2025届广东省阳江市东平中学九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份2025届广东省阳江市东平中学九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6B．11C．12D．18
2、（4分）正五边形的每个内角度数是（ ）
A．60° B．90° C．108° D．120°
3、（4分）当x为下列何值时，二次根式有意义 （ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，下列结论中不一定成立的是( )
A．B．C．D．
5、（4分）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列方程有两个相等的实数根的是( )
A．B．
C．D．
7、（4分）如图,矩形ABCD中,AB=7,BC=4,按以下步骤作图：以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB,BC于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点H,作射线BH,交DC于点G,则DG的长为( )
A．1B．1C．3D．2
8、（4分）如图，在中，，垂足为，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是________．
10、（4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为_____．
11、（4分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______.
12、（4分）若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
13、（4分）如图，为的中位线，点在上，且为直角，若 ，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,请说明：四边形ADEF为平行四边形．
15、（8分）某学校组织330学生集体外出活动，计划租用甲、乙两种大客车共8辆，已知甲种客车载客量为45人/辆，租金为400元/辆；乙种客车载客量为30人/辆，租金为280元/辆， 设租用甲种客车x辆.
(1)用含x的式子填写下表：
(2)给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
16、（8分）某学校为了了解男生的体能情况，规定参加测试的每名男生从“实心球”，“立定跳远”，“引体向上”，“耐久跑1000米”四个项目中随机抽取一项作为测试项目．
（1）八年（1）班的25名男生积极参加，参加各项测试项目的统计结果如图，参加“实心球”测试的男生人数是 人；
（2）八年（1）班有8名男生参加了“立定跳远”的测试，他们的成绩（单位：分）如下：95，100，82，90，89，90，90，85
①“95，100，82，90，89，90，90，85”这组数据的众数是 ，中位数是 ．
②小聪同学的成绩是92分，他的成绩如何？
③如果将不低于90分的成绩评为优秀，请你估计八年级80名男生中“立定跳远”成绩为优秀的学生约为多少人？
17、（10分）（1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b1．
（2）解方程 ．
18、（10分）益群精品店以转件21元的价格购进一批商品，该商品可以白行定价，若每件商B品位价a元，可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的利润率不得超过20%，商店计划要盈利400元，求每件商品应定价多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
20、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是______．
21、（4分）学校开展的“争做最美中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
那么这五位同学演讲成绩的众数是_____，中位数是_____．
22、（4分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.
23、（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简：，再从-1，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值
25、（10分）某商场计划购进冰箱、彩电相关信息如下表，若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中的值.
26、（12分）用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．
（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．
（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．
考点：多边形内角与外角．
2、C
【解析】
先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出内角和，然后除以5即可；
【详解】
根据多边形内角和定理可得：
（5-2）•180°=540°，
540°÷5=108°；
故选：C.
考查了正多边形的内角与外角的关系，解题关键熟记、运用求多边形内角和公式(n-2) •180°.
3、C
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
由题意得，2-x≥0，
解得，
故选：C．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4、D
【解析】
根据菱形的性质即可一一判断
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
故A、B、C正确，
故选：D.
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5、D
【解析】
根据分式的概念可知使分式有意义的条件为a≠0，根据二次根式被开方数大于等于0可知，使该等式成立的条件为a＞0且1-a≥0，故a的取值范围是0＜a≤1.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D.
本题主要考査二次根式的概念和分式的概念，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．
6、B
【解析】
分别计算各选项的判别式△值，然后和0比较大小，再根据一元二次方程根与系数的关系就可以找出符合题意的选项.
【详解】
A、△=b2 -4ac=1+24=25>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、△=b2 -4ac=36-36=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、△=b2 -4ac=25-40=-15<0，方程没有实数根，不符合题意；
D、△=b2 -4ac=81>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意，
故选B.
本题考查了一元二次方程根的情况与与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．
7、C
【解析】
利用基本作图得到BG平分∠ABC，再证明△BCG为等腰直角三角形得到GC=CB=4，从而计算CD-CG即可得到DG的长．
【详解】
由图得BG平分∠ABC，
∵四边形ABCD为矩形，CD=AB=7，
∴∠ABC=∠B=，
∴∠CBG=，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∴GC=CB=4，
∴DG=CD−CG=7−4=3.
故选：C.
本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是得到GC=CB=4.
8、A
【解析】
根据题意，可以证得△ACD∽△CBD，进而得到，由已知数据代入即可．
【详解】
由题意知，，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即，
∵，，
∴CD=4，
故选：A．
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、十
【解析】
根据正多边形的外角和为360°，除以每个外角的度数即可知．
【详解】
解：∵正多边形的外角和为360°，
∴正多边形的边数为，
故答案为：十．
本题考查了正多边形的外角与边数的关系，解题的关键是熟知正多边形外角和等于每个外角的度数与边数的乘积．
10、5cm
【解析】
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，由折叠的性质可得DF＝D′F，在Rt△AD′F中，由勾股定理可得x2＝42+（8﹣x） 2，解方程求的x的值，即可得AF的长.
【详解】
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝42+（8﹣x） 2，
解得：x＝5（cm）．
故答案为：5cm
本题考查了矩形的折叠问题，利用勾股定理列出方程x2＝42+（8﹣x） 2是解决问题的关键.
