析】
试题分析：先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD=DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD=DE
又BD：DC=2：1，BC=7.8cm
∴DC=7.8÷（2+1）=7.8÷3=2.1cm．
∴DE=DC=2.1cm．
故填2.1．
点评：此题主要考查角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答，各角线段的比求出线段长是经常使用的方法，比较重要，要注意掌握．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ=PN，PB=PG，推出PQ+PG=PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题．
【详解】
解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．
由翻折的性质以及对称性可知；PQ=PN，PG=PC，HG=CD=4，
∵QH=QG，
∴QG=2，
在Rt△BCN中，BN= ，
∵∠CBG=90°，PC=PG，
∴PB=PG=PC，
∴PQ+PG=PN+PB≥BN=2，
∴PQ+PG的最小值为2，
∴△GPQ的周长的最小值为2+2，
故答案为2+2．
本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
25、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形AFCE是矩形，证明见解析；（3）当EF⊥AC，∠B=22.5°时，四边形AFCE是正方形，证明见解析．
【解析】
（1）①根据中点和平行即可找出条件证明全等．
②由全等的性质可以证明出四边形AFCE是平行四边形，即可得到AE=FC．
（2）根据和可证明出△DCE为等边三角形，进而得到AC=EF即可证明出四边形AFCE是矩形．
（3）根据四边形AFCE是平行四边形，且EF⊥AC，得到四边形AFCE是菱形．由AC=BC，证出△DCE是等腰直角三角形即可得到AC=EF，进而证明出菱形AFCE是正方形．所以存在这样的．
【详解】
（1）①
∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED．
∵AD=CD，∴△ADF≌△CDE．
②由△ADF≌△CDE，∴AF=CE．
∵AF∥BE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE=FC．
（2）四边形AFCE是矩形．
∵四边形AFCE是平行四边形，∴AD=DC，ED=DF．
∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=30°，∴∠ACE=60°．
∵∠CDE=2∠B=60°，∴△DCE为等边三角形，∴CD=ED，∴AC=EF，∴四边形AFCE是矩形．
（3）当EF⊥AC，∠B=22.5°时，四边形AFCE是正方形．
∵四边形AFCE是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=22.5°，∴∠DCE=2∠B=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，即DC=DE，∴AC=EF，∴菱形AFCE是正方形．
即当EF⊥AC，∠B=22.5°时，四边形AFCE是正方形．
此题考查三角形全等，特殊平行四边形的判定及性质，难度中等．
26、（1）作图见解析 （2）作图见解析
【解析】
（1）连接AD、BC相交于点O，Rt△AOB即为所求；
（2）连接AD交BE于F，连接CF，四边形BFCD即为所求．
【详解】
（1）连接AD、BC相交于点O，Rt△AOB即为所求；
（2）连接AD交BE于F，连接CF，四边形BFCD即为所求．
本题考查了尺规作图的问题，掌握直角三角形和菱形的性质是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人