北师大版九年级数学上册《知识解读•题型专练》第05讲一元二次方程的应用(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版+解析)

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第05讲 一元二次方程的应用懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。知识点 1：变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。知识点2 ：传染、分裂问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：知识点3： 握手、比赛问题握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。知识点 4：销售利润问题 ：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为知识点5：几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 知识点6 ：动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.【题型 1 变化率问题】【典例1】（2022秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？【变式1-1】（2022秋•大连期末）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课，9月份该公众号关注人数为5000人，11月份该公众号关注人数达到7200人，若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．【变式1-2】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？【变式1-3】（2023•黄山一模）数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计2020年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，2022年约为5.9774亿人．（1）求2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；（2）按照这个增长率，预计2023年我国数字阅读用户规模能否达到6.5亿人．【典例2】（2022秋•西峡县期中）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）A．1000（1+x）×2＝1440 B．1000（1+x）2＝1440 C．1000（1+x2）＝1440 D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440【变式2-1】（2022春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（　　）万吨A．50（1+x）2 B．[50+50（1+x）] C．[50（1+x）2+50（1+x）] D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]【变式2-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（　　） A．4000（1+x）2=15000 B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000 D．4000+4000（1+x）2=15000【变式2-3】（2023•温江区校级模拟）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.62 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62【题型2 传染、分裂问题】 【典例3】（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【变式3-1】（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　）A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64【变式3-2】（2022秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？【变式3-3】（2023•潮南区模拟）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【典例4】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（　　）A．6 B．4 C．3 D．5【变式4-2】（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（　　）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【变式4-3】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【题型3 握手、比赛问题】【典例5】（2022秋•安定区期中）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了21场比赛，求共有多少个队参加比赛？【变式5-1】（2023春•滨江区校级期中）一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（　　）A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D．【变式5-2】（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）．（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　　场比赛；（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【典例6】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）A．9人 B．10人 C．12人 D．15人【变式6-1】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【变式6-2】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 　 　．【变式6-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 　 　班．【题型 4 销售利润问题】【典例7】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）y与x之间的函数关系式为 　 　；（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？【变式7-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？【变式7-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台430元的价格进货一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71250元时，微波炉的销售单价应定为多少？【变式7-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？【典例8】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【变式8-1】（2023春•西湖区校级期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）当销售量为30件时，产品售价为 　 　元/件；（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【变式8-2】（2023春•余姚市校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？【变式8-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率； （2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？【题型5 几何面积问题】 【典例9】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式9-1】（2023•大连一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，若矩形绿地的面积为36m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．【变式9-2】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．