11、
【解析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=b2-4ac≥0，然后求出不等式的解即可.
【详解】
解： 有实数根
∴△=b2-4ac≥0即，解得：
即的取值范围为：
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12、14
【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
13、1cm．
【解析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，结合图形计算即可．
【详解】
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4（cm），
∵∠AFC为直角，E为AC的中点，
∴FE＝AC＝3（cm），
∴DF＝DE﹣FE＝1（cm），
故答案为1cm．
本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析
【解析】
分析：由△ABD，△EBC都是等边三角形，易证得△DBE≌△ABC（SAS），则可得DE=AC，又由△ACF是等边三角形，即可得DE=AF，同理可证得AD=EF，即可判定四边形ADEF是平行四边形．
本题解析：
证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC，
∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，∵ ，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理可证：AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
15、 (1)(1)8﹣x，30(8﹣x)，280(8﹣x)；(2)最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆，最低费用为2960元
【解析】
（1）设租用甲种客车x辆，根据题意填表格即可.
（2）设租车的总费用为y元，则可列出关于x的解析式即为y=120x + 2240，又因为学校组织330学生集体外出活动，则有不等式45x+30(8﹣x)≥330，求得x的取值范围，即可解答最节省费用的租车方案.
【详解】
解：(1)
(2)当租用甲种客车x辆时，设租车的总费用为y元，
则：y = 400x +280(8﹣x)=120x + 2240，
又∵45x+30(8﹣x)≥330，解得x≥6，
在函数y=120x+2240中，
∵120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x = 6时，y取得最小值，最小值为2960.
答：最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆，最低费用为2960元．
此题考查一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题关键在于利用不等式求取的范围解答即可.
16、（1）7；（2）①90；90；②小聪同学的成绩处于中等偏上；③有50人.
【解析】
（1）由统计结果图即可得出结果；
（2）①根据已知数据通过由小到大排列确定出众数与中位数即可；②求出8名男生成绩的平均数，然后用92与平均数进行比较即可；③求出成绩不低于90分占的百分比，乘以80即可得到结果．
【详解】
（1）由统计结果图得：参加“实心球”测试的男生人数是7人，
故答案为：7；
（2）①将95，100，82，90，89，90，90，85这组数据由小到大排列：82，85，89，90，90，90，95，100；
根据数据得：众数为90，中位数为90，
故答案为：90；90；
②8名男生平均成绩为：＝90.125，
∵92＞90.125，
∴小聪同学的成绩处于中等偏上；
③8名男生中达到优秀的共有5人，
根据题意得：×80＝50（人），
则估计八年级80名男生中“立定跳远”成绩为优秀的学生约为50人．
本题考查了众数、中位数、平均数、用样本估计总体等知识，熟练掌握众数、中位数、平均数的概念是解题的关键．
17、（1）b（a﹣2b）2；（2）x=-2
【解析】
（1）运用提公因式法与公式法进行因式分解即可；
（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】
解：（1）
；
（2）
去分母，得
，
解得，
经检验：是原方程的解．
本题主要考查了因式分解以及解分式方程，解分式方程时，一定要检验．
18、需要进货100件，每件商品应定价25元
【解析】
根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价．建立等量关系．
【详解】
解：依题意（a-21）（350-10a）=400，
整理得：a2-56a+775=0，
解得a1=25，a2=1．
∵21×（1+20%）=25.2，
∴a2=1不合题意，舍去．
∴350-10a=350-10×25=100（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
本题考查了一元二次方程的应用，注意需要检验结果是否符合题意．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、k＞﹣1且k≠1．
【解析】
由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
20、甲
【解析】
根据题目中的四个方差，可以比较它们的大小，由方差越小越稳定可以解答本题．
【详解】
解：∵0.57＜0.59＜0.62＜0.67，
∴成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲
本题考查数据的波动。解答本题的关键是明确方差越小越稳定．
21、86, 1
【解析】
根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
由表可知，这6为同学的成绩分别为：86、86、1、93、96，
则众数为86，中位数为1，
故答案为：86，1．
此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
22、75
【解析】
因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°.
所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.
所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.
故答案为75.
23、
【解析】
如图,连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′,∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90∘,AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD−C′D=−1.
故答案为：−1.
点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、原式=，把x=2代入原式=
【解析】
先根据分式的运算化简，再取x=2代入求解.
【详解】
==
∵x不能取-1，1
∴把x=2代入原式=
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
25、1
【解析】
根据数量=总价÷单价结合用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：由题意可列方程
解得，
经检验，a=1是原方程的解，且符合题意．
答：表中a的值为1．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；
（2）根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答．
【详解】
解：（1）连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；
（2）如图所示，平行四边形MBCN即为所求．
本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握性质定理和网格特点是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
车辆数(辆)
载客量(人)
租金(元)
甲种客车
x
45x
400x
乙种客车
________
__________
_________
进价/（元/台）
冰箱
a
彩电
a-400
车辆数(辆)
载客量(人)
租金(元)
甲种客车
x
45x
400x
乙种客车
8﹣x
30(8﹣x)
280(8﹣x)