江苏省盐城市射阳中学2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市射阳中学2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次不等式和对数函数不等式求出集合，由并集定义求解即可.
【详解】由可得：，所以，
由可得：，所以，所以.
故选：D
2. 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案.
【详解】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．
【详解】当时，，，则，排除选项B和C；
当时，，排除选项A，选项D符合题意.
故选：D
4. 已知函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，判断函数的对称性及单调性，再比较大小即可.
【详解】函数定义域为，，则函数的图象关于直线对称，
而函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，于是函数在上单调递增，
又，，则，
所以.
故选：B
5. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.
【详解】由题意可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立，解得，
又因为对于任意的，都有成立，
所以，
所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，则在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；
综上，.
故选：D.
6. 函数与函数公切线的纵截距为（ ）
A. 1或0B. -1或0C. 1或D. -1或
【答案】B
【解析】
【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可.
【详解】设切点分别为，,
且导数为，
所以切斜方程为既为，
也为，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以公切线的纵截距为或.
故选：B.
【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.
7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A. 1,+∞B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶函数的定义得出为偶函数，当时，令，由导数判断其单调性进而得出在上单调递增，根据抽象函数不等式解法求解即可．
【详解】由题意得，的定义域为，，
因为，
所以为偶函数，
当时，令，则，
因为和在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增．
由，得，所以，
两边平方并整理，得，解得．
故选：B．
8. 已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于嵌套函数的零点问题，一般需要用换元法，再结合函数图象进行讨论.
【详解】令，则，
①当时，的图象如图所示

若恰有三个不同实根，则一定要有两个不同的根，
所以，设的两根为且则一定有
所以
解得
当时，如图所示，
若恰有三个不同实根，
则必须有，即
解得

②当时，或时，只有一个根，
此时不能有三个不同实根.
③当时，，
、的图象如图所示，

若有三个不同的实根
则，即，此不等式无解
综上所述：
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得θ分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为2
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确；
对于C，则，
当且仅当，此时无解，故取不到等号，
所以，故C错误；
对于D，当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，，故D正确.
故选：BD.
10. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在R上单调递减D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项，中，令得，，
又，故，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，
中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项，，，
又，故，
又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数为周期函数
C. 函数为上的偶函数D.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D.
【详解】因为为偶函数，
，故函数图象关于直线对称，
f2x+1为奇函数，1），函数图象关于1,0对称，
对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；
对于A，，令，故f1=0，
又，故A正确；
对于C，，当时，f'x>0，即函数在上递增，
函数图象关于1,0对称，故函数在上递减，故函数在上递增，
所以，故函数不是偶函数，故C错误；
对于D，，故D错误，
故选：AB.
【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意不妨令，即可得，令，x∈-∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上单调递增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情况，从而得到的解集.
【详解】因为对任意的、且，都有成立，
不妨令，则，即，
所以，
令，x∈-∞,0∪0,+∞，
则当且时，，
所以在0,+∞上单调递增，
又函数y=fx是定义域为R的奇函数且，则，
所以，所以当时，gx0，
则当时，，当时，，
又为奇函数，所以当时，，当时，，
所以不等式的解集是.
故答案为：
13. 函数的极小值点为，则实数的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】对求导，得到，由题设可得或，再进行检验，即可求解.
【详解】因为，得到，
由题知，解得或，
当时，，
由，得到或，由，得到，
则在上单调递增，在上单调递减，
此时是极大值点，不合题意，
当时，，由，得到或，由，，
则f(x)在上单调递增，在上单调递减，
此时是极小值点，符合题意，
故答案为：.
14. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了____________（附：）
【答案】
【解析】
【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果.
【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比；
提升后分别为，信道带宽，信噪比；
且满足，；
易知，
所以；
所以可得C大约增加了.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 回答下面两个题：
（1）
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值；
（2）根据对数运算公式，化简求值.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式
.
16. 已知奇函数处取得极大值16.
（1）求的解析式；
（2）求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由是奇函数求得，再结合在处取得极大值16构成方程组即可求得a和c，则解析式可求；
（2）先设切点坐标为，再结合导数的几何意义即可求出切线方程.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以f-x=-fx，
即，则，
从而，.
因为在处取得极大值16，
所以解得
经检验知此时在处取得极大值，
故.
【小问2详解】
由（1）可设切点坐标为，则，
切线方程.
因为切线经过坐标原点，所以，解得，
故经过坐标原点并与曲线y=fx相切的切线方程为.
17. 已知函数．
（1）若，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由，在恒成立，采用分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围；（2）因为函数在上为严格增函数，所以时左端点取得最小值，在右端点取得最大值，再借助一元二次函数根的分布列出不等式，从而求出实数a的取值范围．
【小问1详解】
由可得：，即，在上恒成立，
又因为当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以.
【小问2详解】
因为函数在上为严格增函数，
所以当时，；
当时，，
即m、n为方程的两个不同的正根，也就是方程有两个不同的正根，
于是，解得．
18. 已知函数，，．
（1）讨论：当时，的极值点的个数；
（2）当时，，使得，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）对函数求导，分别讨论当和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数；
（2）对求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式成立，进而构造函数，求导确定其单调性，即可求解.
【小问1详解】
，，
①当时，为增函数，
因为时，；时，，
所以有唯一的零点，当时，，当时，，
所以有一个极小值点，无极大值点．
②当时，令，则，
令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即，所以的极值点的个数为0．
综上所述，当时，的极值点个数为1，
当时，的极值点个数为0．
【小问2详解】
，
由，得，由，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为当时，，使得，
所以只需成立，即不等式成立．
令，则，
则，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，所以，
故实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求出，从而转化为求出不等式成立．
19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数．
（1）若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间；
（2）若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及导数法求函数的单调性即可求解；
（2）根据（1）的结论及导数法其函数的极值，结合函数零点与最值的关系即可求解.
【小问1详解】
由题可知，，
，
因为是函数的“拐点”，
所以，解得．
所以，
．
令，得或，
令，得，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.
【小问2详解】
由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以，
令，解得或；
令．解得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为和，
所以的极小值为，
的极大值为．
当，即时，有三个零点;
当，即时，有两个零点;
当，即时，有一个零点.