​（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【变式9-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【题型6 动点与几何问题】【典例10】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【变式10-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【变式10-2】（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【变式10-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝　 　cm；BQ＝　 　cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？1．（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.72．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.23．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.94．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（　　）A．10.5% B．10% C．20% D．21%5．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（　　）A．8（1+2x）＝11.52 B．2×8（1+x）＝11.52 C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1+x2）＝11.526．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　 　．7．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　．8．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　．9．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？10．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．11．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？12．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？13．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？1．（2023•庐阳区校级三模）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由10000元降到6400元．且第二次降价的百分率是第一次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）A．10000（1﹣x）（1﹣2x）＝6400 B．6400（1﹣x）（1+2x）＝10000 C．10000（1﹣x）（1﹣0.5x）＝6400 D．6400（1+x）（1+0.5x）＝100002．（2023•石家庄三模）红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝137 D．368（1+x）2＝4423．（2023•虎林市校级三模）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛15场，则九年级班级的个数为（　　）A．6 B．5 C．4 D．34．（2023春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　）​A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝1445．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．6．（2023•福田区校级二模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商场以20元/台的价格购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：只）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若物价局规定，产品的利润率不得超过60%，该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获得150元利润，销售单价应定为多少？7．（2023春•包河区校级月考）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？8．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．9．（2023春•南岗区校级期中）据统计，汽车销售公司3月份销售一种新型汽车8辆，5月份该公司销售这种型新车18辆．（1）求该公司3﹣5月销售这种新型车数量的月平均增长率；（2）这种新型车进价9万元/辆，该公司售价9.8万元/辆，若使6月份该公司这种新型汽车的销售利润不低于24万元，那么该公司6月份应至少销售这种新型车多少辆？10．（2023春•定远县期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．（1）几秒后，PQ的长度为；（2）几秒后，△PBQ的面积为8cm2；（3）△PBQ的面积能否为14cm2？请说明理由．11．（2023春•鹿城区期中）服装批发市场有一批服装，如果每件盈利50元，每天可售出500件．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少2件．（1）若以每件能盈利70元的单价出售，每天的总利润为多少元？（2）现市场要保证每天总利润40000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？12．（2023•大同模拟）“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使AE”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．（1）用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为 　 元，每天可卖出此种草莓的数量为 　 　盒．（2）若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？第05讲 一元二次方程的应用懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。知识点 1：变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。知识点2 ：传染、分裂问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：知识点3： 握手、比赛问题握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。知识点 4：销售利润问题 ：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为知识点5：几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 知识点6 ：动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.【题型 1 变化率问题】【典例1】（2022秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为x，根据题意得7500（1+x）2＝10800，即（1+x）2＝1.44，解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为20%；（2）10800×（1+0.2）＝12960（本），10800÷1350＝8（本），12960÷1440＝9（本），（9﹣8）÷8×100%＝12.5%．故a的值至少是12.5．【变式1-1】（2022秋•大连期末）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课，9月份该公众号关注人数为5000人，11月份该公众号关注人数达到7200人，若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．【解答】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），【变式1-2】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？【答案】（1）20%；（2）该企业2022年的利润能超过3.4亿元．【解答】解：（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为20%；（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），3.456＞3.4，∴该企业2022年的利润能超过3.4亿元．【变式1-3】（2023•黄山一模）数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计2020年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，2022年约为5.9774亿人．（1）求2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；（2）按照这个增长率，预计2023年我国数字阅读用户规模能否达到6.5亿人．【答案】（1）2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为10%．（2）预计2023年我国数字阅读用户规模能达到6.5亿人．【解答】解：（1）设2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为x，根据题意得4.94（1+x）2＝5.9774，解得 x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）答：2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为10%．（2）5.9774（1+0.1）＝6.57514＞6.5，答：预计2023年我国数字阅读用户规模能达到6.5亿人．【典例2】（2022秋•西峡县期中）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）A．1000（1+x）×2＝1440 B．1000（1+x）2＝1440 C．1000（1+x2）＝1440 D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440【答案】B【解答】解：由题意得：1000（1+x）2＝1440，故选：B．【变式2-1】（2022春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（　　）万吨A．50（1+x）2 B．[50+50（1+x）] C．[50（1+x）2+50（1+x）] D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]【答案】C【解答】解：根据题意，得第二季度的总产量为50（1+x）万吨，第三季度的总产量为50（1+x）2万吨，∴第二、三季度的总产量为[50（1+x）+50（1+x）2]万吨，故选：C．【变式2-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（　　） A．4000（1+x）2=15000 B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000 D．4000+4000（1+x）2=15000【答案】C【解答】解：设平均每年的增长率是x，根据题意可得：4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．故答案为：C．【变式2-3】（2023•温江区校级模拟）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.62 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62【答案】D【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62，故选：D【题型2 传染、分裂问题】 【典例3】（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x＝144，x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．答：平均一人传染11人．（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．【变式3-1】（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　）A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64【答案】C【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，故选：C．【变式3-2】（2022秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得x（x+1）+x+1＝9，解得：x1＝2，x2＝﹣4（舍去），三天后共有（x+1）3个人患病，（2+1）3＝27（人）．故每天平均一个人传染了2人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有27人患病．【变式3-3】（2023•潮南区模拟）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】每轮传染中平均每人传染了15人．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，解得：x1＝﹣17（不符合题意舍去），x2＝15，答：每轮传染中平均每人传染了15人．【典例4】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．故选：B．【变式4-1】（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（　　）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】B【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，由题意得：x2+x+1＝21，解得：x1＝4，x2＝﹣5（舍去）；∴每个支干长出小分支的个数是4．故选：B．【变式4-2】（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（　　）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【答案】B【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝57，即（x+8）（x﹣7）＝0，解得：x＝7或x＝﹣8（不合题意，舍去）；∴x＝7，即这种植物每个支干长出的小分支的个数是7个，故B正确．故选：B．【变式4-3】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．故选：B．【题型3 握手、比赛问题】【典例5】（2022秋•安定区期中）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了21场比赛，求共有多少个队参加比赛？【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：＝21，整理，得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意舍去），所以，这次有7队参加比赛．答：这次有7队参加比赛．【变式5-1】（2023春•滨江区校级期中）一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（　　）A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D．【答案】C【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝15．故选：C．【变式5-2】（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】D【解答】解：设参加比赛的队伍共有x支，根据题意得：x（x﹣1）＝110，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），∴参加比赛的队伍共有11支．故选：D．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）．（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　　场比赛；（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【解答】解：（1）6×（6﹣1）÷2＝15（场），∴如果有6支球队参加比赛，那么共进行15场比赛．故答案为：15．（2）设有x支球队参加比赛，根据题意得：x（x﹣1）＝45，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．答：有10支球队参加比赛．【典例6】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）A．9人 B．10人 C．12人 D．15人【答案】B【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．故选：B．【变式6-1】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【答案】D【解答】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D【变式6-2】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 　 　．【答案】x（x﹣1）＝72．【解答】解：设参加比赛的球队有x支，依题意得：x（x﹣1）＝72．故答案为：x（x﹣1）＝72．【变式6-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 　 　班．【答案】9【解答】解：设该校八年级有x个班，根据题意得x（x﹣1）＝72，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去），答：该校八年级有9个班．故答案为：9．【题型 4 销售利润问题】【典例7】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）y与x之间的函数关系式为 　 　；（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，120），（4，140）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100（0＜x＜20）．故答案为：y＝10x+100（0＜x＜20）．（2）（60﹣1﹣40）×（10×1+100）＝（60﹣1﹣40）×（10+100）＝19×110＝2090（元）．答：当每千克干果降价1元时，超市获利2090元．（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2210，整理得：x2﹣10x+21＝0，解得：x1＝3，x2＝7，又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝7．答：这种干果每千克应降价7元．【变式7-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？【答案】（1）y＝﹣10x+100 （2）6元或7元【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（3，70），（9，10）代人得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+100；（2）由题意得：（x﹣3）y＝120，即（x﹣3）（﹣10x+100）＝120，解得：x＝6或x＝7，∴销售单价应为6元或7元【变式7-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台430元的价格进货一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71250元时，微波炉的销售单价应定为多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（35，650），（50，500）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+1000．（2）依题意得：（500+x﹣430）（﹣10x+1000）＝71250，整理得：x2﹣30x+125＝0，解得：x1＝5，x2＝25，当x＝5时，﹣10x+1000＝﹣10×5+1000＝950＞750，利润率为×100%≈17.44%＜20%，不符合题意；当x＝25时，﹣10x+1000＝﹣10×25+1000＝750，利润率为×100%≈22.09%＞20%，符合题意，∴500+x＝500+25＝525．答：微波炉的销售单价应定为525元．【变式7-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160．（2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，整理得：x2﹣110x+2800＝0，解得：x1＝40，x2＝70．又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，∴x＝40，∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．答：每天的销售量应为80千克．【典例8】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【答案】(1) 1800元 (2)30元【解答】解：（1）（270﹣210）×30＝1800 （元）．∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．（2）设每件商品应降价x元，由题意，得（270﹣x﹣210）（30+3x）＝1800×2，解得 x1＝20，x2＝30．∵要更有利于减少库存，∴x＝30．答：每件商品应降价30元．【变式8-1】（2023春•西湖区校级期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）当销售量为30件时，产品售价为 　105　元/件；（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【答案】（1）105；（2）y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（3）90元．【解答】解：（1）110﹣＝110﹣＝110﹣5＝105（元/件），∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件．故答案为：105；（2）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（3）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．答：该产品的售价每件应定为90元．【变式8-2】（2023春•余姚市校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？【答案】（1）商家平均每天能盈利5670元；（2）每件吉祥物降价10元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元．【解答】解：（1）（125﹣20）×（50+）＝105×54＝5670（元）．答：商家平均每天能盈利5670元．（2）设每件吉祥物降价x元，则每件的销售利润为（125﹣x）元，每天的销售量为（50+）件，依题意得：（125﹣x）（50+）＝5980，整理得：x2+125x﹣1350＝0，解得：x1＝﹣135（不合题意，舍去），x2＝10．答：每件吉祥物降价10元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元．【变式8-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率； （2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？【解答】解：（1）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，依题意，得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该宾馆这两年床位的年平均增长率为20%．（2）设每张床位定价m元，依题意，得：m（288﹣20•）＝14880，整理，得：m2﹣184m+7440＝0，解得m1＝60，m2＝124．∵为了减轻游客的经济负担，∴x＝60．答：每张床位应定价60元．【题型5 几何面积问题】 【典例9】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】（1）2m （2）10%【解答】解：（1）设小路的宽度是xm，根据题意得：（21+2x）（12+2x）＝400，整理得：4x2+66x﹣148＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣18.5（舍去）．答：小路的宽度是2m；（2）设每次降价的百分率为y，依题意得：50（1﹣y）2＝40.5，解得：y1＝0.1，y2＝1.9（舍去），答：每次降价的百分率为10%．【变式9-1】（2023•大连一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，若矩形绿地的面积为36m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．【答案】6m．【解答】解：设矩形垂直于墙的一边AB的长为xm．由题意得，x（18﹣2x）＝36，整理得，x2﹣9x+18＝0，解得，x1＝3，x2＝6，当x＝3时，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，不符合题意，舍去；当x＝6时，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10，符合题意．答：矩形垂直于墙的一边AB的长为6m．【变式9-2】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．​（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【答案】（1）长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米；（2）16平方米．【解答】解：（1）设AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，根据题意，得2x+x+x＝120，解得x＝30，∴AB＝30米，BC＝60米，答：长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米；（2）设网红打卡点的边长为m米，根据题意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），∴网红打卡点的面积为4×4＝16（平方米），答：网红打卡点的面积为16平方米．【变式9-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【答案】（1）12m （2）不能围成面积为480m2的矩形花园．【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，依题意得：x•＝300，整理得：x2﹣62x+600＝0，解得：x1＝12，x2＝50．又∵墙EF最长可利用28m，∴x＝12．答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：设BC＝ym，则AB＝ m，依题意得：y•＝480，整理得：y2﹣62y+960＝0，解得：y1＝30，y2＝32．又∵墙EF最长可利用28m，∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，∴不能围成面积为480m2的矩形花园．【题型6 动点与几何问题】【典例10】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【答案】（1） 1秒 （2） 2秒 （3）不可能等于7cm2．【解答】解：（1）设x秒后，△BPQ的面积为4cm2，此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由BP×BQ＝4，得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去．答：1秒后△BPQ的面积为4cm2．（2）由BP2+BQ2＝52，得（5﹣x）2+（2x）2＝52，整理得x2﹣2x＝0，解方程得：x＝0（舍去），x＝2．所以2秒后PQ的长度等于5cm；（3）不可能．设（5﹣x）×2x＝7，整理得x2﹣5x+7＝0，∵b2﹣4ac＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，所以△BPQ的面积为的面积不可能等于7cm2．【变式10-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据题意得：PB•BQ＝4，即（5﹣t）•2t＝4，整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝1，t2＝4，当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去，∴t＝1．∴运动时间为1秒．故选：A．【变式10-2】（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【答案】（1）1；（2）2；（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由见解答．【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2＝（s），5＞，∴0＜t≤．当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．（1）根据题意得：BP•BQ＝4，即（5﹣t）×2t＝4，整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）．答：t的值为1；（2）根据题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．答：t的值为2；（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由如下：假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据题意得：BP•BQ＝8，即（5﹣t）×2t＝8，整理得：t2﹣5t+8＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，∴该方程没有实数根，∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2．【变式10-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝　 　cm；BQ＝　 　cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【答案】（1）（12﹣2t）；4t （2）t＝2或4时【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．∴DH＝AB＝6cm．根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．1．（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7【答案】B【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．故选：B．2．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2【答案】B【解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，故选：B．3．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【答案】A【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，故选：A．4．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（　　）A．10.5% B．10% C．20% D．21%【答案】B【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增长率为10%．故答案为：B．5．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（　　）A．8（1+2x）＝11.52 B．2×8（1+x）＝11.52 C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1+x2）＝11.52【答案】C【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，第一个月的销售额为8万元，第二个月的销售额为8（1+x）万元，第三个月的销售额为8（1+x）2万元，∴8（1+x）2＝11.52，故选：C．6．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　 　．【答案】301（1+x）2＝500．【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，依题意得：301（1+x）2＝500．故答案为：301（1+x）2＝500．7．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　．【答案】1501（1+x）2＝1815．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．8．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　．【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．9．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．10．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【答案】（1）新的矩形绿地的长为40m，宽为20m；（2）新的矩形绿地面积为1500m2．【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．11．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：设路宽应为x米根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合题意，舍去，所以x＝4，答：道路的宽应为4米．12．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【答案】（1）购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件；（2）当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元；（3）30元或34元．【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题意得：，解得：．答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，解得：m≤40．设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．13．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】（1）500吨；（2）m＝20；（3）1500元．【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，依题意得：x+2x﹣100＝800，解得：x＝300，∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．答：4月份再生纸的产量为500吨．（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，整理得：m2+300m﹣6400＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．答：m的值为20．（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，∴1200（1+y）2＝1500．答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．1．（2023•庐阳区校级三模）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由10000元降到6400元．且第二次降价的百分率是第一次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）A．10000（1﹣x）（1﹣2x）＝6400 B．6400（1﹣x）（1+2x）＝10000 C．10000（1﹣x）（1﹣0.5x）＝6400 D．6400（1+x）（1+0.5x）＝10000【答案】C【解答】解：∵第二次降价的百分率是第一次的2倍，且第二次降价的百分率为x，∴第一次降价的百分率为0.5x．根据题意得：10000（1﹣x）（1﹣0.5x）＝6400．故选：C．2．（2023•石家庄三模）红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝137 D．368（1+x）2＝442【答案】B【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．3．（2023•虎林市校级三模）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛15场，则九年级班级的个数为（　　）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解答】解：设九年级班级个数为x个，由题意得，∴x2﹣x﹣30＝0，解得x＝6或x＝﹣5（舍去），∴九年级班级个数为6个，故选：A．4．（2023春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　）​A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144【答案】A【解答】解：∵小道的宽为xm，∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形．根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144．故选：A．5．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则该无盖纸盒的底面是长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，根据题意得：（40﹣2x）（20﹣2x）＝576，整理得：x2﹣30x+56＝0，解得：x1＝2，x2＝28（不符合题意，舍去）．答：剪去小正方形的边长为2cm．6．（2023•福田区校级二模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商场以20元/台的价格购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：只）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若物价局规定，产品的利润率不得超过60%，该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获得150元利润，销售单价应定为多少？【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）销售单价定为25元时，每天获利150元．【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由图可知，直线y＝kx+b经过点（25，30）和点（35，10），则有：，解得：，即函数关系式为：y＝﹣2x+80；（2）根据产品的利润率不得超过60%，可知产品的售价最高为：20×（1+60%）＝32元，根据题意有：（x﹣20）y＝150，将y＝﹣2x+80代入（x﹣20）y＝150中，整理，得：x2﹣60x+875＝0，解得x1＝25，x2＝35，∵价格不得超过32元，∴x＝25，即售价应该定为25元．7．（2023春•包河区校级月考）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？【答案】矩形场地的长为30米，宽为16米【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为米，由题意得：，∴，∴x2﹣62x+960＝0，∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，解得：x＝30或x＝32（舍去），∴，∴矩形场地的长为30米，宽为16米．8．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．【答案】每轮每人传染的人数为7人．【解答】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，即4（1+x）2＝256，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．答：每轮每人传染的人数为7人．9．（2023春•南岗区校级期中）据统计，汽车销售公司3月份销售一种新型汽车8辆，5月份该公司销售这种型新车18辆．（1）求该公司3﹣5月销售这种新型车数量的月平均增长率；（2）这种新型车进价9万元/辆，该公司售价9.8万元/辆，若使6月份该公司这种新型汽车的销售利润不低于24万元，那么该公司6月份应至少销售这种新型车多少辆？【答案】（1）该公司3﹣5月销售这种新型车数量的月平均增长率为50%；（2）该公司6月份应至少销售这种新型车30辆．【解答】解：（1）设该公司3﹣5月销售这种新型车数量的月平均增长率为x，由题意得：8（1+x）2＝18，解得：x1＝﹣2.50（不合题意，舍去），x2＝0.5＝50%，答：该公司3﹣5月销售这种新型车数量的月平均增长率为50%；（2）该公司6月份应销售这种新型车m辆，由题意得：（9.8﹣9）m≥24，解得：m≥30，答：该公司6月份应至少销售这种新型车30辆．10．（2023春•定远县期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．（1）几秒后，PQ的长度为；（2）几秒后，△PBQ的面积为8cm2；（3）△PBQ的面积能否为14cm2？请说明理由．【答案】（1）3s后，PQ的长度为；（2）2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2；（3）△PBQ的面积不可能等于14cm2，见解析．【解答】解：（1）设点P，Q运动的时间为ts，则AP＝tcm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据勾股定理，得，即（6﹣t）2+（2t）2＝45，解得t＝3或（舍去），故3s后，PQ的长度为．（2）由，得，解得t＝2或t＝4，故2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2．（3）不能，理由如下：当S△PBQ＝14时，即，∴，整理，得t2﹣6t+14＝0，∵Δ＝（﹣6）2﹣4×14＝﹣20＜0，∴方程没有实数根，∴△PBQ的面积不可能等于14cm2．11．（2023春•鹿城区期中）服装批发市场有一批服装，如果每件盈利50元，每天可售出500件．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少2件．（1）若以每件能盈利70元的单价出售，每天的总利润为多少元？（2）现市场要保证每天总利润40000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？【答案】（1）32200（元）（2）涨价50元．【解答】解：（1）70×（500﹣40）＝32200（元），（2）设涨价x元，（50+x）（500﹣2x）＝40000，解得x1＝150，x2＝50，为了让顾客得到实惠，∴x＝50，涨价50元．答：每千克应涨价50元．12．（2023•大同模拟）“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使AE”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．（1）用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为 　（x﹣60）　元，每天可卖出此种草莓的数量为 　（380﹣2x）　盒．（2）若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？【答案】（1）（x﹣60），（380﹣2x）；（2）此种草莓每盒的售价应定为90元．【解答】解：（1）由题意可知，每盒此种草莓的利润为（x﹣60）元，每天可卖出此种草莓的数量为[180+×10]＝（380﹣2x）盒，故答案为：（x﹣60），（380﹣2x）；（2）由题意得：（x﹣60）（380﹣2x）＝6000，整理得：x2﹣250x+5400＝0，解得：x1＝90，x2＝160（不符合题意，舍去），答：此种草莓每盒的售价应定为90元．销售单价x（元/千克）40455560销售量y（千克）80705040类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537销售单价x（元/千克）40455560销售量y（千克）80705040类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537